1、1问题 37 圆锥曲线中的存在、探索问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨二、经验分享解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放
2、思维，采取另外合适的方法三、知识拓展探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：1、条件
3、追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。3、条件重组型2这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进
4、行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。5、规律探究型这类问
5、题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。6、实验操作型这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。 四、题型
6、分析(一) 是否存在值【例 1】已知椭圆 2byax=1（ab0）的离心率 e= 36,过点 A（0,-b）和 B（a,0）的直线与坐标原点距离为 23.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E（-1,0）,若直线 y=kx+2（k0）与椭圆相交于 C、D 两点,试判断是否存在 k 值,使以 CD为直径的圆 过定点 E？若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由.3【分析】 （1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率 ace和点到直线距离公式列出方程解出 ba,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去 y,得到 x 的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要使以 CD 为直
7、径的圆过点 E,当且仅当 CEDE 时,则121y,再利用 y=kx+2,将上式转化,最后求得 67k,并验证.【解析】 （1）直线 AB 方程为：bx-ay-ab0 依题意 232bac，解得 13ba， 椭圆方程为 3yx（2）假设存在这样的 k 值,由 032yxk，得 )1(2k09x 0)31(6)(22设 1(xC, )y 2(xD, )y,则 22139kx，而 4)(212112 xk 8 分要使以 CD 为直径的圆过点 E（-1,0）,当且仅当 CEDE 时,则121xy,即0)1(212xy 05)()( 21xkk 将式代入整理解得 67经验证, 67k,使成立 4综上可
8、知,存在 67k,使得以 CD 为直径的圆过点 E . .【点评】解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法【小试牛刀】 【安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测】已知抛物线 的准线方程为 .（1）求抛物线 的标准方程；（2）过点 作斜率为 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 ，连接 ， 与抛物线 分别交于， 两点，直线 的斜率记为 ，问：是
9、否存在实数 ，使得 成立，若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.【解析】 （1）由准线方程可知：（2）设 ， ， ， （ 互不相等） 则 ，同理三点共线 即 同理将抛物线 与直线 联立得：由韦达定理： 5(二) 是否存在点【例 2】已知点 P是椭圆 C上任一点,点 P到直线 1:2lx的距离为 1d,到点 (,0)F的距离为 2d,且21d.直线 l与椭圆 交于不同两点 AB、 （ ,都在 轴上方）,且 18OAB.（1）求椭圆 的方程；（2）当 A为椭圆与 y轴正半轴的交点时,求直线 l方程；（3）对于动直线 l,是否存在一个定点,无论 OF如何变化,直线 l总经过此定点？若存在,求
10、出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1) 设 (,)Pxy,用坐标表示条件21d列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知 (0,1)A, )F,即可得0()AFk,由 180OFAB得 1BFk,写出直线 BF的方程与椭圆方程联立,求出点 B的坐标,由两点式求直线 的方程即可；(3)由 80OA,得 0AFBk,设直线 A方程为 ykxb,与椭圆方程联立得22()1kxkb,由根与系数关系计算12120FBkx得 bk,从而得到直线方程为(2)ykx,从而得到直线过定点 (,0)M.【解析】 （1）设 (,)Py,则 1|2|dx,2(1)xy, 221|xd,化简,
11、得2y,椭圆 C的方程为21xy. （2） (0,)A, 1)F,10()AFk, 6又 180OFAB, 1BFk, :(1)yx.代入21xy解,得,1xy（舍）4,31,xy1(,)B, 3420()ABk,:2AByx.即直线 l方程为12yx. （3） 180OF, 0AFBk.设 1(,)Axy, 2()B,直线 AB方程为 ykxb.代直线 AB方程 ykxb入21y,得210kkb. 12xk,21bxk,1212AFBykxbkx=12211()()0kbx, 212211212 21()()() ()01bkbkbxkxbxk 0b, 直线 AB方程为 (2)ykx,直线
12、l总经过定点 0M. 【点评】定点的探索与证明问题7(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y kx b,然后利用条件建立 b、 k 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关【小试牛刀】 【晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考】已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）若椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则在 轴上是否存在一个 定点 使得直线 的斜率互为相反数？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，也请说明理由【解析】 （1）据题意，得 解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 （2）
13、据题设知点 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 由 ，得 设 ，则 设 ，则直线 的斜率分别满足 又因为直线 的斜率互为相反数，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，8所以 ，所以 若 对任意 恒成立，则 ，当直线 的斜率 不存在时，若 ，则点 满足直线 的斜率互为相反数 综上，在 轴上存在一个定点 ，使得直线 的斜率互为相反数(三) 是否存在直线【例 3】设 F1,F2分别是椭圆2154xy的左右焦点.（1）若 P 是该椭圆上的一个动点,求 的最大值和最小值.（2）是否存在经过点 A（5,0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D,使得|F 2C|F 2D|？若存在,求直线 l的方程；若不
14、存在,请说明理由.【分析】 （1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F2C|F 2D|,可知 F2在弦 CD 的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入 F2点即可判断.【解析】 （1）易知 a 5,b2,c1,F 1（1,0）,F 2（1,0）设 P（x,y）,则214xy（1x,y）（1x,y）x 2y 21x 24 5x21 x23x 20,5,当 x0,即点 P 为椭圆短轴端点时, 有最小值 3；当 x 5,即点 P 为椭圆长轴端点时, 有最大值 4.（2）假设存在满足条件的直线 l,易知点 A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时
