1、1山西省太原市第五中学 2019 届高三数学下学期 4 月阶段性检测试题 理一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项)1设集合 ，集合 2lgBxyx，则集合 AB（ ）02|xAA(-,-1)(2,+) B C(-1,0) D ,10,),2(2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）1zi的共轭复数为 的虚部为1:2p2:p3:pz1i4:pzA. B. C. D. 3,12, ,3.下列函数中，与函数 y3 |x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是( )Ay B C D|1xx|log5.0xy|sinxy4.若 ，
2、， ，则( )1479a15b27log9cA B C Dcacabcba5.在等比数列 n中，“ 4， 12是方程 2310x的两根”是“ ”的（ 18）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.若 的展开式中 x3的系数为 80，其中 n 为正整数，则 的展开式中各(1 2x)nx (1 2x)nx项系数的绝对值之和为( )A32 B81 C243 D2567.若 ，则 ( )7)4tan(2sinco2A B C1 D6425 4825 16258.已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )A f(x) B f(x) C f(x)
3、 D f(x)22cos2coscos9若 x，y 满足 且 zyx 的最小值为4，则 k 的值为( )x y 2 0，kx y 2 0，y 0， )A2 B2 C. D12 1210.设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y22 px(p0)上任意一点， M 是线段 PF上的点，且| PM|2| MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D133 23 2211.已知点 GFE、 分别是正方体 1ABC的棱 1CA、 的中点，点 PQNM、 分别在线段 EDF、 上. 以 PQN、 为顶点的三棱锥 的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D. FED1C1B
4、1A1DC BANM QPG212.关于函数 ，下列说法正确的是（ ）2lnfx（1） 是 的极大值点f（2）函数 有且只有 1 个零点yx（3）存在正实数 ，使得 恒成立kfkx（4）对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则12,x112fxf124xA. (1)(2)(3)(4) B. (2)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上)13.已知非零向量 a， b， c 满足 a b c0，向量 a， b 的夹角为 120，且|b|2| a|，则向量 a 与 c 的夹角为_ _14. 曲线 210,xyb的一
5、条渐近线与圆 2231xy相切，则此双曲线的离心率为_ _ 15.利 用 随 机 模 拟 方 法 可 估 计 某 无 理 数 m 的 值 ，为 此 设 计 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 其 中rand（ ） 表 示 产 生 区 间 （ 0， 1） 上 的 随 机 数 ，P 为 s 与 n 之 比 值 ， 执 行 此 程 序 框 图 ， 输 出 结果 P 是 m 的 估 计 值 ， 则 m 是 _ _ 16.设锐角 ABC 三个内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 3cos2sinabc， 1b，则 c的取值范围为_ 三、解答题(本大题 5 小题，共 60 分，解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12 分）已知数列 na满足 2312na()求数列 n的通项公式； ()若数列 ，求数列 的前 n项和 nSnnb2logb18. （12 分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示零件质量不超过 20 克的为合格(1)从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 3 个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.(3)若从甲、乙两车间 12 个零件
7、中随机抽取 2 个零件，用 X 表示乙车间的零件个数，求 X 的分布列与数学期望319（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形， PO底面ABCD， AB2， BAD ， M 为 BC 上一点，且 BM ， MP AP. 3 12(1)求 PO 的长；(2)求二面角 A PM C 的余弦值20. （12 分）已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 1F、 2，焦距为 4，直线 1:blyxc与椭圆相交于 A、 B两点， 2F关于直线 1l的对称点 E(0,b)斜率为的直线 2l与线段 相交于点 P，与椭圆相交于 C、 D两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边
