1、- 1 -常州市“教学研究合作联盟”2018 学年度第二学期期中质量调研高二 数学（理科）试题注意事项1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分。本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟。2答题前，请务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。0.53答题时，必须用 毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。0.54如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。一填空题：本大题共 14 小题，
2、每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的实部是 z(1i)2ziz2.已知 ， 是空间两个单位向量，它们的夹角为 ，那么 mn602mn3.若复数 满足 其中 为虚数单位， 为 的共轭复数，则 在复z3i,zzz平面内对应的点位于第 象限.4.设 , 是两个不共线的空间向量，若 ， ，1e2 2ABk12e3CB12e，且 三点共线，则实数 的值为 CDk+,ABD5.若向量 , ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取(,)a(4,2)mbabm值范围为 6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于 的偶数可以表示为两个素数的和”
3、，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 7.如图，在正四面体 中， 分别为 的中点， 是线段PABC,MN,PABCDMN上一点，且 ，若 ，则 的值为2NDxyzxyz - 2 -8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前 项和公式 .类比得到正项等比数列 的前 项na1()2nnaSnb积公式 T9.用数学归纳法证明等式： ，则从 到6331()2nN nk时左边应添加的项为 1nk10.如图，在直三棱柱 中， ， ，1ABC90BAC114ABC点 是棱 上一点，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则E11E320的长为 1C11.德国数学家莱布尼兹发现了如图
4、所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为 分母为正整数的分数） ，称为莱布尼兹三角形.根据前 行的规律，第6行的左起第 个数为 73（第 7 题图） （第 10 题图） （第 11 题图）12.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ，PABCABC， 为 的中点，则点 到平面 的距离为2PABCMM 13. 如图，已知正三棱柱 中， ， 分别为1ABC12A,N- 3 -的中点，点 在直线 上且满足 若平面1,CBP1AB11().PABR与平面 所成的二面角的平面角的大小为 ，则实数 的值为PMN45 14. 如图所
5、示的正方体是一个三阶魔方(由 27 个全等的棱长为 1 的小正方体构成） ，正方形 是上底面正中间一个正方形，正方形 是下底面AD1CD最大的正方形，已知点 是线段 上的动点，点 是线段 上的动点，PACQB则线段 长度的最小值为 Q（第12 题图） （第 13 题图） （第 14 题图） 二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分）已知 为虚数单位，复数 , .i1iz23ia()R（1）若 为实数，求 的值；12z2（2）若 为纯虚数，求 .1z16.（本小题满分 14 分）已知矩阵 ， .
6、0M21N（1）求 ；（2）若曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ，21:CxyM2C求 的方程.217.（本小题满分 14 分）已知数列 满足 ， ， ，na11na211()()nnaan2.（1）求 的值并猜想数列 的通项公式；234, - 4 -（2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分 16 分）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为PABCDPABCDABC直角梯形， ， ，点 , 分212EF别是 , 的中点.（1）求证： 平面 ；/EFPB（2）若点 为棱 上一点，且平面 平面 ，MCEFMPBC求证： .19.（本小题满分 16 分）如图，在正三棱柱
7、中，所有棱长都等于 .1AB2（1）当点 是 的中点时，MC求异面直线 和 所成角的余弦值；1求二面角 的正弦值；（2）当点 在线段 上（包括两个端点）运动时，求直线 与B1MC平面 所成角的正弦值的取值范围.1ABC- 5 -（第 18 题图） （第 19 题图）20.（本小题满分 16 分）（1）是否存在实数 ， ， ，使得等式abc222134(1)n对于一切正整数 都成立？若存在，2(1)nnn求出 ， ， 的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的 ， .N222131ln4()- 6 -常州市“教学研究合作联盟”2018 学年度第二学期期中质量调研高二 数学（理科）
