1、2017年四川省自贡市中考真题数学 一 .选择题 (共 12 个小题，每小题 4分，共 48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.计算 (-1)2017的结果是 ( ) A.-1 B.1 C.-2017 D.2017 解析： (-1)2017=-1. 答案： A 2.下列成语描述的事件为随机事件的是 ( ) A.水涨船高 B.守株待兔 C.水中捞月 D.缘木求鱼 解析：水涨船高是必然事件， A不正确； 守株待兔是随机事件， B正确； 水中捞月是不可能事件， C不正确； 缘木求鱼是不可能事件， D不正确 . 答案： B 3.380亿用科学记数法表示为 ( ) A.38 1
2、09 B.0.38 1013 C.3.8 1011 D.3.8 1010 解析： 380亿 =38 000 000 000=3.8 1010. 答案： D 4.不等式组 123 4 2xx ， 的解集表示在数轴上正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 123 4 2xx ，解得： x 1， 解得： x 2， 不等式组的解集为： 1 x 2， 在数轴上表示为 . 答案： C 5.如图， a b，点 B在直线 a上，且 AB BC， 1=35，那么 2=( ) A.45 B.50 C.55 D.60 解析： AB BC， 1=35， 2=90 -35 =55 . a b， 2= 3=55
3、 . 答案： C 6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意 . 答案： A 7.对于一组统计数据 3， 3， 6， 5， 3.下列说法错误的是 ( ) A.众数是 3 B.平均数是 4 C.方差是 1.6 D.中位数是 6 解析： A、这组数据中 3 都出现了 3 次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为 3，此选项正确； B、由平均数公式求得这组数据的
4、平均数为 4，故此选项正确； C、 S2=15(3-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(5-4)2+(3-4)2=1.6，故此选项正确； D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第 3个数是 3，故中位数为 3，故此选项错误 . 答案： D 8. 下面是几何体中，主视图是矩形的 ( ) A. B. C. D. 解析： A、圆柱的主视图为矩形，符合题意； B、球体的主视图为圆，不合题意； C、圆锥的主视图为三角形，不合题意； D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意 . 答案： A. 9.下列四个命题中，其正确命题的个数是 ( ) 若 a b，则 abcc； 垂直于弦的直径平分弦；平行四边形的对角线互
5、相平分；反比例函数 y=kx，当 k 0时， y随 x的增大而增大 . A.1 B.2 C.3 D.4 解析：若 a b，则 abcc；不正确； 垂直于弦的直径平分弦；正确； 平行四边形的对角线互相平分；正确； 反比例函数 y=kx，当 k 0时， y随 x的增大而增大；不正确 . 其中正确命题的个数为 2个， 答案： B 10.AB是 O的直径， PA切 O于点 A， PO交 O于点 C；连接 BC，若 P=40，则 B等于( ) A.20 B.25 C.30 D.40 解析： PA 切 O于点 A， PAB=90， P=40， POA=90 -40 =50， OC=OB， B= BCO=2
6、5 . 答案： B 11.填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律 m的值为 ( ) A.180 B.182 C.184 D.186 解析：由前面数字关系： 1， 3， 5； 3， 5， 7； 5， 7， 9， 可得最后一个三个数分别为： 11， 13， 15， 3 5-1=14，； 5 7-3=32； 7 9-5=58； m=13 15-11=184. 答案： C 12.一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2= 2kx(k1 k2 0)的图象如图所示，若 y1 y2，则 x 的取值范围是 ( ) A.-2 x 0或 x 1 B.-2 x 1 C.x -2或 x 1 D
7、.x -2或 0 x 1 解析：如图所示，若 y1 y2，则 x 的取值范围是： x -2或 0 x 1. 答案： D 二、填空题 (共 6小题，每小题 4分，满分 24分 ) 13.计算 (-12)-1= . 解析：原式 = 112= . 答案： -2 14.在 ABC中， MN BC 分别交 AB， AC于点 M， N；若 AM=1， MB=2， BC=3，则 MN 的长为 . 解析： MN BC， AMN ABC， AM MNAB BC，即 11 2 3MN， MN=1. 答案： 1 15.我国明代数学家程大位的名著直接算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人
8、分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100个和尚分 100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3个，小和尚 3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x， y人，则可以列方程组 . 解析：设大、小和尚各有 x， y人，则可以列方程组： 3 1 3 1 0 0,100.xyxy答案： 3 13 100100xyxy16.圆锥的底面周长为 6 cm，高为 4cm，则该圆锥的全面积是 ；侧面展开扇形的圆心角是 . 解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R，侧面展开扇形的圆心角为 n； 圆锥的底面周长为 2 r=6 cm， r=3， 圆锥的高为 4cm， R= 2234 =5(cm)，