8、形 ACBD面积的取值范围21. （12 分）已知函数 2e,xfabaR，其导函数为 yfx（1）当 2b时，若函数 yf在 上有且只有一个零点，求实数 a的取值范围；(2)当 时，若 ， ，求 的最大值。a0)3()/ xmf )(bm说明：请在 22、23 题中任选一题做答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l：Error!( t 为参数)，曲线 C1：Error!( 为参数)(1)设直线 l 与曲线 C1相交于 A， B 两点，求劣弧 AB 的弧长；(2)若把曲线 C1上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲1
9、2 32线 C2，设点 P 是曲线 C2上的一个动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值,及点 P 坐标。23（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x a| x1|.(1)当 a0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且| PM|2| MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( C )A.Error! B.Error! C.Error! D1如图所示，设 P(x0， y0)(y00)，则 yError!2 px0，即 x00. 设 M(x， y)，由Error!2Error!，得Error!化简可得Error!直线 OM 的斜率为 kError!0Error!Error
10、! Error! (当且仅当 y0 p 时取等号)11. 已知点 分别是正方 的棱的中点，点 分别在线段 上. 以 为顶点的三棱锥 的俯视图不可能是（ C ）A. B. C. D.解析：当 M 与 F 重合、N 与 G 重合、Q 与 E 重合、P 与 B1 重合时，三棱锥 P-MNQ 的俯视图为 A；当 M、N、Q、P 是所在线段的中点时为 B；当 M、N、P 是所在线段的非端点位置，而 E 与 B 重合时，三棱锥 P-MNQ 的俯视图有选项 D 的可能. 故选 C. 12.关于函数 ，下列说法正确的是（ B ）（1） 是 的极大值点（2）函数 有且只有 1 个零点（3）存在正实数 ，使得 恒
11、成立（4）对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则A. (1)(2)(3)(4) B. (2)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)13.已知非零向量 a， b， c 满足 a b c0，向量 a， b 的夹角为 120，且|b|2| a|，则向量 a 与 c 的夹角为( B )A60 B90 C120 D150因为 a， b120，| b|2| a|， a b c0，所以在 OBC 中， BC 与 CO 的夹角为 90，即 a 与 c 的夹角为 90.14. 曲线 的一条渐近线与圆 相切，则此双曲线的离心率为（ A ）A2 B C D6因为双曲线 的一条渐近线为 ，所以，因为 ， ，所以
12、， ，故选 A15.利 用 随 机 模 拟 方 法 可 估 计 某 无 理 数 m 的 值 ， 为 此 设 计如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 其 中 rand（ ） 表 示 产 生 区 间 （ 0， 1） 上 的 随 机 数 ， P为 s 与 n 之 比 值 ， 执 行 此 程 序 框 图 ， 输 出 结 果 P 是 m 的 估 计 值 ， 则 m 是 （ D ）A. B. C . D.16设锐角 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的取值范围为_ _解：由 及余弦定理得， ， 又 为锐角三角形， 由正弦定理得 ， 由 得 ， ， 的取值范围为 17.已知数列 满
13、足()求数列 的通项公式； ()若数列 ，求数列 的前 项和 .解：() ，当 时， 得 ， .又当 时， ， ， .() ， 18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示零件质量不超过 20 克的为合格7(1)从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 3 个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.(3)若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 X 表示乙车间的零件个
14、数，求 X 的分布列与数学期望解 (1)由题意得甲车间的合格零件数为 4，乙车间的合格零件数为 2，故所求概率为 PError!Error!Error! .即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为Error!.（2）(3)由题意可得 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)Error!Error! ， P(X1)Error! Error! ， P(X2)Error! Error!. 随机变量 X 的分布列为X 0 1 2PError!Error!Error! E(X)0Error!1Error!2Error! Error!.19如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以 O
