1、Norme internationale INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDlZATION*MEIKjJYHAPOHAR OPrAHH3AMR fl0 CTAHAPTH3AMWORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION Interprtation statistique de rsultats dessais - Estimation de la moyenne - Intervalle de confiance Statistical in terpreta tion of test results -
2、 Estimation of the mean - Confidence in terval Deuxieme Adition - 1980-02-15 CDU 519.25 : 620.113 Rf. no : ISO 26024980 (FI Descripteurs : analyse statistique, test statistique, estimation, rsultats dessai, moyenne mathmatique, variante. Prix bas sur 5 pages Avant-propos LISO (Organisation internati
3、onale de normalisation) est une fdration mondiale dorganismes nationaux de normalisation (comits membres de IISO). Llaboration des Normes internationales est confie aux comits techniques de IISO. Chaque comite membre intress par une etude a le droit de faire partie du comit technique correspondant.
4、Les organisations internationales, gouvernementales et non gouverne- mentales, en liaison avec IISO, participent galement aux travaux. Les projets de Normes internationales adopts par les comites techniques sont soumis aux comits membres pour approbation, avant leur acceptation comme Normes inter- n
5、ationales par le Conseil de IISO. La Norme internationale ISO 2602 a t Application des m - comparaison dune moyenne une valeur donne et de deux moyennes entre elles (variantes soit connues, soit inconnues, mais gales); - estimation dune variante et du rapport de deux varian- ces; - comparaison dune
6、variante une valeur donne et de deux variantes entre elles. Les mthodes dessais prvoient gnralement plusieurs dter- minations qui sont effectues : - sur le mme individu (quand lessai nest pas destructif 1; - sur des parties distinctes dun produit trs homogne (un liquide, par exemple); - sur des indi
7、vidus distincts, prlevs dans un ensemble prsentant une certaine variabilit. Dans les deux premiers cas, les carts entre les rsultats obte- nus ne dpendent que de la rptabilit de la mthode. Dans le troisime cas, ils dpendent galement de la variabilit du pro- duit lui-mme. Le traitement statistique de
8、s rsultats permet de calculer un intervalle qui contient, avec une probabilit donnee, la moyenne de la population des rsultats que lon obtiendrait avec un trs grand nombre de dterminations effectues dans les mmes conditions. Dans le cas dindividus prsentant une variabilit propre, la prsente Norme in
9、ternationale prsuppose que les individus sur lesquels sont effectues les dtermina- tions, ont t prlevs au hasard dans la population dorigine et peuvent tre considrs comme indpendants. Lintervalle que lon calcule ainsi sappelle intervalle de con- fiance de la moyenne. II lui est associ un niveau de c
10、onfiance (quelquefois appel coefficient de confiance) qui est la probabi- lit, exprime gnralement en Oh, pour que lintervalle con- tienne la moyenne de la population. Seuls les niveaux 95 % et 99 % ont t retenus dans la prsente Norme internationale. 1 Objet La prsente Norme internationale spcifie un
11、e mthode de trai- tement statistique des rsultats dessais, afin de calculer un intervalle de confiance de la moyenne dune population. 2 Domaine dapplication Les rsultats dessais sexpriment par des mesures dun carac- tre continu. La prsente Norme internationale ne concerne pas les essais caractre qua
12、litatif (par exemple, prsence ou absence dune proprit, nombre de dfauts). La loi de probabilit, prise comme modle mathmatique de lensemble de la population, est une loi normale dont les para- mtres, moyenne m et cart-type a, sont inconnus. Lhypothse de normalit est gnralement vrifie : la distribu- t
13、ion des resultats obtenus dans les conditions dune mthode dessai est gnralement normale ou voisine dune loi normale. II peut cependant tre utile de sassurer de la validit de Ihypo- thse de normalit par des mthodes appropries). 1) En prparation. ISO 26024980 (FI Les calculs peuvent tre simplifis par
14、un changement dorigine ou dunit des rsultats dessais, mais il est dangereux darron- dir ces rsultats. Le nombre de classes tant dsign par k, on a : II ne peut tre procd llimination ou la correction ven- tuelle de donnes individuelles apparemment douteuses que sil existe des raisons exprimentales, te
15、chniques ou videntes per- mettant une justification circonstancie de cette limination ou de cette correction. k n = c 5 i=l Le centre de la classe i est dsign par alors estime par la moyenne pondre classes : Yj* La moyenne m est de tous les centres de La mthode dessai peut tre entache derreurs systm
16、atiques dont la dtermination nest pas prise en considration ici. II faut toutefois noter que lexistence de telles erreurs peut enlever toute signification aux mthodes qui suivent. En particulier, sil y a un biais insouponn, laugmentation de leffectif n de lchantillon est sans influence sur le biais.
