1、2017年上海市宝山区中考一模数学 一、选择题： (本大题共 6题，每题 4分，满分 24分 ) 1.已知 A=30，下列判断正确的是 ( ) A.sinA=12B.cosA=12C.tanA=12D.cotA=12解析：根据特殊角的三角函数值进行判断即可 A=30， sinA=12， cosA= 32， tanA= 33， cotA= 3 . 答案： A. 2.如果 C是线段 AB的黄金分割点 C，并且 AC CB， AB=1，那么 AC的长度为 ( ) A.23B.12C. 5 12D.32 5解析： C是线段 AB 的黄金分割点 C， AC CB， 5225 11A C A B. 答案：
2、 C. 3.二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为 ( ) A.x 0 B.x为一切实数 C.y 2 D.y为一切实数 解析：二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为 x为一切实数 . 答案： B 4.已知非零向量 ar 、 br 之间满足 3abrr，下列判断正确的是 ( ) A.ar 的模为 3 B.ar 与 br 的模之比为 -3： 1 C.ar 与 br 平行且方向相同 D.ar 与 br 平行且方向相反 解析：根据向量的长度和方向，可得答案 . A、由 3abrr，得 3abrr，故 A错误； B、由 3abrr，得 3abrr， |ar |： |br |=3： 1，故 B错误；
3、C、由 3abrr，得 ar 与 br 方向相反，故 C错误； D、由 3abrr，得 ar 与 br 平行且方向相反，故 D正确 . 答案： D. 5.如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的( ) A.南偏西 30方向 B.南偏西 60方向 C.南偏东 30方向 D.南偏东 60方向 解析：根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向 . 如图所示： 可得 1=30， 从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30方向， 从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西 30方向 . 答案： A. 6.二次函数 y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数 y=mx+n
4、的图象经过 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 解析：抛物线的顶点在第四象限， -m 0， n 0， m 0， 一次函数 y=mx+n的图象经过二、三、四象限 . 答案： C. 二、填空题： (本大题共 12 小题，每题 4分，满分 48 分 ) 7.已知 2a=3b，则 ab. 解析： 比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积 . 2a=3b， 32ab. 答案： 32. 8.如果两个相似三角形的相似比为 1： 4，那么它们的面积比为 . 解析：根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得 . 两个相似三角形的相
5、似比为 1： 4， 它们的面积比为 1： 16. 答案： 1： 16. 9.如图， D 为 ABC 的边 AB 上一点，如果 ACD= ABC 时，那么图中 是 AD 和 AB 的比例中项 . 解析：根据两角分别相等的两个三角形相似，可得 ACD ABC 的关系，根据相似三角形的性质，可得答案 . 在 ACD与 ABC中， ACD= ABC， A= A， ACD ABC， AD ACAC AB， AC是 AD和 AB 的比例中项 . 答案： AC. 10.如图， ABC中 C=90，若 CD AB于 D，且 BD=4， AD=9，则 tanA= . 解析：先证明 BDC CDA，利用相似三角形
6、的性质求出 CD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出 tanA的值 . BCD+ DCA= DCA+ A=90， BCD= A， CD AB， BDC= CDA=90， BDC CDA， CD2=BD AD， CD=6， tan 23CDA AD. 答案： 23. 11.计算： 2 3 5a b b r r r . 解析： 可根据向量的加法法则进行计算，可得答案 . 2 3 5 2 6 5 2a b b a b b a b r r r r r r r r. 答案： 2abrr. 12.如图， G为 ABC的重心，如果 AB=AC=13， BC=10，那么 AG的长为 . 解析：延长 A
