1、1广东省第二师范学院番禺附属中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试题 理本试卷共 4 页，全卷三大题 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
2、案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考老师。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)集合 ， ，则 = （ ）20Ax10BxAB（A） (B) (C) （D） 1x21x(2)在 中，已知 ，那么 一定是（ ）BCcosabAC(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形或直角三角形 (D)等腰直角三角形(3)已知 在 上是奇函数,且满足 ,当 时, ，fxR4fxf02x2fx则 （ ） （A） （B） （C） （D）729898
3、(4)要得到函数 sin43yx的图象，只需要将函数 sin4yx的图象（ ）（A）向右平移 12个单位 （B）向左平移 12个单位（C）向右平移 3个单位 （D）向左平移 3个单位(5)已知双曲线 （ ）的渐近线方程为 , 则双曲线 的：21yxab0,baxy21C2离心率为（ ） (A) (B) (C) (D) 62652(6)在 上随机取一个实数 ，能使函数 ,在 上有零点的概4,3mfxmxR率为（ ） (A) (B) (C) （D） 7374757(7)下列命题中，真命题的是（ ）(A) (B) (C) 的充要条件是00,xRe2,xR0ab1ab（D）若 ，且 ，则 中至少有一个
4、大于 1y2yy(8)九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马” ，某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，已知该几何体的体积为 ，则图中 （ 635x） 2.1. DCBA()阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11()甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）(A
5、) 乙可以知道四人的成绩 (B)丁可以知道四人的成绩(C) 乙、丁可以知道对方的成绩 (D) 乙、丁可以知道自己的成绩（11）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与曲线:Cxy82FlPlPF相交于 ， 两点，若 ，则 （ ）MNMP3N() () () () 2110321（12）已知 的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， O 为坐标ABCABC0,1,03原点，动点 满足 ，则 的最小值是（ ）P1CurOABPrur（A） （B ） （C） （D）3131二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分(13)已知 ，则 1cos3sin2(14)已知 、 满
6、足不等式组 ，则 的最大值是 xy301xy2zxy(15)若直线 （ ， ）经过圆 的圆心，则20aba0b2410的最小值为_1(16)在 ABC中， 6且 21sincoCB， 边上的中线长为 7，则 ABC的面积是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)（本小题满分 10 分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS2n（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 .n 1nanT(18)（本小题满分 12 分）从某小区随机抽取 40 个家庭，收集了这 40 个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图分组 频数2，4）
7、24，6） 106，8） 168，10） 8 月均用水量（吨）ab2 4 6 8 10 120频率组距410，12 4合计 40（）求频率分布直方图中 a， b 的值；（）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率；（）在这 40 个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量6,10）的家庭里抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取 2 个家庭，求其中恰有 1个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率(19)（本小题满分 12 分）某地 110 岁男童年龄 （岁）与身高的中位数 如下表：ixiycm1,20iL（岁）x1 2 3 4 5 6 7 8 9
8、10ycm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（）求 关于 的线性回归方程（回归方程系数精确到 0.01） ；yx（）某同学认为， 更适宜作为 关于 的回归方程类型，他求得的2pqxryx回归方程是 经调查，该地 11 岁男童身高的中位数为20.31.768.0与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？45.3cmxy102xi102yi10xyii5.5 112.45 82.50 3947.71 566.855附：回归方程 中的斜率和截距的最小二
9、乘估计公式分别为：yabx$， aybx$(20)（本小题满分 12 分）如图，四边形 是正方形， 平面 ，且 PA=AB. ABCDPABCD点 是 的中点，点 是边 上的任意一点. FPE（）求证： ；F（）求二面角 的平面角的正弦值. (21)（本小题满分 12 分）已知点 A（0，-2） ，椭圆 C：21(0)xyab的离心率为 32，且抛物线的准线恰好过椭圆 的一个焦点。243yx（）求椭圆 C 的方程；（）设过点 A的直线 l与 相交于 ,PQ两点，求 OP的面积的最大值.（22） （本小题满分 12 分）设函数 2()(,)fxabR（）当 时，求函数 在 上的最大值 的表达式；
10、1bfx1,()ga（）当 时，讨论函数 在 上的零点个数2 ()yf12nxyiibi62018 学年第一学期高二级教学质量监测理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共 1
