1、2017年山东省淄博市高考二模试卷数学文 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.若 122ai ii ,则 a=( ) A.5 B.-5 C.5i D.-5i 解析: 2 2 122 2 2 5a i ia i a a i ii i i ,152 25aa ,解得 a=-5. 答案: B 2.已知集合 A=x|x2-x 0, B=x|x a,若 A B=A,则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-, 1 B.(-, 1) C.1, + ) D.(1, + ) 解析:由 x2-x 0,解得 0 x 1,可得 A
2、=(0, 1). A B=A, A B. 1 a.实数 a的取值范围是 1, + ). 答案: C 3.已知等比数列 an满足 a1=4, a2a6=a4-14,则 a2=( ) A.2 B.1 C.12D.18解析:等比数列 an满足 a1=4, a2a6=a4-14, 24414aa,解得 a4=12. 4q3=12,解得 q=12 .则 a2=4 12 =2. 答案: A 4.直线 y=kx+3 与圆 (x-2)2+(y-3)2=4相交于 M, N两点,若 |MN| 2 3 ,则 k 的取值范围是( ) A. 34, 0 B. 33, 33 C.- 3 , 3 D.-23, 0 解析:圆
3、 (x-2)2+(y-3)2=4的圆心为 (2, 3),半径等于 2,圆心到直线 y=kx+3的距离等于 d=221kk , 由弦长公式得 MN= 2222 4 2 31kk, (221kk )2 1,解得 k 33, 33. 答案: B 5.下列四个结论中错误的个数是 ( ) 若 a=30.4, b=log0.40.5, c=log30.4,则 a b c, “命题 p和命题 q都是假命题”是“命题 p q是假命题”的充分不必要条件, 若平面内存在一条直线 a垂直于平面内无数条直线,则平面与平面垂直, 已知数据 x1, x2, xn的方差为 3,若数据 ax1+1, ax2+1, axn+1
4、, (a 0, a R),的方差为 12,则 a的值为 2. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:对于, a=30.4 1, b=log0.40.5 (0, 1), c=log30.4 0,则 a b c,故正确; 对于,“命题 p和命题 q都是假命题”是“命题 p q是假命题”的充分不必要条件,正确; 对于,若平面内存在一条直线 a垂直于平面内无数平行直线,则平面与平面不一定垂直,故错; 对于,已知数据 x1, x2, xn的方差为 3,若数据 ax1+1, ax2+1, axn+1, (a 0, aR)的方差为 a2 3=12, (a 0),则 a的值为 2,故正确 . 答案: B 6.
5、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.8( +4) B.8( +8) C.16( +4) D.16( +8) 解析:由三视图还原原几何体如图: 该几何体为两个空心半圆柱相切,半圆柱的半径为 2,母线长为 4,左右为边长是 4的正方形 .该几何体的表面积为 2 4 4+2 2 4+2(4 4- 22)=64+8 =8( +8). 答案: B. 7.已知向量 a =(1, 2), b =(-3, 2),若 ka b 3ab ,则实数 k的值为 ( ) A.3 B.13C.-13D.-3 解析: ka b =(k-3, 2k+2), 3ab =(10, -4), ka b 3a
6、b , -4(k-3)-10(2k+2)=0,解得 k=-13. 答案: C 8.某程序框图如图所示,运行该程序输出的 k值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:模拟程序的运行,可得 S=100, k=0 满足条件 S 0,执行循环体, S=99, k=1 满足条件 S 0,执行循环体, S=96, k=2 满足条件 S 0,执行循环体, S=87, k=3 满足条件 S 0,执行循环体, S=60, k=4 满足条件 S 0,执行循环体, S=-21, k=5 此时,不满足条件 S 0,退出循环,输出 k的值为 5. 答案: B 9. 若直线 y=k(x+2)上存在点 (x, y
