1、2017年山东省淄博市高考二模试卷数学文 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若 122ai ii ，则 a=( ) A.5 B.-5 C.5i D.-5i 解析： 2 2 122 2 2 5a i ia i a a i ii i i ，152 25aa ，解得 a=-5. 答案： B 2.已知集合 A=x|x2-x 0， B=x|x a，若 A B=A，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-， 1 B.(-， 1) C.1， + ) D.(1， + ) 解析：由 x2-x 0，解得 0 x 1，可得 A
2、=(0， 1). A B=A， A B. 1 a.实数 a的取值范围是 1， + ). 答案： C 3.已知等比数列 an满足 a1=4， a2a6=a4-14，则 a2=( ) A.2 B.1 C.12D.18解析：等比数列 an满足 a1=4， a2a6=a4-14， 24414aa，解得 a4=12. 4q3=12，解得 q=12 .则 a2=4 12 =2. 答案： A 4.直线 y=kx+3 与圆 (x-2)2+(y-3)2=4相交于 M， N两点，若 |MN| 2 3 ，则 k 的取值范围是( ) A. 34， 0 B. 33， 33 C.- 3 ， 3 D.-23， 0 解析：圆
3、 (x-2)2+(y-3)2=4的圆心为 (2， 3)，半径等于 2，圆心到直线 y=kx+3的距离等于 d=221kk ， 由弦长公式得 MN= 2222 4 2 31kk， (221kk )2 1，解得 k 33， 33. 答案： B 5.下列四个结论中错误的个数是 ( ) 若 a=30.4， b=log0.40.5， c=log30.4，则 a b c， “命题 p和命题 q都是假命题”是“命题 p q是假命题”的充分不必要条件， 若平面内存在一条直线 a垂直于平面内无数条直线，则平面与平面垂直， 已知数据 x1， x2， xn的方差为 3，若数据 ax1+1， ax2+1， axn+1
4、， (a 0， a R)，的方差为 12，则 a的值为 2. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：对于， a=30.4 1， b=log0.40.5 (0， 1)， c=log30.4 0，则 a b c，故正确； 对于，“命题 p和命题 q都是假命题”是“命题 p q是假命题”的充分不必要条件，正确； 对于，若平面内存在一条直线 a垂直于平面内无数平行直线，则平面与平面不一定垂直，故错； 对于，已知数据 x1， x2， xn的方差为 3，若数据 ax1+1， ax2+1， axn+1， (a 0， aR)的方差为 a2 3=12， (a 0)，则 a的值为 2，故正确 . 答案： B 6.
5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A.8( +4) B.8( +8) C.16( +4) D.16( +8) 解析：由三视图还原原几何体如图： 该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为 2，母线长为 4，左右为边长是 4的正方形 .该几何体的表面积为 2 4 4+2 2 4+2(4 4- 22)=64+8 =8( +8). 答案： B. 7.已知向量 a =(1， 2)， b =(-3， 2)，若 ka b 3ab ，则实数 k的值为 ( ) A.3 B.13C.-13D.-3 解析： ka b =(k-3， 2k+2)， 3ab =(10， -4)， ka b 3a
6、b ， -4(k-3)-10(2k+2)=0，解得 k=-13. 答案： C 8.某程序框图如图所示，运行该程序输出的 k值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：模拟程序的运行，可得 S=100， k=0 满足条件 S 0，执行循环体， S=99， k=1 满足条件 S 0，执行循环体， S=96， k=2 满足条件 S 0，执行循环体， S=87， k=3 满足条件 S 0，执行循环体， S=60， k=4 满足条件 S 0，执行循环体， S=-21， k=5 此时，不满足条件 S 0，退出循环，输出 k的值为 5. 答案： B 9. 若直线 y=k(x+2)上存在点 (x， y
7、)满足 011xyxyy ，则实数 k的取值范围是 ( ) A.-1， -14 B.-1， 15 C.(-， -1 15， + ) D.-14， 15 解析：由约束条件 011xyxyy ，作出可行域如图， 直线 y=k(x+2)过定点 P(-2， 0)，实数 k的值是直线 l的斜率， A(-1， -1)， B(1122，). kPA=-1， 1 0121 522PBk.实数 k的取值范围是 -1， 15. 答案： B 10.已知偶函数 f(x)(x 0)的导函数为 f (x)，且满足 f(1)=0，当 x 0时， xf (x) 2f(x)，则使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是 ( )