9、圆锥的全面积 =底面积 +侧面积 = 32+12 6 5=24， 侧面展开扇形的弧长 l=底面周长 =6 = 180nR， n=180 65=216， 即侧面展开扇形的圆心角是 216 . 答案： 24， 216 17.如图，等腰 ABC内接于 O，已知 AB=AC， ABC=30， BD 是 O的直径，如果 CD=433，则 AD= . 解析： AB=AC， ABC= ACB= ADB=30， BD是直径， BAD=90， ABD=60， CBD= ABD- ABC=30， ABC= CBD， A C C D A B， CB AD ， AD=CB， BCD=90， BC=CD tan60 =
10、4333 =4， AD=BC=4. 答案： 4 18.如图， 13个边长为 1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形 .请在如图所示的网格中 (网格的边长为 1)中，用直尺作出这个大正方形 . 解析：直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案 . 答案：如图所示：所画正方形即为所求 . 三、解答题 (共 8个题，共 78分 ) 19. 计算： 4sin45 +|-2|- 0183. 解析：直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质分别化简得出答案 . 答案： 4sin45 +|-2|- 0183=4 2 2 2 22 +1 =2 2 2 2 +3 =3.
11、20.先化简，再求值： 21122aaaa，其中 a=2. 解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案： 21122aaaa= 2 122 2 1 1aa aa a a a = 2 2 1 22 1 1a a aa a a = 11aa当 a=2时，原式 =2121=3. 21.如图，点 E， F分别在菱形 ABCD的边 DC， DA上，且 CE=AF.求证： ABF= CBE. 解析：根据菱形的性质可得 AB=BC， A= C，再证明 ABF CBE，根据全等三角形的性质可得结论 . 答案：四边形 ABCD 是菱形， AB=BC，
12、 A= C， 在 ABF和 CBE中， ,AF CEACAB CB ， ABF CBE(SAS)， ABF= CBE. 22.两个城镇 A， B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A， B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相等，且在 DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P.(不要求写作法，保留作图痕迹 .) 解析：根据角平分线的性质可知：到 CD和 CE的距离相等的点在 ECD的平分线上，所以第一步作： ECD的平分线 CF； 根据中垂线的性质可知：到 A， B 的距离相等的点在 AB 的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂
13、线 MN， 其交点就是 P点 . 答案：作法：作 ECD的平分线 CF， 作线段 AB 的中垂线 MN， MN与 CF交于点 P，则 P就是山庄的位置 . 23.某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式： A、跑步， B、跳绳， C、做操， D、游戏 .全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图 . 请结合统计图，回答下列问题： (1)本次调查学生共 人， a= ，并将条形图补充完整； (2)如果该校有学生 2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？ (3)学校让每班在 A、 B、 C、 D 四钟
14、活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率 . 解析： (1)用 A 类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用 1分别减去 A、 C、 D 类的百分比即可得到 a的值，然后用 a%乘以总人数得到 B类人数，再补全条形统计图； (2)用 2000乘以 A类的百分比即可 . (3)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： (1)120 40%=300， a%=1-40%-30%-20%=10%， a=10， 10% 300=30， 图
15、形如下： (2)2000 40%=800(人 )， 答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有 800 人； (3)画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为 2， 所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率 = 2112 6. 24.【探究函数 y=x+4x的图象与性质】 (1)函数 y=x+4x的自变量 x的取值范围是 ； (2)下列四个函数图象中函数 y=x+4x的图象大致是 ； (3)对于函数 y=x+4x，求当 x 0时， y的取值范围 . 请将下列的求解过程补充完整 . 解： x 0， 2224 2 2y x