7、)满足 011xyxyy ,则实数 k的取值范围是 ( ) A.-1, -14 B.-1, 15 C.(-, -1 15, + ) D.-14, 15 解析:由约束条件 011xyxyy ,作出可行域如图, 直线 y=k(x+2)过定点 P(-2, 0),实数 k的值是直线 l的斜率, A(-1, -1), B(1122,). kPA=-1, 1 0121 522PBk.实数 k的取值范围是 -1, 15. 答案: B 10.已知偶函数 f(x)(x 0)的导函数为 f (x),且满足 f(1)=0,当 x 0时, xf (x) 2f(x),则使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是 ( )
8、A.(-, -1) (0, 1) B.(-, -1) (1, + ) C.(-1, 0) (1, + ) D.(-1, 0) (0, 1) 解析:根据题意,设函数 g(x)= 2fxx, 当 x 0时, g (x)= 32f x x f xx 0,所以函数 g(x)在 (0, + )上单调递减, 又 f(x)为偶函数,所以 g(x)为偶函数, 又 f(1)=0,所以 g(1)=0,故 g(x)在 (-1, 0) (0, 1)的函数值大于零, 即 f(x)在 (-1, 0) (0, 1)的函数值大于零 . 答案: D 二、填空题:本大题共 5小题,每小题 5分,共 25 分 . 11.在区间 0
9、, 1上随机选取两个数 x和 y,则满足 2x-y 0的概率为 . 解析:由题意可得实数 x, y 满足 0 x 1, 0 y 1,满足约束条件 010120xyxy ,的平面区域如图: 则满足 2x-y 0的概率为 11 1 1221 1 4P . 答案: 1412.观察下列各式: 13=1, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102,由此推得: 13+23+33+n3= . 解析:根据题意,分析题干所给的等式可得: 13+23=(1+2)2=32, 13+23+33=(1+2+3)2 =62, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 =102, 则
10、 13+23+33+43+ +n3=(1+2+3+4+ +n)2 = 2 221124n n n n . 答案: 22 14nn 13.若命题“ x0 R,使得 x2+2x+a 0”是假命题,则实数 a的取值范围是 . 解析:命题“ x0 R,使得 x2+2x+a 0”是假命题,则命题“ x R,使得 x2+2x+a 0”是真命题, =4-4a 0,解得 a 1.实数 a的取值范围是: (1, + ). 答案: (1, + ) 14.已知 f(x)=lg2xx,若 f(a)+f(b)=0,则 41ab的最小值是 . 解析: f(x)=lg2xx, f(a)+f(b)=0, l g l g 02
11、2ab, 22ab=1,化为 a+b=2, (a, b (0, 2) 则 4 1 4 1 4 4 91 1 1 ()2 2 255 2b a b aaba b a b a b a b .当且仅当 a=2b=3时取等号 . 答案: 9215.设双曲线 221xyab(a 0, b 0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1, A2,过 F 做 x轴的垂线交双曲线于 B, C两点,若 A1B A2C,则双曲线的离心率为 . 解析:由题意可知:左、右顶点分别是 A1(-a, 0), A2(a, 0), 当 x=c时,代入双曲线方程,解得: 2bya, 设 B(c, 2ba), C(c, - 2ba)
12、,则直线 A1B的斜率 2210b bak c a a c a , 直线 A2C的斜率 2220b bak c a a c a , 由 A1B A2C,则 k1 k2=-1,即 22 1bba c a a c a,则 2ba=1,双曲线的离心率212cbeaa . 答案: 2 三、解答题:本大题共 6小题,共 75 分 . 16.已知函数 f(x)=(a+2cos22x)cos(x+ )为奇函数,且 f(2)=0,其中 a R, (0, ). ( )求 a,的值; ( )若 (2, ), 2 co( ) (s c o s 22 )8 5 4f =0,求 cos -sin的值 . 解析 ( )f