7、G 交 BC 于 D，根据重心的概念得到 BAD= CAD，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可 . 延长 AG 交 BC于 D， G为 ABC的重心， BAD= CAD， AB=AC， BD=12BC=5， AD BC， 由勾股定理得， AD= 22AB BD =12， G为 ABC的重心， AG=23AD=8. 答案： 8. 13.二次函数 y=5(x-4)2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是 . 解析：按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可 . y=5(x-4)2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得 y=5(
8、x-4+2)2+3-1，即y=5(x-2)2+2. 答案： y=5(x-2)2+2. 14.如果点 A(1， 2)和点 B(3， 2)都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，那么抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是直线 . 解析：根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴 . 点 A(1， 2)和点 B(3， 2)都在抛物线 y=ax2+bx+c的图象上， 其对称轴为 1322x . 答案： x=2. 15.已知 A(2， y1)、 B(3， y2)是抛物线 2 312yx 的图象上两点，则 y1 y2.(填不等号 ) 解析 ：由题意得：抛物线的对称轴是：直线 x=1， 2
9、 0， 当 x 1时， y随 x的增大而减小， 2 3， y1 y2. 答案 ： . 16.如果在一个斜坡上每向上前进 13米，水平高度就升高了 5米，则该斜坡的坡度 i= . 解析：设在一个斜坡上前进 13米，水平高度升高了 5米，此时水平距离为 x 米， 根据勾股定理，得 x2+52=132， 解得： x=12， 故该斜坡坡度 i=5： 12=1： 2.4. 答案： 1： 2.4. 17.数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如 y=ax2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数 a、 b、 c称为该抛物线的特征数，记作：特征数 a、 b、 c， (请
10、你求 )在研究活动中被记作特征数为 1、 -4、 3的抛物线的顶点坐标为 . 解析：特征数为 1、 -4、 3， 抛物线解析式为 y=x2-4x+3=(x-2)2-1， 抛物线顶点坐标为 (2， -1). 答案： (2， -1). 18.如图， D 为直角 ABC 的斜边 AB 上一点， DE AB 交 AC 于 E，如果 AED 沿 DE 翻折， A恰好与 B重合，联结 CD交 BE于 F，如果 AC=8， tanA=12，那么 CF： DF= . 解析： DE AB， tanA=12， DE=12AD， Rt ABC中， AC=8， tanA=12， BC=4， 22 4 5A B A C
11、 B C ， 又 AED沿 DE 翻折， A恰好与 B重合， AD=BD=2 5 ， DE= 5 ， Rt ADE中， 22 5A E A D D E ， CE=8-5=3， Rt BCE中， 223 4 5BE ， 如图，过点 C作 CG BE于 G，作 DH BE 于 H， 则 Rt BDE中， 2 5 255DH ， Rt BCE中， 3 4 1 255CG ， CG DH， CFG DFH， 12 6525C F C GD F D H . 即 CF： DF=6： 5. 答案： 6： 5. 三、解答题： (本大题共 7小题，满分 78分 ) 19.计算： 0c o t 4 5 c o s
12、 3 0 2 0 1 7t a n 6 0 2 s i n 4 5 . 解析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案：原式 3 3 3321 1 22 2 2232112 . 20.如图，在 ABC中，点 D、 E分别在边 AB、 AC 上，如果 DE BC，且 DE=23BC. (1)如果 AC=6，求 CE 的长 . 解析： (1)根据相似三角形的判定与性质，可得 AE的长，根据线段的和差，可得答案 . 答案： (1)由 DE BC，得 ADE ABC， AE DEAC BC. 又 DE=23BC且 AC=6，得 AE=23AC=4， CE=AC-AE=6-
13、4=2. (2)设 AB auuur r ， AC buuur r ，求向量 DEuur (用向量 ar 、 br 表示 ). 解析： (2)根据相似三角形的判定与性质，可得 AE， AD 的长，根据向量的减法运算，可得答案 . 答案： (2)如图， 由 DE BC，得 ADE ABC， AE DEAC BC. 又 AC=6且 DE=23BC，得 AE=23AC， AD=23AB. 2233A E A C buuur uuur r， 2233A D A B auuur uuur r. 2233D E A E A D b a u u ur u uur u u ur r r. 21.如图， AB、
