1、- 1 -河北省辛集市第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期 12 月月考试题 文一、单选题（各 5 分，共 60 分）1. 已知命题 p：“ab”是“ ”的充要条件；q： xR， 0，则( )2ab xeA.pq 为真命题 B.pq 为假命题C.pq 为真命题 D.pq 为真命题2. 读右侧程序框图，该程序运行后输出的 A 值为A B C D3. 已知 x，y 的取值如下表：从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为，则 ( )x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A. 3.25 B. 2.6 C. 2.2 D. 0- 2 -4. 有 5 支彩笔(除颜色外无
2、差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.5. 已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于两点， ,则 （ ）A B C D6. 若双曲线 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )21xyabA. B. C. D.7. 记集 和集 表示的平面区域分别为 .若在区域 内任取一点 ，则点 落在区域 的概率为( )A B C D8. 曲线 (x0)上一动点 P(x0，f(x 0)处的切线斜率的最小值为( )A. B.3 C.2 D.69. 双曲线 C： (a0，b0)的左焦
3、点为 F1，过右顶点作 x 轴的垂线分別交两渐近线于 A，B 两点，若ABF 1为等边三角形，则 C 的离心率是( )A. B. C.2 D.- 3 -10. 设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x11. 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )A.( 2，+) B.(-，- 2) C.(1，+) D.(-，-1)12. 函数 f(x)= 3x1，若对于区间3，2上的任意 x1，x 2都
4、有|f(x 1)f(x 2)|t，3x则实数 t 的最小值是( )A.20 B.18 C.3 D.0二、填空题13. “x0”是“xa”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是_.14. 已知命题 p： xR，x 2+2x+a0 是真命题 ，则实数 a 的取值范围是_.15. 已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 _ .16. 已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P(1，1)为中点，则弦 AB 所在直线方程是_.三、解答题17. 已知 时的极值为 0（1）求常数 a， b 的值；（2）求 的单调区间18
5、. 已知函数 ，（1）若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 ， 的值；- 4 -（2）若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围.19. 已知函数 的图象过点 P（0，2），且在点 M（1， ）处的切线方程 。（1） 求函数 的解析式； （2） （2）求函数 与 的图像有三个交点，求 的取值范围。20. 已知函数 其中 为自然对数的底数（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（2）若函数 为单调函数，求实数 的取值范围；（3）若 时，求函数 的极小值。21. 设命题 ：函数 在区间 上单调递减；命题 ：函数的最小值不大于 0如果命题 为真命题， 为假命题，求实数的取值范围- 5 -22. 已知椭
6、圆 E： (ab0)的离心率 e= ，焦距为 .()求椭圆 E 的方程；()若 C，D 分别是椭圆 E 的左、右顶点，动点 M 满足 MDCD，连接 CM，交椭圆 E 于点P.证明： 为定值(O 为坐标原点).答案与解析1. 【答案】D2. 【答案】C【解析】略。3. 【答案】B【解析】略。4. 【答案】C【解析】有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，基本事件总数 n= =10，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= =4，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .5. 【答案】C【解析】略。6. 【答
7、案】D【解析】双曲线 =1 的一条渐近线经过点(3，4)，可得 3b=4a，即 9(c2a 2)=16a2，解得 = .7. 【答案】A.【解析】略。8. 【答案】C【解析】先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的- 6 -最小值. (x0)的导数 ，在该曲线上点(x 0，f(x 0)处切线斜率 ，由函数的定义域知 x00， ，当且仅当，即 时，等号成立.k 的最小值 为 2 .9. 【答案】C【解析】求出 AB，利用三角形 ABF1为等 边三角形，列出方程，即可求解 C 的离心率.双曲线C： (a0，b0)的左焦点为 F1，过右顶点作 x 轴的垂线分別交两渐近