11、2 小题，每小题 5 分，共 60 分二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分(13) (14) 6 (15)4 (16) 379三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）(本小题满分 12 分)解：（1）当 时， 1 分1n13.aS当 时， .3 分222()(1()21nnnn且 符合上式， 4 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A D A C B D B B D C A7所以数列 的通项公式为 . 5na21na分（2） ， 6 分1()3n7 分11()(2)23nann= 8 分T1()35L= 9
12、分()2n= 10 分69（18）(本小题满分 12 分)解：（）因为样本中家庭月均用水量在 上的频率为 ，4,6)10.254在 上的频率为 ，,8)6.0所以 ， 2 分0.25.1a0.42b（）根据频数分布表，40 个家庭中月均用水量不低于 6 吨的家庭共有 16+8+4=28 个，所以样本中家庭月均用水量不低于 6 吨的概率是 80.74利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率约为 0.74 分（）在这 40 个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量为的样本，则在 上应抽取 人，记为 A， B， C
13、， D，5 分6,8)1642在 上应抽取 人，记为 E， F，6 分,10)88设“从中任意选取 2 个家庭，求其中恰有 1 个家庭的月均用水量不低于 8 吨”为事件，M则所有的基本事件有： ， ， ， ， ， ，,AB,C,AD,E,AF,BC， ， ， ， ， ， ， ，,BD,EFD，F共种 分事件 包含的基本事件有：M， ， ， ， ， ， ， ，共种 ,AE,BE,F,CE,F,DE,F分分8()15P所以其中恰有 1 个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率为 12 分815（19）(本小题满分 12 分)解：（1） ， 3 分1256.8.7niiiiixyb$，5 分.4568
14、7.4.6ayx所以 y 关于 x 的线性回归方程为 6 分87.yx（2）若回归方程为 ，当 时， 8 分150.24y若回归方程为 ，当 时， 10 分20.3.6.0yxx13.6，11 分143.65.165439所以回归方程 对该地 11 岁男童身高中位数的拟合效果更278.yx好12 分（20）(本小题满分 12 分)9HEFD C BAP18. （1）证明： 是 的中点，且 ，FPBAB . 1 分 A 平面 . CD平面 ， B . 2 分 P 四边形 是正方形，A . C ， 平面 ， 平面 ，BPABPAB 平面 . 3 分 平面 ，AF . 4 分C ， 平面 ， 平面
15、，PBPBCBPC 平面 . 5 分 平面 ，EF . 6 分A法二：向量法（略）(2)解法 1：作 于 ，连接 ，HPCAH 平面 ， 平面FBPBC . 7 分A ， 平面 ， 平面 ，FF 平面 . 8 分PCH 平面 ，F . A 为二面角 的平面角. 9 分PCB设正方形 的边长为 ，则 ， ， BD22AC在 Rt 中， ， A1F在 Rt 中， ， ，10PC2PA3263PAHC10zyx EFD CBAP分在 Rt 中， . 11 分AFH3sin2AFH 二面角 的平面角的正弦值为 . 12 分PCB解法 2：以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴 ， A,AD
16、Pxy建立空间直角坐标系 ，设 ，xyz1则 ， ， , .7 分0,1P,0BC0, ， .,ur,ur设平面 的法向量为 ，mxyz（ ， ）由 得 0,mPBCrgu0,.yz令 ，得 ， 1y 为平面 的一个法向量. 8 分0,rPB 平面 ， 平面 ，PACDAC 平面 平面 .连接 ，则 . 平面 平面 ， 平面 ，BDAB 平面 . BDPAC 平面 的一个法向量为 . 9 分1,0ur设二面角 的平面角为 ，则 . 10 分cos, 2|mBDrru . 11 分23in111 二面角 的平面角的正弦值为 . 12 分APCB32（21）(本小题满分 12 分) （1）抛物线
17、的准线为 ， 1 分243yx3c， 3 分cea22,1ba所以椭圆 的方程是 4C243xy分（2）依题意当 lx轴不合题意，故设直线 l： 2ykx，设 12,PxyQ5 分将 ykx代入214y，得 24160kx，当 216(3)0，即 23k时， ， 7 分12k124xk从而 8 分212243|PQxkg又点 O 到直线 PQ 的距离 2dk，所以 OPQ 的面积2143OPQSk， 9 分设 243kt，则 0， 21Ptt，10 分当且仅当 t， 7等号成立，且满足 0， 11 分所以当 OPQ 的面积最大值为 1 . 12 分（22）(本小题满分 12 分)解：（）当 时
18、，ba，对称轴为直线 22()1()1fxxaxa12当 即 时， 在 上是增函数，所以 1a()fx1,()13gaf1 分当 即 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，0a()f,a,且 ，所以 2 分(1)()3ff13g当 即 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，1()fx,1a且 ，所以 3 分()()fafaa当 即 时， 在 上是减函数，所以 ()fx1,()gf综上所述， 4,0()3.ga，分（）当 时， 21b22()1()(1)fxaxa令 ，即 ，()0fx)(0f解得 或 5 分a(fx当 时， ，即 ()1fx221a220xa因为 ，214()所以当 即 时，方
19、程 有两个实数解6 分0a220x当 即 时，方程 有且只有一个实数解 1 a0x7 分当 即 时，方程 没有实数解8 分10a220x当 时， ，即 ()fx1aa220xa因为 ，224(2)48所以当 即 时，方程 有两个实数解9 分020x当 即 时，方程 有且只有一个实数解 2a2a2x10 分13当 即 时，方程 没有实数解11 分20a220xa综上所述，当 时，函数 在 上的零点个数是 4；()yfR当 时，函数 在 上的零点个数是 3；()fx当 时，函数 在 上的零点个数是 2；02ay当 时，函数 在 上的零点个数是 1；()fxR当 时，函数 在 上的零点个数是 012y分