8、A.(-， -1) (0， 1) B.(-， -1) (1， + ) C.(-1， 0) (1， + ) D.(-1， 0) (0， 1) 解析：根据题意，设函数 g(x)= 2fxx， 当 x 0时， g (x)= 32f x x f xx 0，所以函数 g(x)在 (0， + )上单调递减， 又 f(x)为偶函数，所以 g(x)为偶函数， 又 f(1)=0，所以 g(1)=0，故 g(x)在 (-1， 0) (0， 1)的函数值大于零， 即 f(x)在 (-1， 0) (0， 1)的函数值大于零 . 答案： D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分 . 11.在区间 0
9、， 1上随机选取两个数 x和 y，则满足 2x-y 0的概率为 . 解析：由题意可得实数 x， y 满足 0 x 1， 0 y 1，满足约束条件 010120xyxy ，的平面区域如图： 则满足 2x-y 0的概率为 11 1 1221 1 4P . 答案： 1412.观察下列各式： 13=1， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102，由此推得： 13+23+33+n3= . 解析：根据题意，分析题干所给的等式可得： 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2 =62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 =102， 则
10、 13+23+33+43+ +n3=(1+2+3+4+ +n)2 = 2 221124n n n n . 答案： 22 14nn 13.若命题“ x0 R，使得 x2+2x+a 0”是假命题，则实数 a的取值范围是 . 解析：命题“ x0 R，使得 x2+2x+a 0”是假命题，则命题“ x R，使得 x2+2x+a 0”是真命题， =4-4a 0，解得 a 1.实数 a的取值范围是： (1， + ). 答案： (1， + ) 14.已知 f(x)=lg2xx，若 f(a)+f(b)=0，则 41ab的最小值是 . 解析： f(x)=lg2xx， f(a)+f(b)=0， l g l g 02
11、2ab， 22ab=1，化为 a+b=2， (a， b (0， 2) 则 4 1 4 1 4 4 91 1 1 ()2 2 255 2b a b aaba b a b a b a b .当且仅当 a=2b=3时取等号 . 答案： 9215.设双曲线 221xyab(a 0， b 0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 F 做 x轴的垂线交双曲线于 B， C两点，若 A1B A2C，则双曲线的离心率为 . 解析：由题意可知：左、右顶点分别是 A1(-a， 0)， A2(a， 0)， 当 x=c时，代入双曲线方程，解得： 2bya， 设 B(c， 2ba)， C(c， - 2ba)
12、，则直线 A1B的斜率 2210b bak c a a c a ， 直线 A2C的斜率 2220b bak c a a c a ， 由 A1B A2C，则 k1 k2=-1，即 22 1bba c a a c a，则 2ba=1，双曲线的离心率212cbeaa . 答案： 2 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分 . 16.已知函数 f(x)=(a+2cos22x)cos(x+ )为奇函数，且 f(2)=0，其中 a R， (0， ). ( )求 a，的值； ( )若 (2， )， 2 co( ) (s c o s 22 )8 5 4f =0，求 cos -sin的值 . 解析 ( )f
13、(x)是奇函数，且 f(2)=0，建立等式关系即可求解 . ( )根据 ( )可得 f(x)的解析式，根据 2 co( ) (s c o s 22 )8 5 4f =0，即可求解 cos -sin的值 . 答案： ( ) f(x)=(a+2cos22x)cos(x+ )是奇函数， (a+2cos22x)cos(x+ )=-(a+2cos22x)cos(-x+ )， 整理得， cosxcos =0，即 cos =0. 又 (0， )，得 =2. f(x)=-sinx (a+2cos22x)， 由 f(2)=0，得 -(a+1)=0，即 a=-1. 则 f(x)的解析式为： f(x)=-12sin
14、2x； ( )由 ( )知 f(x)=-12sin2x. 24c o s c o s 2 0 s i n c o s c o s 22( ) ( ) ( ) ( )8 5 4 4 5 4f . ( ) (c o s 2 s i n 2 s i n 2 2 s i n c o s2 4 4 4) ( ) ( ) ， 2( ) (8s i n c o s s i n45 ) ( )44 ， 又 (2， )， sin( +4)=0或 2 5os (c8)4 . 由 () 3s i n 044 . 33c o s s i n c o s s i n 244 ； 由 2 5os (c8)4 ， 354
15、4 4 ， 得 5 1 5c o s c o s s i n4 2 2 2 () 22() . cos -sin =- 52 . 综上， cos -sin =- 2 或 cos -sin =- 52. 17.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次 .抽奖方法是：从装有标号为 1， 2， 3， 4的 4个红球和标号为 1， 2的 2个白球的箱中，随机摸出 2个球，若摸出的两球号码相同，可获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖 .已知某顾客参与抽奖一次 . ( )求该顾客获一等奖的概率； ( )求该顾客获三获奖的概率 . 解析： ( )标号为 1，
