1、2009年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.已知： （分数：2.00）A.z=-1，b=-2B.a=-2，b=0C.a=-1，b=0D.a=-2，b=-13.已知函数 f(x)= （分数：2.00）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点4.设函数 （分数：2.00）A.0a1B.0a1C.a1D.a15.曲线 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.设 F(x)=ln(3x+1)是函数 f(x)的一个
2、原函数，则 f(2x+1)dx= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 a为非零常数，则数项级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与 a有关二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 (x)= 0 2x te t dt，则 (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知向量 a=(1，0，-1)，b=(1，-2，1)，则 a+b与 a的夹角为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 z=z(x，y)由方程 xz 2 +yz=1所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.若幂级数 (
3、a0)的收敛半径为 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程(1+x 2 )ydx-(2-y)xdy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_17.求不定积分 （分数：2.00）_18.求定积分 （分数：2.00）_19.求通过直线 （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设函数 z=f(sin x，xy)，其中 f(x)具有二阶连续偏导数，求 （分数：
4、2.00）_22.求微分方程 y“-y=x的通解（分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)23.已知函数 f(x)=x 3 -3x+1，试求： (1)函数 f(x)的单调区间与极值； (2)曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点； (3)函数 f(x)在闭区间-2，3上的最大值与最小值（分数：2.00）_24.设 D 1 ，是由抛物线 y=2x 2 和直线 x=a，y=0 所围成的平面区域，D 2 是由抛物线 y=2x 2 和直线x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域，其中 0a2试求： (1)D 1 绕 y轴旋转而成的旋转体的体积 V 1 ，以及 D 2 绕 x轴旋转而成的
5、旋转体的体积 V 2 ； (2)常数 a的值，使得 D 1 的面积与 D 2 的面积相等（分数：2.00）_五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.已知函数 f(x)= （分数：2.00）_26.证明：当 1x2 时，4xlnxx 2 +2x-3（分数：2.00）_2009年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.已知： （分数：2.00）A.z=-1，b=-2 B.a=-2，b=0C.a=-1，b=0D.a=-2，b=
6、-1解析：解析：由已知得 +ax+b=0，4+2a+b=0，3.已知函数 f(x)= （分数：2.00）A.跳跃间断点B.可去间断点 C.无穷间断点D.震荡间断点解析：解析：由于4.设函数 （分数：2.00）A.0a1B.0a1C.a1 D.a1解析：解析：由已知 f(x)在点 x=0处可导,则5.曲线 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：两条，一条垂直渐近线，一条水平渐近线6.设 F(x)=ln(3x+1)是函数 f(x)的一个原函数，则 f(2x+1)dx= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由已知 f(x)=F(x)= ，则f(2x+1)dx=
7、f(2x+1)d(2x+1)= f(2x+1)+C=7.设 a为非零常数，则数项级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.敛散性与 a有关解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：9.设函数 (x)= 0 2x te t dt，则 (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4xe 2x）解析：解析：利用变上限积分求导，(x)=2xe 2x .2=4xe 2x 10.已知向量 a=(1，0，-1)，b=(1，-2，1)，则 a+b与 a的夹角为 1（分数
8、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用向量夹角公式11.设函数 z=z(x，y)由方程 xz 2 +yz=1所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：隐函数求导，方程两边对 x求导，得 z 2 +x.2z.z x +z x .y=0，整理得 z x = 12.若幂级数 (a0)的收敛半径为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据所给幂级数 a n =(2n-1) 收敛半径 R= 13.微分方程(1+x 2 )ydx-(2-y)xdy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
9、正确答案：正确答案：2lny-y=lnx+ ）解析：解析：这是一个可分离变量的常微分方程，分离变量得 ，化简得( +x)dx=( -1)dy 两边积分得 2lny-y=lnx+三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 x= (t 2 -1)，dx=tdt于是sin dx=tsintdt， 原式=-
10、td(cost)=-tcost+costdt=-tcost+sint+C，回代得原式= )解析：18.求定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x= ，x=0 时，t=0；x=1 时，t= ，则 )解析：19.求通过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，所求平面法向量 n可取为直线方向向量 S 0 与已知平面法向量 n 0 的叉乘，又 s 0 =(3，2，1)，n 0 =(1，1，1)所以 n=s 0 n 0 = =(1，-2，1)，已知平面通过直线 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，画出积分区域，如图所示 法一：利用
11、极坐标 法二：先对 y后对 x积分，如图 )解析：21.设函数 z=f(sin x，xy)，其中 f(x)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=sinx，v=xy，则 z=f(u(x)，v(x，y) )解析：解析：【注】f 具有二阶连续偏导，22.求微分方程 y“-y=x的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=P，由 y“= =P，则原方程化为 P-P=x，这是一阶线性常微方程(P(x)=-1，Q(x)=x)，代入公式得其通解为 P=e -(-1)dx xe (-1)dx dx+C 1 =e x xe -x dx+C 1 =e x (-xe
12、-x e -x +C 1 )=-x-1+C 1 e x ，代回原变量得 y=-x-1+C 1 e x ，两边积分得 y= )解析：解析：【注】本题也可用二阶常系数线性非齐次微分方程的一般解法求解四、综合题(总题数：2，分数：4.00)23.已知函数 f(x)=x 3 -3x+1，试求： (1)函数 f(x)的单调区间与极值； (2)曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点； (3)函数 f(x)在闭区间-2，3上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x)=3x 2 3，令 f(x)=0，解得 x 1 =1，x 2 =-1，则函数的单调区间分析如下： f(x)的曲线概略图
13、如下： )解析：24.设 D 1 ，是由抛物线 y=2x 2 和直线 x=a，y=0 所围成的平面区域，D 2 是由抛物线 y=2x 2 和直线x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域，其中 0a2试求： (1)D 1 绕 y轴旋转而成的旋转体的体积 V 1 ，以及 D 2 绕 x轴旋转而成的旋转体的体积 V 2 ； (2)常数 a的值，使得 D 1 的面积与 D 2 的面积相等（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用积分几何意义，如图 D 1 绕 y轴旋转所成的旋转体的体积 V 1 =a 2 .2a 2 - 0 2a2 x 2 dy=2a 4 - 0 2a2 . dy=2a 4
14、 -a 4 =a 4 D 2 绕 x轴旋转所成的旋转体的体积 V 2 为 V 2 = a 2 (2x 2 ) 2 dx=4 a 2 x 4 dx= (32-a 5 ) (2)D 1 的面积为 A 1 = 0 a 2x 2 dx= ， D 2 的面积为 A 2 = a 2 2x 2 dx= ，由 A 1 =A 2 ，得a= )解析：五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.已知函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 所以，函数 f(x)在 x=0处连续 )解析：26.证明：当 1x2 时，4xlnxx 2 +2x-3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用函数单调性证明：令 f(x)=4xlnx-x 2 -2x+3，则 f(x)=4lnx-2x+2f“(x)= )解析：
