1、一级注册结构工程师基础部分-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：41，分数：100.00)1.设 （分数：2.50）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数2.下列广义积分中发散的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.3.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)、(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 （分数：2.50）A.B.C.D.4.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2y，则 等于_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.5.设 ，
2、则 a 为_。 A B （分数：2.50）A.B.C.D.6.设 其中 是由 与 z=1 所围成的立体，则 I=_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.在区间0，2上，曲线 y=sinx 与 y=cosx 之间所围图形的面积是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.设 f(x，y，z)是连续函数， （分数：2.50）A.I(R)是 R 的一阶无穷小B.I(R)是 R 的二阶无穷小C.I(R)是 R 的三阶无穷小D.I(R)至少是 R 的三阶无穷小9.设 f(x)、g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=
3、f(x)，x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.10.设曲线积分 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.11.设 （分数：2.50）A.IR 是 R 的一阶无穷小B.IR 是 R 的二阶无穷小C.IR 是 R 的三阶无穷小D.IR 至少是 R 的三阶无穷小12.设平面曲线 其所围成的区域分别记为 D 和 D 1 ，则有_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.13.曲线 r=ae b (a0，b0)从
4、 =0 到 =(0)的一段弧长为_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.14.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 所围成的区域面积可用定积分表示为_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.15.设函数 f(x)连续，由曲线 y=f(x)在 x 轴围成的三块面积为 S 1 、S 2 、S 3 (S 1 、S 2 、S 3 均大于0)，如下图所示，已知 S 2 +S 3 =p，S 1 =2S 2 -q，且 pq，则 等于_。 （分数：2.50）A.p-qB.q-pC.p+qD.2(p-q)16.设 （分数：2.50）A.0B.1C.2D.317.设
5、分数：2.50）A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值，但(0，F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标D.F(0)不是极值，(0，F(0)也不是曲线 F(x)的拐点坐标18.设 （分数：2.50）A.单调增而无上界B.单调增而有上界C.单调减而无下界D.单调减而有上界19.正项级数 的部分和数列 （分数：2.50）A.充分必要条件B.充分条件而非必要条件C.必要条件而非充分条件D.既非充分而又非必要条件20.级数 （分数：2.50）A.当 1p2 时条件收敛B.当 p2 时条件收敛C.当 p1 时条件收敛D.当 p1 时条件收敛21.下列级数中，条件收敛的是_。 A B C
6、 D （分数：2.50）A.B.C.D.22.若级数 收敛，则下列级数中不收敛的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.23.级数 （分数：2.50）A.绝对收敛B.条件收敛C.等比级数收敛D.发散24.级数 （分数：2.50）A.(-1，1)B.-1，1C.-1，0)D.(-1，0)25.下列幂级数中，收敛半径 R=3 的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.26.设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 （分数：2.50）A.(-2，2)B.(-2，4)C.(0，4)D.(-4，0)27.幂级数 的收敛域是_。 A-2，4) B(-2，4) C(-1
7、1) D （分数：2.50）A.B.C.D.28.当 时，函数 的麦克劳林展开式正确的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.29.下列各级数中发散的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.30.已知级数 ，则级数 （分数：2.50）A.3B.7C.8D.931.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 A 有关32.设 ，则下列级数中肯定收敛的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.33.已知级数 与广义积分 （分数：2.50）A.p2B.p2C.p0D.0p234.函数 e x
8、展开成为 x-1 的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.35.函数 展开成(x-2)的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.36.若 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径及 （分数：2.50）A.8，(-2，2B.8，-2，2C.不定，(-2，2D.8，-2，2)37.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：2.50）A.(-1，1)B.-1，1)C.(-1，1D.(-，+)38.若级数 （分数：2.50）A.1B.-1C.2D.-239.设 则 f(x)在 x=0 时的 6 阶导数 f (6) (0)是_。 A不存在 B C D （分数：2