14、 CD 分别表示两幢相距 36 米的大楼，高兴同学站在 CD大楼的 P处窗口观察 AB大楼的底部 B点的俯角为 45，观察 AB大楼的顶部 A点的仰角为 30，求大楼 AB 的高 . 解析：过点 P作 AB 的垂线，垂足为 E，根据题意可得出四边形 PDBE是矩形，再由 EPB=45可知 BE=PE=36m，由 AE=PE tan30得出 AE的长，进而可得出结论 . 答案：如图，过点 P作 AB 的垂线，垂足为 E， PD AB， DB AB， 四边形 PDBE是矩形， BD=36m， EPB=45， BE=PE=36m， AE=PE tan30 =36 33=12 3 (m)， AB=AB
15、+BE=(12 3 +36)m. 答：建筑物 AB的高为 (36+12 3 )米 . 22.直线 l： 34 6yx 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B，过 A、 B 两点的抛物线 m 与 x 轴的另一个交点为 C， (C在 B 的左边 )，如果 BC=5，求抛物线 m的解析式，并根据函数图象指出当 m的函数值大于 0 的函数值时 x的取值范围 . 解析：先根据函数的解析式求出 A、 B两点的坐标，再求出点 C的坐标，利用待定系数法求出抛物线 m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解 . 答案： 34 6yx 交 y轴于点 A，与 x轴交于点 B， x=0时， y=6， A(0， 6
16、)， y=0时， x=8， B(8， 0)， 过 A、 B两点的抛物线 m与 x轴的另一个交点为 C， (C在 B的左边 )， BC=5， C(3， 0). 设抛物线 m的解析式为 y=a(x-3)(x-8)， 将 A(0， 6)代入，得 24a=6，解得 a=14， 抛物线 m的解析式为 y=14(x-3)(x-8)，即 2 114 1 64y x x ； 函数图象如图： 当抛物线 m的函数值大于 0时， x的取值范围是 x 3或 x 8. 23.如图，点 E是正方形 ABCD的对角线 AC上的一个动点 (不与 A、 C重合 )，作 EF AC交边BC于点 F，联结 AF、 BE交于点 G.
17、 (1)求证： CAF CBE； 解析： (1)利用 AA证明 CEF CAB，再列出比例式利用 SAS证明 CAF CBE. 答案： (1)证明：四边形 ABCD是正方形， ABC=90， EF AC， FEC=90 = ABC， 又 FCE= ACB， CEF CAB， CF CBCE CA， 又 ACF= BCE， CAF CBE. (2)若 AE： EC=2： 1，求 tan BEF的值 . 解析： (2)证出 BAF= BEF，设 EC=1，则 EF=1， FC= 2 ， AC=3，由勾股定理得出 AB=BC=22 AC=322 ，得出 BF=BC-FC= 22 ，由三角函数即可得出
18、结果 . 答案： (2) CAF CBE， CAF= CBE， BAC= BCA=45， BAF= BEF， 设 EC=1，则 EF=1， FC= 2 ， AE： EC=2： 1， AC=3， AB=BC= 22AC=322， BF=BC-FC= 22， tan BEF=tan BAF=BFAB=13. 24.如图，二次函数 y=ax2-32x+2(a 0)的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A(-4， 0). (1)求抛物线与直线 AC 的函数解析式 . 解析： (1)把点 A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据 A， C两点的坐标，可求得直
19、线 AC 的函数解析式 . 答案： (1) A(-4， 0)在二次函数 y=ax2-32x+2(a 0)的图象上， 0=16a+6+2， 解得 a= 12， 抛物线的函数解析式为 2 21322y x x ； 点 C的坐标为 (0， 2)， 设直线 AC的解析式为 y=kx+b，则 042kbb ， 解得212kb ， 直线 AC的函数解析式为：2 21yx. (2)若点 D(m， n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形 OCDA 的面积为 S，求 S关于 m的函数关系 . 解析： (2)先过点 D 作 DH x 轴于点 H，运用割补法即可得到：四边形 OCDA 的面积 = ADH的面
20、积 +四边形 OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得 S关于 m的函数关系 . 答案： (2)点 D(m， n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点， D(m， 2132 22mm )， 过点 D作 DH x轴于点 H， 则 DH= 2132 22mm ， AH=m+4， HO=-m， 四边形 OCDA的面积 = ADH的面积 +四边形 OCDH的面积， 12S A H D H O H D Hgg 22114 2 23 1 32 2 2 2 2m m m m m m ， 化简，得 3 21144 44mS m m (-4 m 0). (3)若点 E为抛物线上任意一点，点 F为 x轴上任意一点，