13、(x)是奇函数,且 f(2)=0,建立等式关系即可求解 . ( )根据 ( )可得 f(x)的解析式,根据 2 co( ) (s c o s 22 )8 5 4f =0,即可求解 cos -sin的值 . 答案: ( ) f(x)=(a+2cos22x)cos(x+ )是奇函数, (a+2cos22x)cos(x+ )=-(a+2cos22x)cos(-x+ ), 整理得, cosxcos =0,即 cos =0. 又 (0, ),得 =2. f(x)=-sinx (a+2cos22x), 由 f(2)=0,得 -(a+1)=0,即 a=-1. 则 f(x)的解析式为: f(x)=-12sin
14、2x; ( )由 ( )知 f(x)=-12sin2x. 24c o s c o s 2 0 s i n c o s c o s 22( ) ( ) ( ) ( )8 5 4 4 5 4f . ( ) (c o s 2 s i n 2 s i n 2 2 s i n c o s2 4 4 4) ( ) ( ) , 2( ) (8s i n c o s s i n45 ) ( )44 , 又 (2, ), sin( +4)=0或 2 5os (c8)4 . 由 () 3s i n 044 . 33c o s s i n c o s s i n 244 ; 由 2 5os (c8)4 , 354
15、4 4 , 得 5 1 5c o s c o s s i n4 2 2 2 () 22() . cos -sin =- 52 . 综上, cos -sin =- 2 或 cos -sin =- 52. 17.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次 .抽奖方法是:从装有标号为 1, 2, 3, 4的 4个红球和标号为 1, 2的 2个白球的箱中,随机摸出 2个球,若摸出的两球号码相同,可获一等奖;若两球颜色不同且号码相邻,可获二等奖,其余情况获三等奖 .已知某顾客参与抽奖一次 . ( )求该顾客获一等奖的概率; ( )求该顾客获三获奖的概率 . 解析: ( )标号为 1,
16、2, 3, 4 的 4 个红球记为 A1, A2, A3, A4,标号为 1, 2 的 2 个白球记为 B1, B2.由此利用列举法能求出“该顾客获一等奖”的概率 . ( )利用列举法求出摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果种数,由此能求出“该顾客获三等奖”的概率 . 答案: ( )标号为 1, 2, 3, 4 的 4 个红球记为 A1, A2, A3, A4,标号为 1, 2 的 2 个白球记为 B1, B2.从中随机摸出 2个球的所有结果有: A1, A2, A1, A3, A1, A4, A1, B1, A1,B2, A2, A3, A2, A4, A2, B1, A2, B2, A3,
17、A4, A3, B1, A3, B2, A4, B1, A4,B2, B1, B2,共 15个 .这些基本事件的出现是等可能的 . 摸出的两球号码相同的结果有: A1, B1, A2, B2,共 2个 .所以“该顾客获一等奖”的概率 P=215. ( )摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有: A1, B2, A2, B1, A3, B2,共 3个 . 则“该顾客获二等奖”的概率 P= 3115 5.所以“该顾客获三等奖”的概率 21115 35 2P . 18.如图,已知三棱锥 O-ABC 的三条侧棱 OA, OB, OC 两两垂直, ABC 为等边三角形, M 为 ABC内部一点,点 P 在
18、 OM 的延长线上,且 PA=PB. ( )证明: OA=OB; ( )证明:平面 PAB平面 POC. 解析: ( )由 OA, OB, OC两两垂直,结合勾股定理可得 OA2+OC2=OB2+OC2 ,再由 AC=BC,即可得到 OA=OB; ( )由 OA, OB, OC两两垂直,可得 OC平面 OAB,则 OC AB.取 AB 的中点 D,连接 OD、 PD,可得 OD AB, PD AB,则 AB平面 POD.得到 AB PO.由线面垂直的判定可得 AB平面 POC.进一步得到平面 PAB平面 POC. 答案: ( ) OA, OB, OC两两垂直, OA2+OC2=AC2, OB2
