1、NORME INTERNATIONALE INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION MEXClyHAPOP,HAR OPI-AHM3AMR Il0 CTAHAPTM3AMM valuation de lincertitude dans ltalonnage et lutilisation des appareils de mesure du dbit - Partie 2: Relations dtalonnage non linaires Assess
2、ment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices - Part 2: Non-linear calibra tion rela tionships ISO 7066-2 Premire dition 1988-07-01 Numro de rfrence ISO 7066-2 : 1988 (F) ISO 7066-2 : 1988 (F) Avant-propos LISO (Organisation internationale de normalisation) est une fdrat
3、ion mondiale dorganismes nationaux de normalisation (comits membres de IISO). Llaboration des Normes internationales est en gnral confie aux comits techniques de IISO. Chaque comit membre intress par une tude a le droit de faire partie du comit technique cr cet effet. Les organisations international
4、es, gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec IISO participent galement aux travaux. LISO col- labore troitement avec la Commission lectrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation lectrotechnique. Les projets de Normes internationales adopts par les comits te
5、chniques sont soumis aux comits membres pour approbation, avant leur acceptation comme Normes inter- nationales par le Conseil de IISO. Les Normes internationales sont approuves confor- mment aux procdures de IISO qui requirent lapprobation de 75 % au moins des comits membres votants. La Norme inter
6、nationale ISO 7066-2 a t labore par le comit technique ISO/TC 30, Mesure de dbit des fluides dans les conduites fermes. Lattention des utilisateurs est attire sur le fait que toutes les Normes internationales sont de temps en temps soumises rvision et que toute rfrence faite une autre Norme internat
7、ionale dans le prsent document implique quil sagit, sauf indication contraire, de la dernire dition. 0 Organisation internationale de normalisation, 1988 0 Imprim en Suisse ii ISO 7066-2 : 1988 (FI Sommaire Introduction . Objet et domaine dapplication . Rfrences Dfinitions Symboles et abrviations. .
8、 Ajustement de la courbe 5.1 Gnralits . 5.2 Mthodes de calcul 5.3 Choix du degr optimal dajustement . Incertitude Annexes Mthodes de rgression Ajustement des courbes par la mthode des polynmes orthogonaux. . Programme dordinateur pour la mthode des polynmes orthogonaux Exemples . Mthode des diffrenc
9、es finies. Page 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 5 9 11 17 27 . . . III Page blanche NORME INTERNATIONALE ISO 7066-2 : 1988 (FI valuation de lincertitude dans ltalonnage et lutilisation des appareils de mesure du dbit - Partie 2: Relations dtalonnage non linaires 0 Introduction LISO 7666-l indiquait comment on p
10、ouvait faire passer une droite dajustement entre les valeurs dtalonnage des appareils de mesurage du dbit et calculer lincertitude de cet talon- nage. La prsente partie de IISO 7666 traite du cas o une droite ne permet pas de reprsenter les valeurs dtalonnage. 1 Objet et domaine dapplication La prse
11、nte partie de IISO 7666 indique comment faire passer une courbe exprime sous la forme dun polynme de degr 2, 3 ou au-del, par un ensemble non rectilignel) de valeurs dta- lonnage en utilisant comme critre la mthode des moindres carres. Elle indique galement comment valuer lincertitude partir de la c
12、ourbe dtalonnage ainsi obtenue. La prsente par- tie de IISO 7666 ne traite que du cas des polynmes expo- sants entiers. Ltablissement de ce type de courbe et lvaluation de Iincerti- tude correspondante tant gnralement impossibles sans ordi- nateur, la prsente partie de IISO 7666 pose comme hypothse
13、de travail que lutilisateur en possde un. Dans la plupart des cas, il sera possible de se servir des routines normalises de lordinateur. II est galement possible dexploiter le programme FORTRAN indiqu en annexe C. Des exemples dapplication des mthodes prconises figurent en annexe D. II nest pas perm
14、is dextrapoler au-del de ltendue des mesu- res effectues. Les annexes A, B, C, D et E ne font pas partie intgrante de la prsente partie de IISO 7666. 2 Rfrences I SO 5168, Mesure de dbit des fluides - Calcul de lerreur limite sur une mesure de dbit2 ISO 7066-1, ivaluation de lincertitude dans ltalon
15、nage et lutilisation des appareils de mesure de dbit - Partie 1: Rela- tions dtalonnage linaires. 3, 3 Dfinitions Dans le cadre de la prsente partie de IISO 7666, les dfinitions suivantes sont applicables. 3.1 mthode des moindres carrs: Mthode utilise pour calculer les coefficients dune quation lors