16、2， 3， 4 的 4 个红球记为 A1， A2， A3， A4，标号为 1， 2 的 2 个白球记为 B1， B2.由此利用列举法能求出“该顾客获一等奖”的概率 . ( )利用列举法求出摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果种数，由此能求出“该顾客获三等奖”的概率 . 答案： ( )标号为 1， 2， 3， 4 的 4 个红球记为 A1， A2， A3， A4，标号为 1， 2 的 2 个白球记为 B1， B2.从中随机摸出 2个球的所有结果有： A1， A2， A1， A3， A1， A4， A1， B1， A1，B2， A2， A3， A2， A4， A2， B1， A2， B2， A3，
17、A4， A3， B1， A3， B2， A4， B1， A4，B2， B1， B2，共 15个 .这些基本事件的出现是等可能的 . 摸出的两球号码相同的结果有： A1， B1， A2， B2，共 2个 .所以“该顾客获一等奖”的概率 P=215. ( )摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有： A1， B2， A2， B1， A3， B2，共 3个 . 则“该顾客获二等奖”的概率 P= 3115 5.所以“该顾客获三等奖”的概率 21115 35 2P . 18.如图，已知三棱锥 O-ABC 的三条侧棱 OA， OB， OC 两两垂直， ABC 为等边三角形， M 为 ABC内部一点，点 P 在
18、 OM 的延长线上，且 PA=PB. ( )证明： OA=OB； ( )证明：平面 PAB平面 POC. 解析： ( )由 OA， OB， OC两两垂直，结合勾股定理可得 OA2+OC2=OB2+OC2 ，再由 AC=BC，即可得到 OA=OB； ( )由 OA， OB， OC两两垂直，可得 OC平面 OAB，则 OC AB.取 AB 的中点 D，连接 OD、 PD，可得 OD AB， PD AB，则 AB平面 POD.得到 AB PO.由线面垂直的判定可得 AB平面 POC.进一步得到平面 PAB平面 POC. 答案： ( ) OA， OB， OC两两垂直， OA2+OC2=AC2， OB2
19、+OC2=BC2 ， 又 ABC为等边三角形， AC=BC， OA2+OC2=OB2+OC2，故 OA=OB. ( ) OA， OB， OC两两垂直， OC平面 OAB，又 AB 平面 OAB， OC AB. 取 AB的中点 D，连接 OD、 PD， OA=OB， PA=PB， OD AB， PD AB，又 OD PD=D， AB平面 POD. AB PO. 又 CO PO=O， AB平面 POC. AB 平面 PAB，平面 PAB平面 POC. 19.已知数列 an和 bn满足 a1a2a3 an=2nb (n N*).若 an是各项为正数的等比数列，且 a1=2，b3=b2+3. ( )求
20、 an与 bn； ( )设 cn= 11nnab ，求数列 cn的前 n项和为 Sn. 解析： ( )由题意 a1a2a3 an=2nb (n N*)， b3=b2+3，知 a3= 322bb =23又由 a1=2，得公比 q，可得数列 an的通项 an.进而得出 bn. ( )cn= 1 1 1 1 1221nnna b n n (n N*)，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出 . 答案： ( )由题意 a1a2a3 an=2nb (n N*)， b3=b2+3， 知 a3= 322bb =23又由 a1=2，得公比 q=2(q=-2，舍去 )， 所以数列 an的通项为 an=2n
21、(n N*)， 所以 a1a2a3 an= 122nn ， 故数列 bn的通项为 12nnnb (n N*). ( ) 1 1 1 1 1221n nnnc a b n n (n N*)， Sn=211 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1222 1 2 1 112 2 2 2 2 3 1 1 1 212nnn n n n n . 20.已知椭圆 C： 2 2 14x y，如图所示点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x3， y3)为椭圆上任意三点 . ( )若 0O A O B O P ，是否存在实数，使得代数式 x1x2+ y1y2为定值 .若存在，求出实数和 x1x
22、2+ y1y2的值；若不存在，说明理由 . ( )若 OA OB =0，求三角形 OAB面积的最大值； ( )满足 ( )，且在三角形 OAB 面积取得最大值的前提下，若线段 PA， PB 与椭圆长轴和短轴交于点 E， F(E， F不是椭圆的顶点 ).判断四边形 ABFE 的面积是否为定值 .若是，求出定值；若不是，说明理由 . 解析： ( )将 A， B及 P点坐标代入椭圆方程，作差，求得 P与 A， B坐标的关系，代入椭圆方程，即可求得 1212 14 2xx yy ，存在实数 =4 使得 x1x2+4y1y2=-2； ( )分类讨论，当直线 AB 斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及
