1、2010年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，函数 f(x)=x-sinx与 g(x)=ax n 是等价无穷小，则常数 a，n 的值为( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a=3.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.4条4.设函数 (x)= x2 2 e t costdt，则函数 (x)的导数 (x)等于 ( )（分数：2.00）A.2xe x2 cos x 2B.-2xe x2
2、cosx 2C.-2xe x cosxD.-e x2 cosx 25.下列级数收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.二次积分 0 1 dy 1 y+1 f(x，y)如交换积分次序后得 ( )（分数：2.00）A. 0 1 dx 1 x+1 f(x，y)dyB. 1 2 dx 0 x-1 f(x，y)dyC. 1 2 dx 1 x-1 f(x，y)dyD. 1 2 dx x-1 1 f(x，y)dy7.设 f(x)=x 3 -3x，则在区间(0，1)内 ( )（分数：2.00）A.函数 f(x)单调增加且其图形是凹的B.函数 f(x)单调增加且其图形是凸的C.函数 f(x)单调
3、减少且其图形是凹的D.函数 f(x)单调减少且其图形是凸的二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.若 f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 a=(1，2，3)，b=(2，5，k)，若 a与 b垂直，则常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.设函
4、数 y=y(x)由方程 y+e x+y =2x所确定，求 （分数：2.00）_17.求不定积分xarctanxdx（分数：2.00）_18.计算定积分 （分数：2.00）_19.求通过点(1，1，1)，且与直线 （分数：2.00）_20.设 z=y 2 f(xy，e x )，其中函数 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_21.计算二重积分 其中 D是由曲线 （分数：2.00）_22.已知函数 y=e x 和 y=e -2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y“+py+qy=0的两个解，试确定常数 P，q的值，并求微分方程 y“+py+qy=e x 的通解（分数：2.00）_四、综合题(
5、总题数：2，分数：4.00)23.设由抛物线 y=x 2 (x0)，直线 y=a 2 (0a1)与 y轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V 1 (a)，由抛物线 y=x 2 (x0)，直线 y=a 2 (0a1)与直线 x=1所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V 2 (a)，另 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)，试求常数 a的值，使V(a)取得最小值（分数：2.00）_24.设函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)=2e x ，且 f(0)=2，记由曲线 与直线 y=1，x=t(t0)及 y轴所围平面图形的面积为 A(t)，试求 （
6、分数：2.00）_五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_2010年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，函数 f(x)=x-sinx与 g(x)=ax n 是等价无穷小，则常数 a，n 的值为( )（分数：2.00）A.a= B.a=C.a=D.a=解析：解析：由题意，3.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条 D.4条
7、解析：解析：4.设函数 (x)= x2 2 e t costdt，则函数 (x)的导数 (x)等于 ( )（分数：2.00）A.2xe x2 cos x 2B.-2xe x2 cosx 2 C.-2xe x cosxD.-e x2 cosx 2解析：解析：(x)=(- 2 x2 e t costdt)=-e x2 cosx 2 .2x=-2xe x2 cosx 25.下列级数收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 D通项公式为6.二次积分 0 1 dy 1 y+1 f(x，y)如交换积分次序后得 ( )（分数：2.00）A. 0 1 dx 1 x+1 f(x，y
8、)dyB. 1 2 dx 0 x-1 f(x，y)dyC. 1 2 dx 1 x-1 f(x，y)dyD. 1 2 dx x-1 1 f(x，y)dy 解析：解析：画出积分区域，若先对 y后对 x积分，则积分变为 0 1 dy 1 y+1 f(x，y)dx= 1 2 dx x-1 1 f(x，y)dy7.设 f(x)=x 3 -3x，则在区间(0，1)内 ( )（分数：2.00）A.函数 f(x)单调增加且其图形是凹的B.函数 f(x)单调增加且其图形是凸的C.函数 f(x)单调减少且其图形是凹的 D.函数 f(x)单调减少且其图形是凸的解析：解析：利用导数性质，当 x(0，1)时，有 f(x
9、)=3x 2 -30，f“(x)=6x0，故在区间(0，1)内，函数 f(x)单调减少且其图形是凹的二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：这是“1 2 ”型未定式，根据两个重要极限， 9.若 f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知，根据导数定义，10.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由定积分的对称性质，11.设 a=(1，2，3)，b=(2，5，k)，若 a与 b垂直，则常数 k= 1（分数：2.00
10、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：由题意 a.b=12+25+3k=0，解得 k=-412.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx+2dy）解析：解析：13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1，1）解析：解析：因为 ，收敛半径为 R= =1,当 x=1时， 收敛(莱布尼兹级数)，当 x=-1时，三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：16.设函数 y=y(x)由方程
11、y+e x+y =2x所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边同时对 x求导得， )解析：17.求不定积分xarctanxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用换元法，变量替换：令 则 ，dx=tdt， )解析：19.求通过点(1，1，1)，且与直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得，直线 的方向向量为 n 1 =(1，2，3)，平面 2xz一 5=0的法向量 n 2 =(2，0，-1)，则所求直线的方向向量 n=n 1 n 2 = =(-2，7，-4)，因此，所求直线方程为
12、 )解析：20.设 z=y 2 f(xy，e x )，其中函数 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算二重积分 其中 D是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知，画出积分区域，先对 x后对 y积分，则 )解析：22.已知函数 y=e x 和 y=e -2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y“+py+qy=0的两个解，试确定常数 P，q的值，并求微分方程 y“+py+qy=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程的两个根为 r 1 =1，r 2 =-2，特征方程为 r 2 +r-2=0，从而 p=1，q
13、=-2；=1 是特征方程的单根，p(x)=1，可设 Q(x)=Ax，即设特解为 Y=Axe x ，Y=Ae x +Axe x ，Y“=2Ae x +Axe x ，p=1，q=-2，代入方程 y“+py+qy=e x 得(2A+Ax+A+Ax-2A)e x =e x ，即 3A=1，A= ，所以微分方程 y“+py+qy=e x 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -2x + )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)23.设由抛物线 y=x 2 (x0)，直线 y=a 2 (0a1)与 y轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V 1 (a)，由抛物线 y=x
14、 2 (x0)，直线 y=a 2 (0a1)与直线 x=1所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V 2 (a)，另 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)，试求常数 a的值，使V(a)取得最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得，V 1 = 0 a (a 2 ) 2 -(x 2 ) 2 dx= ，V 2 (a)= a 1 (x 2 ) 2 -(a 2 ) 2 dx= ，则 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= V(a)=(8a 4 -4a 3 )，令 V(a)=0得 a= ，最小值为 )解析：24.设函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)=2e
15、x ，且 f(0)=2，记由曲线 与直线 y=1，x=t(t0)及 y轴所围平面图形的面积为 A(t)，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，解一阶线性非齐次常微分方程得，f(x)=e -dx (2e x e dx dx+C)=e -x (e 2x +C)=e x +Ce -x ，f(0)=2，C=1，f(x)=e x +e -x ，f(x)=e x e -x ，则 又利用定积分求面积， )解析：五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 f(x)=e x-1 - ，f(x)=e x-1 -x，f“(x)=e x-1 10，f(x)在(1，+)上单调递增，f(1)=0，f(x)0，f(x)在(1，+)上单调递增，f(1)=0，f(x)0，即 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续性： ，所以 f(x)在 x=0处连续；可导性：由于 )解析：