15、为中心的菱形， PO底面 ABCD， AB2， BADError!， M 为 BC 上一点，且 BMError!， MP AP.(1)求 PO 的长；(2)求二面角 A PM C 的余弦值解 (1)如图，连接 AC， BD，因 ABCD 为菱形，则 AC BD O，且 AC BD.以 O 为坐标原点，Error!，Error!，Error! 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz.因 BADError!，故 OA ABcosError!，OB ABsinError!1，所以 O(0,0,0)， A(，0,0)， B(0,1,0)， C(，0,0)，Er
16、ror!(0,1,0)，Error! (， 1,0)由 BMError! ， BC2 知，Error!Error! Error!Error!，8从而Error! Error!Error!Error!， 即 MError!.设 P(0,0， a)， a0，则Error! (，0， a)，Error!Error! . 因为 MP AP，故Error!Error!0，即Error! a20，所以 aError!， aError! (舍去)，即 POError! .(2)由(1)知，Error!Error!，Error! 3，Error!Error!.设平面 APM 的法向量为 n1( x1， y1，
17、 z1)， 平面 PMC 的法向量为n2( x2， y2， z2)，由 n1Error!0， n1Error!0，得3 故可取 n1Error!，由 n2Error!0， n2Error!0，得 3 故可取 n2(1，2)，从而法向量 n1， n2的夹角的余弦值为 cos n1， n2Error!Error! ，故所求二面角 A PM C 的余弦值为Error!.20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 4，直线与椭圆相交于 、 两点， 关于直线 的对称点 (0,b)斜率为 的直线 与线段 相交于点 ，与椭圆相交于 、 两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 面积的取值范围解析:（
18、1）椭圆方程为 （2）设直线 方程： ， 、 ，由 ，得 ，所以 ，由（1）知直线 ： ，代入椭圆得 ， ，得，由直线 与线段 相交于点 ，得 ，满足 .，而 与 ，知 ， ，由 ，得 ，所以 ，四边形 面积的取值范围 21.已知函数 ，其导函数为 （1）当 时，若函数 在 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围；(2)当 时，若 ， ，求 的最大值。解：（1）当 时， ， ， ，由题意得 ，即 ，9令 ，则 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 当 时， ，当 时，则 或 时， 在 上有且只有一个零点（2）（参考 2012 年高考题答案）由已知条件得 ex-(m+1)x
19、b.(i)若 m+10,设 g(x)=ex-(m+1)x, 则 g(x)=ex-(m+1).当 x(-,ln(m+1)时,g(x)0.从而 g(x)在(-,ln(m+1)上单调递减,在(ln(m+1),+)上单调递增.故 g(x)有最小值 g(ln(m+1)=m+1-(m+1)ln(m+1).所以原不等式等价于 bm+1-(m+1)ln(m+1).因此(m+1)b(m+1) 2-(m+1)2ln(m+1).设 h(m)=(m+1)2-(m+1)2ln(m+1), 则 h(m)=(m+1)1-2ln(m+1).所以 h(m)在 上单调递增,在 上单调递减,故 h(m)在处取得最大值. 从而 h(
20、m) ,即(m+1)b当 a= ,b= 时,式成立,故当 时， .综合得,(m+1)b 的最大值为 .22已知直线 l：3( t 为参数)，曲线 C1：Error!( 为参数 )(1)设直线 l 与曲线 C1相交于 A， B 两点，求劣弧 AB 的弧长；(2)若把曲线 C1上各点的横坐标缩短为原来的Error!，纵坐标缩短为原来的Error!，得到曲线 C2，设点 P 是曲线 C2上的一个动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值,及点 P 坐标。解 (1)直线 l 的普通方程为 y( x1)，曲线 C1的普通方程为 x2 y21.联立得Error! 得交点为(1,0)，3，则| AB|1，劣
21、弧 AB 的弧长 =(2)曲线 C2的参数方程为 3( 为参数)，设点 P 的坐标是 3，从而点 P 到直线 l 的距离为 dError!Error! Error!，当 sinError!1 时， d 取得最小值，且最小值为Error! .P（ ）23.已知函数 f(x)|2 x a| x1|.(1)当 a2 时，函数 f(x)的最小值为 3，求实数 a 的值10(2)若不等式 f(x)2| x1|有解，求实数 a 的取值范围；解 (1)函数 f(x)|2 x a| x1|的零点为Error!和 1，当 a2 时知Error!1， f(x)Error!由图可知 f(x)在Error!上单调递减，在Error!上单调递增， f(x)min fError!Error!13， 得 a42(合题意)，即 a4.(2)由题意 f(x)2| x1|，即为Error!| x1|1.而由绝对值的几何意义知Error! |x1| Error!，由不等式 f(x)2| x1|有解，Error! 1，即 0 a4.实数 a 的取值范围是0,4