16、quon a choisi la forme dquation la plus adapte pour ajuster une courbe des valeurs. Le principe de la mthode des moindes carrs est de minimiser la somme des carrs des carts des valeurs observes par rapport la courbe. 3.2 polynmes: Pour une variable X, une srie de termes entiers ordonns selon les pui
17、ssances croissantes de X. 3.3 analyse de rgression: Le processus de quantification de la dpendance dune variable par rapport une ou plusieurs autres variables. NOTE - Beaucoup de programmes dordinateur utilisables pour Iajus- tement de courbes possdent le terme rgression dans leur titre. Dans la prs
18、ente partie de IISO 7066, les termes (rgression et (moindres carrs) peuvent tre employs indiffremment. 3.4 kart-type: Racine carre positive de la variante. 3.5 variante: Mesure de la dispersion base sur la moyenne des carrs des carts des valeurs dune variable sa valeur espre. 4 Symboles et abrviatio
19、ns bj coefficient de Xj Cjb lment de la matrice inverse 1) Les mthodes sont valables pour un ensemble rectiligne galement. 2) Actuellement au stade de projet. (Rvision de IISO 5188 : 1978.) 3) Actuellement au stade de projet. ISO 7066-2 : 1988 (F) e, ( ) incertitude alatoire de la variable contenue
20、entre parenthses) . e, ( ) incertitude systmatique de la variable contenue entre parenthses) e (j$) incertitude totale du coefficient dtalonnage) gj coefficient du polynme orthogonal de degrj m degr du polynme n nombre de valeurs Pj (x) polynme orthogonal de degrj s ( ) cart-type exprimental de la v
21、ariable contenue entre le changement de la variable indpendante en son inverse, 1 lx, donne dans certains cas une linarit convenable. Les mthodes des moindres carrs dcrites dans la prsente partie de IISO 7066 peuvent ne pas convenir si leffet de Iincer- titude alatoire e, (x) des valeurs mesures Xi
22、nest pas ngligea- ble par rapport celui de lincertitude alatoire e,. (y) des Dans certaines Normes internationales, les symboles U et E sont utiliss la place de e. 2 ISO 7066-2 : 1988 (FI valeurs de y. Si, comme dans VIS0 7666-l la pente) de la courbe dtalonnage est toujours infrieure 1/5 de e, (y)
23、/ e, (x), les mthodes peuvent tre considres comme appropries. Dans le cas contraire, il faut procder un traitement mathma- tique qui sort du cadre de la prsente partie de IISO 7066. Donc, si la pratique normale dtalonnage dun dbitmtre donn consiste reporter les variables sur une courbe de telle mani
24、re quon ne puisse pas remplir la condition ci-dessus, il faut soit inverser le choix normal des abscisses et des ordon- nes, soit renoncer utiliser la prsente partie de IISO 7666. Si lon change lune ou lautre variable avant lajustement, les incertitudes voques ci-dessus et plus bas (au chapitre 5) s
25、e rapporteront alors aux nouvelles variables. Et si, en raison du changement de la variable dpendante, lincertitude alatoire e, (y) ne peut plus tre considre comme constante sur toute ltendue, il faut alors utiliser une mthode de moindres carrs pondrs. Les moindres carrs pondrs ne sont pas dcrits da
26、ns la prsente partie de IISO 7666, mais de nombreuses rou- tines de bibliothques dordinateurs disponibles dans le com- merce permettent de pondrer les donnes. 5.2 Mthodes de calcul Des routines normalises dajustement des courbes par la mthode des moindres carrs sont disponibles sur la plupart des or
27、dinateurs. La mthode dajustement dune droite dcrite dans IISO 7066-l est communment dsigne sous le terme de ( rgression linaire) ou de ( rgression linaire simple. La mthode quivalente utilisable pour les polynmes peut tre qualifie de rgression polynmiale ou curviligne et est un type spcial de rgress
28、ion linaire multiple. Lannexe A donne des dtails plus prcis sur la nature des mthodes de rgression et leur utilisation. ct des mthodes de rgression classiques, on peut gale- ment utiliser la mthode des polynmes orthogonaux dcrite lannexe B. Cette mthode est particulirement bien adapte aux cas o lon
29、ne connat pas lavance le degr dajustement. Lannexe C fournit cet gard un programme dordinateur. Lorsquon ne dispose pas dun ordinateur et que les valeurs de x sont rparties de facon uniforme, on peut utiliser la mthode des diffrences finies (voir annexe E) qui donne une indication immdiate du degr d
30、ajustement appropri pour reprsenter les donnes. On peut galement calculer les coefficients du polynme reprsentant ces donnes mais il ne sagit plus l du polynme des moindres carrs et la mthode de calcul des valeurs de lincertitude nentre pas dans le cadre de la prsente partie de IISO 7666. 5.3 Choix
31、du degr optimal dajustement On cherche la reprsentation la mieux adapte en essayant des valeurs croissantes du degr m, soit jusqu un maximum sp- cifi, soit jusqu ce quon nobserve plus aucune amlioration significative. On calcule ensuite lcart-type rsiduel Sr pour chaque degr (Sr est la racine laide