17、 Les mthodes spci- fies dans IISO 2854 peuvent, dans certains cas, tre utiles en vue de dceler des erreurs systmatiques. 1 k Y = - n 11 niyj i=l 6 Intervalle de confiance de la moyenne 3 Rfrences Lintervalle de confiance de la moyenne de la population est cal- cul partir des estimations de la moyenn
18、e et de lcart-type. I SO 2854, Traitement statistique des donnes - Problmes destimation et tests portant sur des moyennes et des varian- Une autre mthode de calcul de lintervalle de confiance, basee sur lutilisation de ltendue, est donne en annexe. ces. ISO 3534, Statistique - Vocabulaire et symbole
19、s. 6.1 Estimation de Mcart-type 6.1.1 Cas de rsultats non groups 4 Dfinitions et symboles Lestimation de lcart-type CJ, calcuk partir des carrs des carts la moyenne arithmtique, est donne par la formule : Le vocabulaire et les symboles utiliss dans la prsente Norme internationale sont conformes IISO
20、 3534. Estimation de la moyenne 5.1 Cas de rsultats non groups s= J/ o xi est la valeur de la ime mesure ti = 1, 2, 3, . . . . 4; Aprs limination ventuelle des rsultats aberrants, la serie des rsultats comporte n mesures xi (o i = 1,2,3, . . . , n) dont cer- taines peuvent avoir la mme valeur. n est
21、 le nombre total de mesures; X est la moyenne arithmtique des n mesures, calcule au paragraphe 5.1. La moyenne m de la loi normale reprsentative est estime par la moyenne arithmtique Fdes n rsultats : Pour la facilit des calculs, il est recommand dutiliser la for- mule suivante : 1 n xc - n c 3 i=l
22、52 . Cas de rsultats groups par classes Lorsque le nombre de rsultats est suffisamment lev (sup- rieur 50 par exemple), il peut tre avantageux de les grouper par classes de mme dimension. Les resultats peuvent aussi, dans certains cas, avoit t obtenus directement groups par classes. 6.1.2 Cas de rsu
23、ltats groups Dans le cas dun groupement tion de lcart-type scrit : Par classes, J 1 k S = n-l c nj(Yi - y,* i= 1 la destima- Leffectif de la ime classe, est symbolis par nj. nombre rsultats 2 ISO 26024980 (F) Pour la facilit des calculs, il est recommand dutiliser la for- mule suivante : ou S = niy
24、- 1 k 2 -c n i :il “iYi i=l t0 95 l?+ZF-;S J- n b) au niveau de confiance 99 % : o t0 99 t?lT-;s If- n 7 est la moyenne pondre de tous les centres de classes calcule au paragraphe 5.2. avec, si ncessaire, Yremplac par Ydans le cas de rsultats groups par classes. En toute rigueur, dans le cas de rsul
25、tats groups, une correc- tion devrait tre apporte la valeur de s ainsi calcule (correc- tion dite code Sheppard); cette correction dimportance secon- daire, nest pas cite ici. Les valeurs t. g75, t. gg5, t. g5 et t0 99 sont celles de la distribu- tion de la variable t de Student a ; = n + 1 degrs de
26、 libert. Elles sont donnes dans le tableau 1. 6.2 Intervalle de confiance de la moyenne Ce tableau donne galement les valeurs des rapports Pour le niveau de confiance choisi (95 % ou 99 %), on dtermi- nera, selon les cas, un intervalle de confiance bilatral ou unila- co,975 t. 995 t. 95 to,99 AL- tr
27、al. fifi*$i 6.2.1 Intervalle de confiance bilatral Pour les valeurs de n suprieures 60, il est prfrable de calcu- wn Lintervalle de confiance bilatral de la moyenne de la popula- tion est dfini par la double ingalit : Ier la valeur de t par une interpolation linaire a partir de ILV en n utilisant le
28、 tableau 2. a) au niveau de confiance 95 % : Exemple : to,975 to,975 x- -smF+ -S Ar n J- n b) au niveau de confiance 99 % : n = 250 120 -= 09 n tO,995 co,995 t0,995 = 2,576 + 0,48 (2,617 - 2,576) -$- - Sl?lFl- -S J d- = 2,596 n n 6.2.2 Intervalle de confiance unilathal 7 Prsentation des rsultats Lin