19、+OC2=BC2 , 又 ABC为等边三角形, AC=BC, OA2+OC2=OB2+OC2,故 OA=OB. ( ) OA, OB, OC两两垂直, OC平面 OAB,又 AB 平面 OAB, OC AB. 取 AB的中点 D,连接 OD、 PD, OA=OB, PA=PB, OD AB, PD AB,又 OD PD=D, AB平面 POD. AB PO. 又 CO PO=O, AB平面 POC. AB 平面 PAB,平面 PAB平面 POC. 19.已知数列 an和 bn满足 a1a2a3 an=2nb (n N*).若 an是各项为正数的等比数列,且 a1=2,b3=b2+3. ( )求
20、 an与 bn; ( )设 cn= 11nnab ,求数列 cn的前 n项和为 Sn. 解析: ( )由题意 a1a2a3 an=2nb (n N*), b3=b2+3,知 a3= 322bb =23又由 a1=2,得公比 q,可得数列 an的通项 an.进而得出 bn. ( )cn= 1 1 1 1 1221nnna b n n (n N*),利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出 . 答案: ( )由题意 a1a2a3 an=2nb (n N*), b3=b2+3, 知 a3= 322bb =23又由 a1=2,得公比 q=2(q=-2,舍去 ), 所以数列 an的通项为 an=2n
21、(n N*), 所以 a1a2a3 an= 122nn , 故数列 bn的通项为 12nnnb (n N*). ( ) 1 1 1 1 1221n nnnc a b n n (n N*), Sn=211 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1222 1 2 1 112 2 2 2 2 3 1 1 1 212nnn n n n n . 20.已知椭圆 C: 2 2 14x y,如图所示点 A(x1, y1), B(x2, y2), P(x3, y3)为椭圆上任意三点 . ( )若 0O A O B O P ,是否存在实数,使得代数式 x1x2+ y1y2为定值 .若存在,求出实数和 x1x
22、2+ y1y2的值;若不存在,说明理由 . ( )若 OA OB =0,求三角形 OAB面积的最大值; ( )满足 ( ),且在三角形 OAB 面积取得最大值的前提下,若线段 PA, PB 与椭圆长轴和短轴交于点 E, F(E, F不是椭圆的顶点 ).判断四边形 ABFE 的面积是否为定值 .若是,求出定值;若不是,说明理由 . 解析: ( )将 A, B及 P点坐标代入椭圆方程,作差,求得 P与 A, B坐标的关系,代入椭圆方程,即可求得 1212 14 2xx yy ,存在实数 =4 使得 x1x2+4y1y2=-2; ( )分类讨论,当直线 AB 斜率存在时,代入椭圆方程,利用韦达定理及
23、向量的坐标运算,根据基本不等式的性质,即可求得三角形 OAB面积 的最大值; ( )由 ( )可知: A(2, 0), B(0, 1),分别求得 E和 F点坐标,根据四边形的面积公式,代入即可求得四边形 ABEF的面积为 S=2,为定值 . 答案: ( )由于221122222233141414xyxyxy,且 313122x x xy y y ,;则 22 22122 2 23 1 2 1 23 1 2 1 2 1 2214 4 4 4 4xxx x x x xy y y y y y y , 所以 1212 142xx yy ,即 x1x2+4y1y2=-2.故,存在实数 =4 使得 x1x
24、2+4y1y2=-2. ( )当直线 AB斜率不存在时,可设为 x=m;联立方程组 22 14xmx y ,由 OA OB =0,得 m2-(1- 24m)=0,即 m= 2 55, S OAB=45; 当直线 AB斜率存在时,可设为 y=kx+m; 联立方程组 22 14y kx mx y ,得 (4k2+1)x2+8kmx+(4m2-4)=0; x1+x2=2841kmk , x1x2= 224141mk , 由 OA OB =0,得 x1x2+y1y2=0, 即 2222241 8104 1 4 1m kmk k m mkk , 5m2=4(k2+1), |AB|= 2222414141