32、de lquation suivante : carre de la variante rsiduelle) (3) O yi est la valeur donne par tion (211 pour x = Xi. lexpression polynmiale qua- NOTE - s,? est lquivalent de s* (y,) utilis dans IISO 7066-l. Le degr mesure n m doit toujours tre infrieur au nombre de points de Si les donnes peuvent tre corr
33、ectement reprsentes par un polynme de degr m, Sr dcrotra de facon significative jusqu ce quon atteigne ce degr m. Par la suite, Sr demeurera sensi- blement constant. En gnral, toutefois, il nest pas vident de trouver partir de quel degr la diminution de Sr cesse dtre significative et il convient de
34、prendre un test objectif de signifi- cation pour aider dfinir le degr optimal dajustement. On considre que laugmentation du degr de m - 1 m repr- sente une amlioration statistiquement satisfaisante de Iajuste- ment si le nouveau coefficient, bm, diffre de facon significative de zro, cest-dire si bm
35、+ tg5 (bm) et bm - fg5 S(bm), (limi- tes de confiance 95 % de bm) ninclut pas zro. Cette condition peut sexprimer sous la forme: t95 o tg5 est le coefficient de Student pour un niveau de confiance de95%v = n - m -1. La valeur de tg5 en fonction du nombre de degrs peut se calculer par la relation emp
36、irique suivante: de libert v t95 = 1,96 + 2,361 + 3,2/v* + 5,2/v3rw . . . (4) Pour le coefficient polynmial orthogonal gm (voir annexe B), cette condition est: gm I / - t95 s km) Les expressions des variantes des coefficients S* (6,) et sont donnes en annexe A et annexe B respectivement s* (gm) II e
37、st important de tester leffet dune augmentation du degr un chelon au moins au-del de celui qui ne fait plus apparatre aucune amlioration significative car il savre souvent que, soit seuls les termes impairs, soit seuls les termes pairs, engendrent cette amlioration significative. Dun point de vue st
38、atistique, le degr le plus lev apportant une amlioration significative de lajustement au niveau de con- fiance de 95 % peut tre considr comme le degr optimal. Toutefois, avant de choisir ce degr comme le plus apte repr- 1) ( Pente) signifie ici la drive CI / dx = b, + 26,x + . . . . ISO 7066-2 : 198
39、8 (FI senter les donnes, il faut considrer dautres facteurs parmi Les expressions de s*(y) figurent en annexes A et B; en gnral lesquels: la forme attendue de la courbe, laspect pratique s*(y) peut sexprimer sous la forme dune fonction polynmiale davoir une forme fonctionnelle qui ne soit pas trop c
40、omplexe, ltendue quil est ncessaire de reprsenter et la prcision de x de degr 2m. II est important de vrifier que le calcul de s*(y) intgre suffisamment de chiffres significatifs pour viter recherche. les grosses erreurs darrondissage rsultant de soustractions. Pour valuer ces facteurs, il est toujo
41、urs conseill de tracer des graphiques reprsentant les donnes et les courbes possibles. Ces graphiques permettent galement de mettre en lumire dautres problmes ventuels et notamment, si le degr est trop faible, lincapacit de la courbe reprsenter la tendance relle des donnes, les valeurs prsumes 7 pou
42、vant prsenter une erreur systmatique sur une partie de ltendue. Si le degr est trop lev, la courbe peut tre ajuste des donnes disper- ses, et non la tendance sous-jacente. noter que lestimation de lincertitude apporte par e,(Y) ne sera valable que dans la mesure o le polynme choisi repr- sente une b
43、onne approximation de la relation fonctionnelle vraie entre y et x. Les limites de confiance alatoires 95 % pour la valeur vraie de y sont dfinies par: y * e,(Y) Les exemples donns en annexe D illustrent une application de certains de ces principes. Comme dans IISO 7066-1, lincertitude sur le coeffi
44、cient dta- lonnage est donne par: e(yJ = e$9 + e U est une mesure pendan tes m. effets alatoires responsables de linarit de la dpendance de y par rapport aux variables ind- Sur les n ensembles dobservations: (ri, xii, x2i, *mm, Xmi) i = 1, 2, . . . . n les estimations des coefficients de rgression s
45、ont: de telle sorte que lestimation y de la valeur vraie correspondant au i me ensemble dobservations des variables indpendantes donne: j$ = bo + blxli + l mm + bmxmi . . . 6) En appliquant la mthode des moindres carrs pour minimiser c (yi - Fi)*, on obtient un ensemble de m + 1 quations simultanes communment appeles quations normales ) : nbo + C(Xli) bl + C(X2i)b2 + l -. + C(Xmi)bm = CYi CtXli)bo + Z(Xli)*bl + n m* + C(Xlixmi) 6, = C(xliyi) . . . (7) C(xmi) bo + C(xmixli) bl + mm. + C(Xmi)*bm = C(Xmiyi). Ces quations peuvent alors tre rsolues pour les m + 1 inconnues bo, b, . . . . b,.
