1、- 1 -江苏省江阴市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.若复数 则 Z 的共轭复数是 1,zi2.同一排的电影票 5 张，2 个老师和 3 个学生就座，如果学生不相邻，则有 种不同的坐法. （用数字作答）3.若 ，则 的值为 346nAC4. 在一长为 3m 的线段 AB 上任取一点 P，则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1m 的概率为 5.江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生
2、物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有 种不同的选课组合.（用数字作答）6将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为 7. 若 ，则 .52510axbxa b8.已知离散型随机变量 X 的分布列如下 表所示.若 ，0,1EXV则 - 的值b为 9.若 的展开式中第 6 项的系数最大，则不含 x 的项等于 .nx23110. 除以 9 的余数为 .12727SC11.用数字 0、1、2、3、4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1、2 相邻的偶数有 .个（用数字作答）X -1 0 1 2P abc- 2 -12定义运算“ ”： 当 时，2(,0)xyRx
3、y,0xy的最小值是 .(2)xyx13我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 1+ 中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+ =x 求得 x= 类比上述过程，则 = .14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图 1 图 2他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数.类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，的数为正方形数.观察下列数：144；289；1024； 1225； 1378.其中，既是三
4、角形数又是正方形数的是 . (写出所有符合要求的数的序号)二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.设（2x-1） 5=a0+a1x+a2x2+a5x5，求：（1）a 0+a1+a5；（2）|a 0|+|a1|+|a5|；（3）a 1+a3+a5；（4）（a 0+a2+a4） 2-（a 1+a3+a5） 2- 3 -16. 复数 z=（1+i）m 2+（3-10i）m-（4-9i），（其中 i 为虚数单位，mR），（1）当 m=0 时，求复数 z 的模； （2）当实数 m 为何值时复数 z 为纯虚数；（3）当实数 m 为何值时复数 z 在复平面内对应的点在第二象限？17.(1)设 是
5、两个正实数，且 ，求证： ；,abab32aba（2）已知 是互不相等的非零实数，求证：三个方程 ，,c 0xbc， 中至少有一个方程有两个相异实根 .0bxa20xab- 4 -18.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物,掷出点数小于 5 的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.（1）求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率；（2）用 , 分别表示这 4 个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记 ,求随机变量 X的分布列与数学期望 .XEX
6、19.已知数列 其中 ，当,nab和1135(21),2nn nab时，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论nN- 5 -20.已知数列 na通项公式为 1naAtB，其中 ,At为常数，且 1t，nN等式 10 22021 201xbxbbx，其中0,1,ib为实常数（1）若 AB，求102na的值；（2）若 ,，且 1012nnb，求实数 t的值江阴市第一中学 20182019 学年度第二学期期中试卷高二数学（理科） 2019.4参考答案：- 6 -一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1. 2. 12 3. 7 4. 5. 13 12i 136. 7.
7、 40 8. 9. 210 10. 7 41611. 24 12. 13. 3 14. 2二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.解：（2x-1） 5=a0+a1x+a2x2+a5x5，（1）令 x=1，可得 a0+a1+a5 =1 (2 分)（2）在（2x+1） 5中，令 x=1，可得|a 0|+|a1|+|a5|=35=243.(6 分)（3）在（2x-1） 5=a0+a1x+a2x2+a5x5，中，令 x=-1，可得 a0-a1+a2-a3+a4-a5 =-243 ，-可得 2（a 1+a3+a5）=244，a 1+a3+a5 =122 (10 分)（4）+可得 2（a 0+
8、a2+a4）=-242，a 0+a2+a4=-121，（a 0+a2+a4） 2-（a 1+a3+a5） 2 =（-121） 2-1222=-243 (14 分)16.解：由已知整理得：z=（1+i）m 2+（3-10i）m-（4-9i）=（m 2+3m-4）+（m 2-10m+9）i（2 分）（1）当 m=0 时，z=-4+9i，|z|= = （6 分）（2）当 ， ，即 m=-4，复数 z 为纯虚数 （10 分）（3）当 ，即 ，即-4m1 时，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限 （14 分）17.(1)证明：ab，a-b0，a 2-2ab+b20，a 2-ab+b2ab，而 a，b
9、均为正数，a+b0，- 7 -（a+b）（a 2-ab+b2）ab（a+b），a 3+b3a 2b+ab2 成立. .(7 分)(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 1=4b2-4ac0， 2=4c2-4ab0， 3=4a2-4bc0相加有 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a20，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20则 a=b=c 与由题意 a、b、c 互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根(15 分)18.（）这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 (4 分)（II）易知 的所有可能取值为 , 所以 的分布列是 (13
10、分)随机变量 X 的数学期望 （15 分）- 8 - 9 -20.解：（1）由二项式定理易知101022xx24201 10010CxCxx0122bbb比较可知 10,n；而 ,AB时 11naAtB, 所以 101000211nnnbCC，设 T100201010nC， T也可以写成1002101010n，相加得 2即 5T，所以10101010643nnnabC .(8 分)（2）当 ,AB时， 1nnaAtBt，结合（2）中结论可知101010222n nnnabb0101nnnC10 010t= 1011023t12，即101023t，因为为关于 的递增的式子，所以关于 t的方程最多只有一解，而观察可知，有一解t，综上可知： 2t .(16 分)