9、50）A.B.C.D.40.设 为常数，则级数 （分数：1.50）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 的取值有关41.设 ，其中 a n = 则 等于_。 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.一级注册结构工程师基础部分-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：41，分数：100.00)1.设 （分数：2.50）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析 被积函数以 2 为周期，利用周期函数的积分性质进行计算。 首先决定 F(x)是否为常数，方法为： F“(x)0，则 F(x)C。 显然被积函数 e sint si
10、nt 以 2 为周期，由周期函数的性质可知：F(x)C。 由于 e sint sint 是以 2 为周期的，因此 2.下列广义积分中发散的是_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 收敛。 敛散性一致，故收敛。 收敛。 3.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)、(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 三角形 D 可进一步分割为两个分别关于 x 轴和 y 轴对称的三角形，从而根据被积函数关于x 或 y 的奇偶性即可得出结论。 设 D“是 xOy 平面上以(0，0)，(1，1
11、)，(-1，1)为顶点的三角形区域，D“是 xOy 平面上以(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 D“关于 y 轴对称，D“关于 x 轴对称。于是 由于 xy 关于 x 和 y 均为奇函数，因此 ，而 故 4.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2y，则 等于_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系，并在两种坐标系下化为累次积分，即得正确选项。积分区域(见下图)，在直角坐标系下， 在极坐标系下， 所以 5.设 ，则 a 为_。 A B （分数：2.50）A.B.C
12、D. 解析：解析 由题设， 6.设 其中 是由 与 z=1 所围成的立体，则 I=_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 设圆锥侧面，球面上侧所围区域为 1 ，球面与平面 z=1，圆锥面所围区域为 2 (见下图)，则 7.在区间0，2上，曲线 y=sinx 与 y=cosx 之间所围图形的面积是_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 y=sinx 与 y=cosx 的交点分别在 和8.设 f(x，y，z)是连续函数， （分数：2.50）A.I(R)是 R 的一阶无穷小B.I(R)是 R 的二阶无穷小C.I(R)是 R 的三阶无穷小D
13、I(R)至少是 R 的三阶无穷小 解析：解析 f(x，y，z)为常数 M 时， 对任意连续函数 f(x，y，z)，则由积分中值定理得： ，其中 2 + 2 + 2 R 2 。当 R0 时，(，)(0，0，0)，则： 9.设 f(x)、g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 dV=m-g(x) 2 -m-f(x) 2 dx，则： 10.设曲线积分 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，
14、且 f(0)=0，则 f(x)等于_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 曲线积分 P(x，y)=f(x)-e x siny，Q(x，y)=-f(x)cosy，则由题设有： 即f“(x)+f(x)-e x =0。 由一阶微分方程通解公式知， 又由 f(0)=0 得， 故有： 11.设 （分数：2.50）A.IR 是 R 的一阶无穷小B.IR 是 R 的二阶无穷小 C.IR 是 R 的三阶无穷小D.IR 至少是 R 的三阶无穷小解析：解析 圆周 的参数方程为： 从 0 到 2； 则曲线积分为： 上式右端的积分存在为常数，则 12.设平面曲线 其所围成的区域分别记为
15、D 和 D 1 ，则有_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由对称性知 且 ；故有 B 项， ，但 ，因此 C 项，左端为 0，但右端为 ，不相等。 D 项，左端为 ，但 13.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，有： 14.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 所围成的区域面积可用定积分表示为_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y
16、2 所围成的图形是关于 y 轴对称的，因此所求面积 S 为 x0部分图形面积 S 1 的两倍。对于 x0 部分双纽线的极坐标方程是： 于是 ，从而 15.设函数 f(x)连续，由曲线 y=f(x)在 x 轴围成的三块面积为 S 1 、S 2 、S 3 (S 1 、S 2 、S 3 均大于0)，如下图所示，已知 S 2 +S 3 =p，S 1 =2S 2 -q，且 pq，则 等于_。 （分数：2.50）A.p-qB.q-p C.p+qD.2(p-q)解析：解析 由定积分几何意义得： 又 S 2 +S 3 =p，S 1 =2S 2 -q， 则 S 1 -S 2 +S 3 =p-q，即 16.设 （