16、x xx xx + ， ( 2xx)2 0， y . 拓展运用 (4)若函数 y= 2 59xxx，则 y的取值范围 . 解析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可 . 答案： (1)函数 y=x+4x的自变量 x的取值范围是 x 0； (2)函数 y=x+4x的图象大致是 C； (3)解： x 0， 2224 2 2y x x xx xx +4， ( 2xx)2 0， y 4. (4)当 x 0， y= 222 25 9 9 3 35 5 1xx x x xxx xx ， 23xx 0， y 1. x 0， y= 222 25 9 9 3 35 5 1 1xx x x
17、 xxx xx ， - 23xx 0， y -11. 故答案为： x 0， C， 4， 4， y 1或 y -11. 25.如图 1，在平面直角坐标系， O为坐标原点，点 A(-1， 0)，点 B(0， 3 ). (1)求 BAO的度数； (2)如图 1，将 AOB绕点 O顺时针得 A OB，当 A恰好落在 AB边上时，设 AB O的面积为 S1， BA O的面积为 S2， S1与 S2有何关系？为什么？ (3)若将 AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置， S1与 S2的关系发生变化了吗？证明你的判断 . 解析： (1)先求出 OA， OB，再用锐角三角函数即可得出结论； (2)
18、根据等边三角形的性质可得 AO=AA，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 AO=12AB，然后求出 AO=OA，再根据等边三角形的性质求出点 O 到 AB 的距离等于点 A到 AO 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； (3)根据旋转的性质可得 BO=OB， AA =OA，再求出 AON= A OM，然后利用“角角边”证明 AON 和 A OM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=A M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明 . 答案： (1) A(-1， 0)， B(0， 3 )， OA=1， OB= 3 ， 在 Rt AOB中， tan BAO= 3
19、OBOA， BAO=60； (2) BAO=60， AOB=90， ABO=30， CA =AC=12AB， OA =AA =AO， 根据等边三角形的性质可得， AOA的边 AO、 AA上的高相等， BA O的面积和 AB O的面积相等 (等底等高的三角形的面积相等 )，即 S1=S2， (3)S1=S2不发生变化； 理由：如图，过点作 A M OB.过点 A作 AN OB交 B O的延长线于 N， A B O是由 ABO绕点 O旋转得到， BO=OB， AO=OA， AON+ BON=90， A OM+ BON=180 -90 =90， AON= A OM， 在 AON和 A OM中， A
20、O N A O MO M A O N AA O A O ， AON A OM(AAS)， AN=A M， BOA的面积和 AB O的面积相等 (等底等高的三角形的面积相等 )，即 S1=S2. 26.抛物线 y=4x2-2ax+b 与 x 轴相交于 A(x1， 0)， B(x2， 0)(0 x1 x2)两点，与 y 轴交于点C. (1)设 AB=2， tan ABC=4，求该抛物线的解析式； (2)在 (1)中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当 BCD 的面积最大时，求点 D 的坐标； (3)是否存在整数 a， b 使得 1 x1 2和 1 x2 2同时成立，请证明你的结论 .
21、解析： (1)由 tan ABC=4，可以假设 B(m， 0)，则 A(m-2， 0)， C(0， 4m)，可得抛物线的解析式为 y=4(x-m)(x-m+2)，把 C(0， 4m)代入 y=4(x-m)(x-m+2)，求出 m的值即可解决问题； (2)设 P(m， 4m2-16m+12).作 PH OC交 BC于 H，根据 S PBC=S PHC+S PHB构建二次函数，理由二次函数的性质解决问题； (3)不存在 .假设存在，由题意由题意可知， 4 2 01 6 4 04 2 1 6 0ababab ， ， ，且 1 28a 2，首先求出整数 a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题 .
22、 答案： (1) tan ABC=4， 可以假设 B(m， 0)，则 A(m-2， 0)， C(0， 4m)， 可以假设抛物线的解析式为 y=4(x-m)(x-m+2)， 把 C(0， 4m)代入 y=4(x-m)(x-m+2)，得 m=3， 抛物线的解析式为 y=4(x-3)(x-1)， y=4x2-16x+12， (2)如图，设 P(m， 4m2-16m+12).作 PH OC 交 BC于 H. B(3， 0)， C(0， 12)，直线 BC 的解析式为 y=-4x+12， H(m， -4m+12)， S PBC=S PHC+S PHB=12 (-4m+12-4m2+16m-12)-3= 23 2 7622m ， -6 0， m=32时， PBC面积最大，此时 P(32， -3). (3)不存在 . 理由：假设存在 .由题意可知， 4 2 01 6 4 04 2 1 6 0ababab ， ， ，且 1 28a 2， 4 a 8， a是整数， a=5 或 6或 7， 当 a=5时，代入不等式组，不等式组无解 . 当 a=6时，代入不等式组，不等式组无解 . 当 a=7时，代入不等式组，不等式组无解 . 综上所述，不存在整数 a、 b，使得 1 x1 2和 1 x2 2同时成立 .