23、向量的坐标运算，根据基本不等式的性质，即可求得三角形 OAB面积 的最大值； ( )由 ( )可知： A(2， 0)， B(0， 1)，分别求得 E和 F点坐标，根据四边形的面积公式，代入即可求得四边形 ABEF的面积为 S=2，为定值 . 答案： ( )由于221122222233141414xyxyxy，且 313122x x xy y y ，；则 22 22122 2 23 1 2 1 23 1 2 1 2 1 2214 4 4 4 4xxx x x x xy y y y y y y ， 所以 1212 142xx yy ，即 x1x2+4y1y2=-2.故，存在实数 =4 使得 x1x
24、2+4y1y2=-2. ( )当直线 AB斜率不存在时，可设为 x=m；联立方程组 22 14xmx y ，由 OA OB =0，得 m2-(1- 24m)=0，即 m= 2 55， S OAB=45； 当直线 AB斜率存在时，可设为 y=kx+m； 联立方程组 22 14y kx mx y ，得 (4k2+1)x2+8kmx+(4m2-4)=0； x1+x2=2841kmk ， x1x2= 224141mk ， 由 OA OB =0，得 x1x2+y1y2=0， 即 2222241 8104 1 4 1m kmk k m mkk ， 5m2=4(k2+1)， |AB|= 2222414141
25、kmkk， h=d=21mk； S OAB= 4 2 24 2 4 24 1 6 1 7 1 4 915 1 6 8 1 5 1 6 8112k k kA B dk k k k =2 22 24 9 4 91 1 1155 11 6 8 2 1 6 8k kk k ， S OAB 1， 当且仅当 k4=116，即 k= 12.等号成立时， S OAB的最大值为 1. ( )S OAB取得最大值时， k= 12，此时直线 AB与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点； 不妨取 A(2， 0)， B(0， 1)，若线段 PA， PB 与椭圆长轴和短轴交于点 E， F(E， F不是椭圆与坐标
26、轴的交点 ). 此时点 P定在第三象限，即 x3 0， y3 0； 直线 PA 的方程为 y=33 2yx (x-2)，令 x=0，得 E(0， 332 2yx )， 同理，得 F(-x3y3-1， 0)， 四边形 ABEF的面积为： S= 3333112222112xyA F B Eyx ， = 233222 2 1xy= 223 3 3 3 3 33 3 3 34 4 4 8 42 2 2x y x y x yx y x y = 3 3 3 33 3 3 34 4 8 8 22 2 2x y x yx y x y ， 四边形 ABFE的面积是否为定值，定值为 2. 21.已知 a R，函数
27、 f(x)= xeax-alnx(e=2.71828是自然对数的底数 ). ( )函数 f(x)是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由； ( )设 g(x)=1 lnxexx，证明：对任意 x 0， g(x) 1. 解析： ( )由已知得 221 1xx xe x e af x a x x e axx ，分以下四种情况讨论： (1)a 1， (2)1 a e， (3)a=e， (4)a e； ( )要证 g(x)=1 lnxexx 1，只要证明 11 lnxexx 0成立，即证 1 ln1 lnxe x xxx 0成立，令 h(x)=1+xlnx，利用导数可得 1 1 1 11
28、 l n 1 0h x he e e e ，只需证明ex-(1+xlnx) 0即可，变形得 11l n l n 0xxeexx ，由 ( )可证明 . 答 案 ： ( ) 由 已 知 得 ， 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (0 ， + ) ， 22 1 1xx xe x e af x a x x e axx . (1)若 a 1，则 ex a， 当 x (0， 1)时， f (x) 0， f(x)为减函数； 当 x (1， + )时， f (x) 0， f(x)为增函数， 所以当 x=1时， f(x)取得极小值，函数无极大值； (2)若 1 a e，令 ex=a，得 x=lna (0，
29、 1)， 所以 f (x)和 f(x)在 (0， + )上的变化情况如下表所示 所以当 x=lna时，函数 f(x)取得极大值； (3)当 a=e时， f (x) 0，所以 f(x)在 (0， + )上是增函数，此时不存在极值 . (4)当 a e时，令 ex=a，得 x=lna (1， + )， 所以 f (x)和 f(x)在 (0， + )上的变化情况如下表所示 所以当 x=1时，函数 f(x)取得极大值； 综上所述，当 1 a e 时，函数 f(x)的极大值点是 x=lna； 当 a e时，函数 f(x)的极大值点是 x=1； 当 a 1或 a=e时，函数无极大值点 . ( )要证 g(
30、x)=1 lnxexx 1，只要证明1 lnxexx-1 0成立， 即证 1 ln1 lnxe x xxx 0成立， 令 h(x)=1+xlnx，则 h (x)=1+lnx， 当 x (0， 1e)， h (x) 0， h(x)单调递减； 当 x (1e， + )， h (x) 0， h(x)单调递增； 所以 h(x) 1 1 1 11 l n 1he e e e 0， 所以只需证明 ex-(1+xlnx) 0即可，变形得 11l n l n 0xxeexx ， 由 ( )知，当 a=1 时， f(x)= 1xex-lnx， f(x)= 1xex-lnx 在 (0， 1)上单调递减，在 (1， + )上单调递增， 所以 f(x) f(1)=e-1 0，即 ex-(1+xlnx) 0，故对任意 x 0， g(x) 1.