29、tervalle de confiance unilatral de la moyenne de la popula- tion est dfini par lune des ingalits : a) au niveau de confiance 95 % : t0 95 mCT+-“-s d- n 7.1 Donner lexpression de la moyenne selon 5.1 ou 5.2. 7.2 Exprimer lintervalle de confiance sous la forme de la dou- ble ingalit de 6.2.1, ou de lu
30、ne des ingalits de 6.2.2, en prcisant le niveau de confiance (95 % ou 99 % 1. Indiquer le nombre n de rsultats effectivement utiliss, ainsi que le nom- bre de rsultats limins comme aberrants, avec le motif de leur limination. ISO 26024980 (F) Tableau 1 - Valeurs de t, _ a et du rapport t, _ Jfi Nive
31、au de confiance Niveau de confiance cas bilathal cas unilatral 95 % 99 % 95 % 99 % n t0,975 t0,995 t0,95 0,99 2 12,71 Q 6,314 31,82 3 4,303 9,925 2,920 6,965 4 3,182 5,841 2,353 4,541 5 2,776 4,604 2,132 3,747 6 2,571 4,032 2,015 3,365 7 2,447 3,707 1,943 3,143 8 2,365 3,499 1,895 2,998 9 2,306 3,35
32、5 l,=o 2,896 10 2,262 3,250 1333 2,821 11 2,228 3,169 1,812 2,764 12 2,201 3,106 1,796 2,718 13 2,179 3,055 1,702 2,681 14 2,160 3,012 1,771 2,650 15 2,145 2,977 1,761 2,624 16 2,131 2,947 1,753 2,602 17 2,120 2,921 1,746 2,583 18 2,110 2,898 1,740 2,567 19 2,101 2,878 1,734 2,552 20 2,093 2,861 1,7
33、29 2,539 21 a= 2,845 1,725 2,528 22 Zo&o 2,831 1,721 2,518 23 2,074 2,819 1,717 2,508 24 2,069 2,807 1,714 2,500 25 m54 2,797 1,711 2,492 26 2,ofjo 2,787 1,708 2,485 27 2,056 2,779 1,706 2,479 28 2,052 2,771 1,703 2,473 29 u4f3 2,763 1,701 2,467 30 2,045 2,756 1m 2,462 40 2,024 2,707 1,= 2,430 50 2,
34、33 2,680 1,676 2,404 60 w)o 2,664 1,673 2,393 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 Niveau de confiance Niveau de confiance cas bilatthal cas unilatkal 95 % 99 % 95 % 99 % co,975 t0,995 to,95 t0,99 If- n d- n J- n d- n 8,985 45,013 4,465 22,501 2,4
35、84 5,730 1,686 4,021 1,591 2,920 1,177 2,270 1,242 2,059 0,953 1,676 1,049 lm-6 0,823 1,374 0,925 1,401 0,734 1,188 0,836 1,237 0,670 1,060 0,769 1,118 0,620 0,966 0,715 1,028 or= 0,892 0,672 0,956 or= 0,833 0,635 0,897 0,518 0,785 0,604 0,847 0,494 0,744 0,577 0,805 0,473 0,708 0,554 0,769 0,455 o,
36、= 0,533 0,737 w-38 0,651 0,514 0,708 0,423 0,627 0,497 oA= 0,410 0,605 O,QQ 0,660 o,= o,= 0,468 0,640 0,387 o,= 0,455 0,621 0,376 0,552 orJ43 0,604 0,367 0,537 0,432 o,= 0,358 0,523 0,422 0,573 0,350 0,510 0,413 0,559 0,342 0,498 04 0,547 0,335 0,487 o,= 0,535 0,328 0,477 o,= 0,524 0,322 0,467 o,= 0
37、,513 0,316 0,458 0,373 wQ3 0,310 0,449 0,320 0,428 0,266 or= 0,284 0,379 0,237 0 0,258 0,344 0,216 0,309 Tableau 2 120 n n to,975 t0,995 t0,95 t0,99 60 2 2,000 2,664 1,673 2,393 120 1 1,980 2,617 1,658 2,358 00 0 1,= 2,576 1,645 2,326 4 ISO 26024980 (F) Annexe Intervalle de confiance de la moyenne p
38、artir de ltendue Si les mesures sont classes par ordre croissant tel que X, F-qoggw I Les coefficients q. g75, qogs, , q. g5, q. 99 sont donns au tableau 3. , I , Tableau 3 T n 2 6,353 3 1,= 4 0,717 5 0,507 6 o,= 7 o,= 8 0,288 9 0,255 10 0 11 0,210 12 0,194 Niveau de confiance I Niveau de confiance
39、cas bilathal cas unilatkal 95 % 40,975 99% 95 % 40,995 QO,95 31,828 3,157 3,008 o,= 1,316 0,529 0,843 o,= 0,628 0,312 0,507 0,263 0,429 0,230 0,374 0,205 o,= 0,186 0,302 0,170 0,277 0,158 99 % Qo,99 15,910 2,111 1,023 0,685 0,523 0,429 0,366 0,322 0,288 0,262 0,241 J Rf. E. LORD, “The use of range in place of the standard deviation in t-test” (Biometrika, Vol. 34, 1947, pp. 41 - 671, la valeur qo,g5 ayant t corrige pour n = 2. ou m S-qog5w I 5 Page blanche