8、参考答案和评分标准 一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 1 2. 3.四 4. 4 或-1 5. 且3m46. 存在一个大于 2 的偶数不可以表示为两个素数的和. 7. 8. 2321()nb9. 10. 1 11. 333(1)()()kk 0512. 13. 14. 24二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为 ，若 为实数，则 . 3 分124(1)iza12z1a此时 ，所以 7 分3i2(3i)4i.z（2）因为 ， 10 分21
9、(i)iz +若 为纯虚数，则 ，得 ， 12 分21302a3所以 14 分2.z16.解：（1） = 6 分01MN21（2）设曲线 上任一点坐标为 在矩阵 对应的变换作用下得到点 则C0(,)xyMN(,)xy= ，即 ，解得 . 10 分10xy02xy023yx因为 所以 整理得 ，所以 的方程为201,x22()()1,32yx2C 14 分3.y17.解：（1）由 1,a211()(),nna- 7 -得 解得 或2(1)()1,a20a24.又 所以,n24.将 代入，可得 或24339.又 所以1,na29.a将 代入，可得 或394416.a又 所以 3 分1,n216.故
10、猜想数列 的通项公式为 5 分na2.n（2） 当 时， ，猜想成立.21假设当 时，猜想成立，即 7 分(,)kN2.ka则当 时，由得n211(),ka即 221(),kka即 410,即 2221()(1),k k即 (,ak即 2211()0,ka解得 或 12 分(.k又 所以 故当 时，猜想成立.1,na21),1nk综上：由得 . 14 分n18.解： 平面 ， 平面PABCDA,BCD.PA平面 ， 平面又因为 所以 ，则 两两,2,垂直，则以 为正交基底，,ABP建立如图所示的空间直角坐标系 .Axyz则各点的坐标为 (0,)(2,0)(,)(0,4)(,2).CDP因为点
11、分别是 ， 的中点，所以 2 分,EF11EF（1）证明：设平面 的一个法向量为PB(,).nxyz因为 (2,0)(,20)- 8 -由 1,nBPC得 ，令 所以20xzy1,x0,1.yz则 5 分1(,).n因为 所以 2,EF1.EFn又 平面 所以 平面 . 8 分PBC/PBC（注： 平面 没交代扣 1 分，如果不用空间向量的方法做，比如取 的中点CD证明平面 平面 ，或者延长 和 相交于点 然后证明 也可G/ D,H/EFPH以，但如果推理过程有一步错，则扣 6 分）（2）证明：因为 为棱 上一点，所以MP,PM01.设 则 ，所以(,)xyz(,2)(,)z2,2.xyz即
12、所以1,),E()EF设平面 的一个法向量为 则EF2(,)nxyz22.n所以 消去 可得(21)()0,0xyz (31)(3)0.xz令 则 所以3,13,.2 12 分21(,).n平面 平面 则 所以EFM,PBC12.n310, 14 分1,2从而 因为 所以(,).(0,)(,)0EPC则 即 16 分,M.EPC19. 解：（1）取 的中点为 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则A,OOxyz(0,)(30)B(1),1(3,02)(,).BC当 是 的中点时，则C,.M- 9 - 113(3,2)(,2)ABMC设异面直线 和 所成角为 则=1cos,1AB30.2 4 分 设
13、平面 的一个法向量为3(,0)2AM1(3,)1MAB则1,)nxyz1,.nAB所以 令 则 5 分320z3,x1,yz1(3,).n设平面 的一个法向量为 则(,)AC1ABC2(,)xyz212,nB令 6 分30,xyz2,x0,3,yz2(,03).n设二面角 的平面角为 ，1MAC则 8 分1212cos,n305.所以 9 分27incos.35（2）当 在 上运动时，设MBC,01.MCB设 (,)(,1)()xyzz3,0xyz则 303,2.设直线 与平面 所成的角为 则1C1AB,1212sinco,MCnn 11 分223,0,1.74设 设 所以21(),0,f ,
14、2t- 10 -2221() ,1)ttgt t2.t设 2,().1ugttu21,(),t214sin,7直线 与平面 所成的角的正弦值的取值范围为1MC1AB2,.7 16 分20. 解：（1）在等式 中22234(1)n 2()anbc令 得 ；令 得 ；,n14()6abc,4)令 得 ；由解得370933,10.abc对于 都有,22224()n成立. 3 分(1)1)nn(下面用数学归纳法证明：对一切正整数 ， 式都成立.()当 时，由上所述知 式成立；()假设当 时 式成立，即(1,nkN， 222134()k 2(1)310)kk那么当 时， 234( 5 分2 2()10)
15、()k2(351kk21)4)k2(3(1)(10.k综上：由得对一切正整数 ， 式都成立，所以存在 时题设的等n)3,1ab式对于一切正整数 都成立. 8 分 - 11 -（2）证明：当 时，左式 ，右式 ，所以左式右式，则 时不等式成立；1n4121n假设当 时不等式成立，即(,)kN，2223ln1k那么当 时，nk222314()()k 10 分21lln2()k*下面证明当 时， .x1lx设 ，则 所以 在()fln1 21()0,xf()fx1,)上单调增，所以 即 时， .()0,fxln因为 ，所以 则 1k1,k11lkk 12 分因为 1111(ln)ln()lnln222kkkk所以0,ll()0.由 得(*)2222131n14()()kk那么 时不等式也成立.nk综上：由可得对任意 .,nN2223l4(1)nn 16 分