17、分数：2.50）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 ，故 f(x)单调增加且连续， f(1)=0 且 17.设 （分数：2.50）A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值，但(0，F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标 D.F(0)不是极值，(0，F(0)也不是曲线 F(x)的拐点坐标解析：解析 18.设 （分数：2.50）A.单调增而无上界B.单调增而有上界 C.单调减而无下界D.单调减而有上界解析：解析 19.正项级数 的部分和数列 （分数：2.50）A.充分必要条件 B.充分条件而非必要条件C.必要条件而非充分条件D.既非充分而又非必要条件解析：解析 正项级数的部分和
18、S n 构成一个单调增加(或不减少)的数列S n 。由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列S n 有上界。20.级数 （分数：2.50）A.当 1p2 时条件收敛 B.当 p2 时条件收敛C.当 p1 时条件收敛D.当 p1 时条件收敛解析：解析 设 条件收敛，即|a n |发散，a n 收敛。已知 发散，故 0p-11。所以当1p2 时，级数 21.下列级数中，条件收敛的是_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 因 条件收敛，应选 A 项。而 绝对收敛，22.若级数 收敛，则下列级数中不收敛的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C
19、D. 解析：解析 因为级数 收敛，故 ；因此， ，故23.级数 （分数：2.50）A.绝对收敛B.条件收敛 C.等比级数收敛D.发散解析：解析 为交错级数， ，且 ，由莱布尼茨判别法，知 收敛；而 的绝对值为调和级数，发散，故24.级数 （分数：2.50）A.(-1，1)B.-1，1C.-1，0) D.(-1，0)解析：解析 采用排除法求解。当 x=0 时，原级数可化为25.下列幂级数中，收敛半径 R=3 的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 幂级数收敛半径 ，则： A 项， ；B 项， C 项， D 项， 26.设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数
20、 （分数：2.50）A.(-2，2)B.(-2，4)C.(0，4) D.(-4，0)解析：解析 由于幂级数的收敛半径为 2，故 ，则 ，因此需满足27.幂级数 的收敛域是_。 A-2，4) B(-2，4) C(-1，1) D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 设 ，所以收敛半径 R=3，-3x-13，即-2x4。当 x=-2 时，幂级数为 ，收敛；当 x=4 时，幂级数为28.当 时，函数 的麦克劳林展开式正确的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 故 29.下列各级数中发散的是_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析
21、解析 设 ，则 而 发散，则 30.已知级数 ，则级数 （分数：2.50）A.3B.7C.8 D.9解析：解析 设法将 转化为用级数 和 表示即可。 则 31.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 A 有关解析：解析 注意利用不等式 因为 由题设 收敛，又 也收敛，故 32.设 ，则下列级数中肯定收敛的是_。 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 可知， ，而由 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 收敛，从而33.已知级数 与广义积分 （分数：2.50）A.p2B.p2C.p0D.0p2 解析：解析
22、若 和34.函数 e x 展开成为 x-1 的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 e x 在实数范围内有直到 n+1 阶的导数，利用泰勒公式展开如下： 35.函数 展开成(x-2)的幂级数是_。 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 f(x)在 x=x 0 的泰勒级数展开式为 ，从而 36.若 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径及 （分数：2.50）A.8，(-2，2 B.8，-2，2C.不定，(-2，2D.8，-2，2)解析：解析 由 的收敛域是(-8，8可知，幂级数 的收敛半径是 8，从而幂级数 的收敛半径也是 8，又因
23、幂级数 是幂级数 两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质，幂级数 的收敛半径是 8，对于 37.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：2.50）A.(-1，1)B.-1，1)C.(-1，1D.(-，+) 解析：解析 任取 x 0 (-1，1)，设 收敛，则 ，从而存在一个 M0，使得 而 ，故 38.若级数 （分数：2.50）A.1B.-1 C.2D.-2解析：解析 由已知，若 x=0 时收敛，则必有|a|1。又 a=1 且 x=0 时，原级数39.设 则 f(x)在 x=0 时的 6 阶导数 f (6) (0)是_。 A不存在 B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 所以 。因为 令 n=6，由函数展开式的惟一性： ，所以 40.设 为常数，则级数 （分数：1.50）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性与 的取值有关解析：解析 因级数 的一般项有 ，且 收敛，故 收敛； 又显然 发散，根据级数的运算性质知，级数 41.设 ，其中 a n = 则 等于_。 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设知，应先将 f(x)从0，1)作偶延拓，使之成为区间-1，1上的偶函数，然后再作周期(周期为 2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有：