21、当以 A、 C、 E、 F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点 E的坐标 . 解析： (3)由于 AC确定，可分 AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点 E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点 E的坐标 . 答案： (3)若 AC为平行四边形的一边，则 C、 E到 AF的距离相等， |yE|=|yC|=2， yE= 2. 当 yE=2 时，解方程 21322 22xx 得， x1=0， x2=-3， 点 E的坐标为 (-3， 2)； 当 yE=-2时，解方程 21322 22xx 得， x1= 3 412， x2= 3 412
22、， 点 E的坐标为 ( 3 412， -2)或 ( 3 412， -2)； 若 AC 为平行四边形的一条对角线，则 CE AF， yE=yC=2， 点 E的坐标为 (-3， 2). 综上所述，满足条件的点 E的坐标为 (-3， 2)、 ( 3 412， -2)、 ( 3 412， -2). 25.如图 (1)所示， E为矩形 ABCD的边 AD上一点，动点 P、 Q同时从点 B出发，点 P以 1cm/秒的速度沿折线 BE-ED-DC 运动到点 C 时停止，点 Q 以 2cm/秒的速度沿 BC 运动到点 C 时停止 .设 P、 Q 同时出发 t 秒时， BPQ 的面积为 ycm2.已知 y 与
23、t 的函数关系图象如图 (2)(其中曲线 OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段 ). (1)试根据图 (2)求 0 t 5时， BPQ的面积 y关于 t的函数解析式； 解析： (1)观察图象可知， AD=BC=5 2=10， BE=1 10=10， ED=4 1=4， AE=10-4=6 在 Rt ABE中， 2 2 2 21 0 6 8A B B E A E ，如图 1 中，作 PM BC 于 M.由 ABE MPB，得PB PMBE AB ，求出 PM，根据 BPQ的面积 y=12 BQ PM 计算即可问题 . 答案： (1)观察图象可知， AD=BC=5 2=10， BE=1 10=
24、10， ED=4 1=4， AE=10-4=6 在 Rt ABE中， 2 2 2 21 0 6 8A B B E A E ， 如图 1中，作 PM BC 于 M. ABE MPB， PB PMBE AB， 10 8t PM， 45PM t， 当 0 t 5时， BPQ 的面积 21122 442 55y B Q P M t t g g g g. (2)求出线段 BC、 BE、 ED的长度； 解析： (2)观察图象 (1)(2)，即可解决问题 . 答案： (2)由 (1)可知 BC=BE=10， ED=4. (3)当 t为多少秒时，以 B、 P、 Q为顶点的三角形和 ABE相似； 解析： (3)
25、分三种情形讨论 P在 BE上， P在 DE上， P在 CD 上，分别求解即可 . 答案： (3)当 P在 BE 上时，点 C在 C处时， BE=BC=10， 当 AE=AP=6时， PQB与 ABE相似， t=6. 当点 P在 ED上时，观察图象可知，不存在 . 当点 P在 DC上时，设 PC=a， 当 PC BCAE AB时， 1068a， a=152， 此时 t=10+4+(8-152)=14.5， t=14.5s时， PQB 与 ABE相似 . (4)如图 (3)过 E作 EF BC于 F， BEF绕点 B按顺时针方向旋转一定角度，如果 BEF中 E、F的对应点 H、 I恰好和射线 BE
26、、 CD的交点 G在一条直线，求此时 C、 I两点之间的距离 . 解析： (4)由 BIH= BCG=90，推出 B、 I、 C、 G 四点共圆，推出 BGH= BCI，由 GBH CBI，可得 IC BIGH BH，由此只要求出 GH 即可解决问题 . 答案： (4)如图 3中，设 EG=m， GH=n， DE BC， EG DEGB BC， 410 10mm ， m=203， 则 BG=503. 在 Rt BIG中， BG2=BI2+GI2， (503)2=62+(8+n)2， n=-8+8 343或 -8-8 343(舍弃 )， BIH= BCG=90， B、 I、 C、 G四点共圆， BGH= BCI， GBF= HBI， GBH= CBI， GBH CBI， (也可以先证明 BFI GFC，想办法推出 GFB CFI，推出 BGH=BCI) IC BIGH BH， 68 108 3 43IC ， 8 3 4 2 455IC .