25、kmkk, h=d=21mk; S OAB= 4 2 24 2 4 24 1 6 1 7 1 4 915 1 6 8 1 5 1 6 8112k k kA B dk k k k =2 22 24 9 4 91 1 1155 11 6 8 2 1 6 8k kk k , S OAB 1, 当且仅当 k4=116,即 k= 12.等号成立时, S OAB的最大值为 1. ( )S OAB取得最大值时, k= 12,此时直线 AB与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点; 不妨取 A(2, 0), B(0, 1),若线段 PA, PB 与椭圆长轴和短轴交于点 E, F(E, F不是椭圆与坐标
26、轴的交点 ). 此时点 P定在第三象限,即 x3 0, y3 0; 直线 PA 的方程为 y=33 2yx (x-2),令 x=0,得 E(0, 332 2yx ), 同理,得 F(-x3y3-1, 0), 四边形 ABEF的面积为: S= 3333112222112xyA F B Eyx , = 233222 2 1xy= 223 3 3 3 3 33 3 3 34 4 4 8 42 2 2x y x y x yx y x y = 3 3 3 33 3 3 34 4 8 8 22 2 2x y x yx y x y , 四边形 ABFE的面积是否为定值,定值为 2. 21.已知 a R,函数
27、 f(x)= xeax-alnx(e=2.71828是自然对数的底数 ). ( )函数 f(x)是否存在极大值,若存在,求极大值点,若不存在,说明理由; ( )设 g(x)=1 lnxexx,证明:对任意 x 0, g(x) 1. 解析: ( )由已知得 221 1xx xe x e af x a x x e axx ,分以下四种情况讨论: (1)a 1, (2)1 a e, (3)a=e, (4)a e; ( )要证 g(x)=1 lnxexx 1,只要证明 11 lnxexx 0成立,即证 1 ln1 lnxe x xxx 0成立,令 h(x)=1+xlnx,利用导数可得 1 1 1 11
28、 l n 1 0h x he e e e ,只需证明ex-(1+xlnx) 0即可,变形得 11l n l n 0xxeexx ,由 ( )可证明 . 答 案 : ( ) 由 已 知 得 , 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (0 , + ) , 22 1 1xx xe x e af x a x x e axx . (1)若 a 1,则 ex a, 当 x (0, 1)时, f (x) 0, f(x)为减函数; 当 x (1, + )时, f (x) 0, f(x)为增函数, 所以当 x=1时, f(x)取得极小值,函数无极大值; (2)若 1 a e,令 ex=a,得 x=lna (0,
29、 1), 所以 f (x)和 f(x)在 (0, + )上的变化情况如下表所示 所以当 x=lna时,函数 f(x)取得极大值; (3)当 a=e时, f (x) 0,所以 f(x)在 (0, + )上是增函数,此时不存在极值 . (4)当 a e时,令 ex=a,得 x=lna (1, + ), 所以 f (x)和 f(x)在 (0, + )上的变化情况如下表所示 所以当 x=1时,函数 f(x)取得极大值; 综上所述,当 1 a e 时,函数 f(x)的极大值点是 x=lna; 当 a e时,函数 f(x)的极大值点是 x=1; 当 a 1或 a=e时,函数无极大值点 . ( )要证 g(
30、x)=1 lnxexx 1,只要证明1 lnxexx-1 0成立, 即证 1 ln1 lnxe x xxx 0成立, 令 h(x)=1+xlnx,则 h (x)=1+lnx, 当 x (0, 1e), h (x) 0, h(x)单调递减; 当 x (1e, + ), h (x) 0, h(x)单调递增; 所以 h(x) 1 1 1 11 l n 1he e e e 0, 所以只需证明 ex-(1+xlnx) 0即可,变形得 11l n l n 0xxeexx , 由 ( )知,当 a=1 时, f(x)= 1xex-lnx, f(x)= 1xex-lnx 在 (0, 1)上单调递减,在 (1, + )上单调递增, 所以 f(x) f(1)=e-1 0,即 ex-(1+xlnx) 0,故对任意 x 0, g(x) 1.