8、线于A，B 两点，可得|AB|=2b，若ABF 1为等边三角形 ，可得 a+c= b，所以(a+c) 2=3c2-3a2，可得 e2-e-2=0，解得 e=2.e=-1 舍去.10. 【答案】D【解析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若 f(x)为奇函数，可得 a=1，所以函数 f(x)=x3+x，可得 f(x)=3x2+1，曲线 y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x.11. 【答案】B【解析】(i)当 a=0 时，f(x)=-3x 2+1，
9、令 f(x)=0，解得 x= ，函数 f(x)有两个零点，舍去.(ii)当 a0 时，f(x)=3ax 2-6x=3ax(x- )，令 f(x)=0，解得 x=0 或 .a0 时，0，当 x 或 x0 时，f(x)0，此时函数 f(x)单调递减；当 x0 时，f(x)0，此时函数 f(x)单调递增. 是函数 f(x)的极小值点，0 是函数 f(x)的极大值点.函- 7 -数 f(x)=ax3-3x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x00，则： 即： 可得 a-2.当 a0 时， 0，当 x 或 x0 时，f(x)0，此时函数 f(x)单调递增；当 0x时，f(x)0，此时函数 f(x)单调递减
10、. 是函数 f(x)的极小值点，0 是函数 f(x)的极大值点.不满足函数 f(x)=ax3-3x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x00，综上可得：实数 a 的取值范围是(-，-2).12. 【答案】A【解析】对于区间3，2上的任意 x1，x 2都有|f (x1)f(x 2)|t，等价于对于区间3，2上的任意 x，都有 f(x)maxf(x) mint，f(x)=x 33x1，f(x)=3x23=3(x1)(x+1)，x3，2，函数在3，1、1，2上单调递增，在1，1上单调递减f(x) max=f(2)=f(1)=1，f(x) min=f(3)=19f(x) maxf(x)min=20，t2
11、0实数 t 的最小值是 20.13. 【答案】(0，+)【解析】若“x0”是“xa”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是(0，+).14. 【答案】(-，1【解析】若命题 p： xR，x 2+2x+a0 是真命题，则判别式=4-4a0，即 a1.15. 【答案】(1，0)【解析】直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，x=1，代入到 y2=4ax，可得 y2=4a，显然a0，y=2 ，l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4，4 =4，解得a=1，y 2=4x，抛物线的焦点坐标为(1，0).- 8 -16. 【答案】2x-y-1=0【解析】设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)
12、，代入抛物线方程得 y12=4x1，y 22=4x2，-整理得 ，则弦 AB 所在直线方程为 y-1=2(x-1)，即为 2x-y-1=0.17.【答案】 (1) a = 2， b = 9. (2) 由 ；18.【答案】 解： ， （1） 函数 在 处的切线方程为 解得： . （2） 的定义域为 在其定义域内单调递增 0 在 恒成立（允许个别点处等于零） 0（ 0）即 0令 ，则其对称轴方程是 . 当 即 时， 在区间 上递增 在区间 上有 0，满足条件. - 9 - 当 0 即 0 时， 在区间 上递减， 在区间 上递增，则（ 0） 解得：0 综上所得， 另解：（2） 的定义域为 在其定义域
13、内单调递增 0 在 恒成立（允许 个别点处取到等号）0）即 （允许个别值处取到等号）令 ，则 ， 因为 ， 当且仅当 即 时取到等号. 所以 所以 【解析】略19【答案】 （1） ；（2）20【答案】- 10 - 11 -21【答案】a(，22,3)【解析】略。22【答案】【小题 1】 根据题 意，椭圆 E 的焦距为 ，则 2c= ，所以 c= ，因为所以 a= c=2，因为 a2=b2+c2，所以 b2=2，所以椭圆方程为 .【小题 2】 因为直线 CM 不在 x 轴上，故可设 lCM：x=my-2.由 得(m 2+2)y2-4my=0， ，即 P( ).在直线 x=my-2 中令- 12 -x=2，则 ，即 M(2， ). 为定值 4.【解析】【小题 1】 根据题意，分析可得椭圆中 c 的值，结合椭圆的离心率公式可得 a 的值，计算可得 b 的值，将 a、b 的值代 入椭圆的方程，即可得答案；【小题 2】 根据题意，设 lCM：x=my-2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用 m 表示 P 的坐标结合直线的方程分析可得 M 的坐标，进而可以用 m 表示 ，分析可得答案.