15、,直线 l 与椭圆无交点.所以满足条件的直线斜率存在,设为 k9则直线方程为 yk（x5）由方程组214()ykx得：（5k 24）x 250k 2x125k 2200依题意,20（1680k 2）0得：5k当 5时,设交点为 C（x 1,y1）,D（x 2,y2）,CD 中点为 R（x 0,y0）则 x1x 2204k,x01254ky 0k（x 05）k（25） 20k又|F 2C|F 2D|,有 F2Rl,即 2FR1即2 22()0541FRkkk1即 20k220k 24,该等式不成立,所以满足条件的直线 l 不存在.【点评】假设存在,将 22|FCD 转化为弦的中点问题以及垂直问题
16、是解题关键【小试牛刀】已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在,求出直线 l 的方程；若不存在,请说明理由【解析】(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 1( ab0),且可知其左焦点为 F(2,0)x2a2 y2b2从而有Error!解得Error!又 a2 b2 c2,所以 b212,10故椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y x t.32由Erro
17、r!得 3x23 tx t2120.因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,所以 (3 t)243( t212)0,解得4 t4 .3 3另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d4,得 4,|t|94 1解得 t2 .13由于2 4 ,4 ,13 3 3所以符合题意的直线 l 不存在(四) 是否存在圆【例 4】已知椭圆21:(0)xyCab过点2(1,)A,其焦距为 （）求椭圆 1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为21(0)xyab,则椭圆在其上一点 0(,)Axy处的切线方程为120byax,试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1）,点 B为 1C在第一象限中的任意一点,过 B
18、作 1C的切线 l, 分别与 x轴和 y轴的正半轴交于 ,D两点,求 O面积的最小值；（ii）如图（2）,过椭圆2:18xy上任意一点 P作 1的两条切线 PM和 N,切点分别为MN当点 P在椭圆 2C上运动时,是否存在定圆恒与直线 N相切？若存在,求出圆的方程；若不存在,请说明理由11xyCOBD y xMNOP【分析】 （1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去 一个元,得到一个一元二次方程
19、第三步：求解判别式计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【解析】 （I）解：依题意得：椭圆的焦点为 12(,0)(,F,由椭圆定义知： 122|aAF2,1acb,所以椭圆 1C的方程为xy （II） （）设 2(,)Bxy,则椭圆 1在点 B 处的切线方程为21xy令 0x, 21D,令 2,0xC,所以 21OCDS又点 B 在椭圆的第一象限上,所以,0,22yxy2221xyxyx21OCDSx,当且仅当122yxy所以当(,)B时,
20、三角形 OCD 的面积的最小值为 （）设 (,)Pmn,则椭圆 1C在点 ),(3yxM处的切线为：123yx12又 PM过点 (,)mn,所以123nyx,同理点 ),(4yxN也满足412xmyn, y xMNOP所以 ,N都在直线12ynmx上,即：直线 MN 的方程为 所以原点 O 到直线 MN 的距离214dmn, 所以直线 MN 始终与圆21xy相切 【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线 MN 的方程,再证明圆心到直线的距离为定值【小试牛刀】如图,设椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 12,F,点 D在椭圆上,12DF,1|, 12DF的面积为 .（1）求该椭圆的标准方程；（
21、2）是否存在圆心在 y轴上的圆,使圆在 x轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.13【解析】 （1）设 12,0,Fc,其中 22cab,由21D得1从而 12212,FSc故 1c.从而 1,由 12DF得22219DF,因此 23DF.所以 122a,故22,abc因此,所求椭圆的标准方程为：21xy（2）如图,设圆心在 y轴上的圆 C与椭圆21xy相交, 12,Pxy是两个交点,120y, 1FP, 2是圆 的切线,且 1F2由圆和椭圆的对称性,易知 212,xy|.Px, 由（1）知 120,所以 11
22、21,PxyPxy,再由 1FP2得211xy,由椭圆方程得21,即21340,解得 143x或 10.当 0时, 2P重合,此时题设要求的圆不存在.当 143x时,过 12,分别与 1FP, 2垂直的直线的交点即为圆心 C,设 0,y14由 1,CPF得101,yx而 1,3yx故 05y圆 的半径2214543综上,存在满足条件的圆,其方程为：2239xy四、迁移运用1 【】江西省临川第一中学等九校 2019 届高三 3 月联考】已知椭圆 ： ，离心率， 是椭圆的左顶点， 是椭圆的左焦点， ，直线 ： .（1）求椭圆 方程；（2）直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线 、 分别与直线 交
23、于 、 两点，试问：以 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.【解析】 （1） ，得 ，所求椭圆方程： .（2）当直线 斜率存在时，设直线 ： ， 、 ，直线 ： ，令 ，得 ，同理 ，以 为直径的圆： ，整理得： ，得 ， 15将代入整理得： ，令 ，得 或 .当直线 斜率不存在时， 、 、 、 ，以 为直径的圆： 也过点 、 两点，综上：以 为直径的圆能过两定点 、 .2 【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟考试（3 月)】已知 为坐标原点，椭圆 ：的左、右焦点分别为 ， .过焦点且垂直于 轴的直线与椭圆 相交所得的弦长为 3，直线 与椭圆 相切.
24、（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在直线 ： 与椭圆 相交于 两点，使得 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由！【解析】 （1）在 中，令 ，得 ，解得 .由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆 相交所得的弦长）为 3，得 ，所以 .因为直线 ： 与椭圆 相切，则 .将代入，得 .故椭圆 的标准方程为 .（2）设点 ， .由（1）知 ，则直线 的方程为 .联立 得 ，则 恒成立.16所以 ， ，.因为 ，所以 .即 .即 ，得 ，得 ，即 ，解得 ；直线 存在，且 的取值范围是 .3 【山东省潍坊市 2019 届高三下学期高考模拟（一模)】如图，点 为圆 ： 上一动点，过点分
25、别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ， ，连接 延长至点 ，使得 ，点 的轨迹记为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线 与曲线 相交于 ， 两点，试问在曲线 上是否存在点 ，使得四边形 为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由.【解析】 （1）设 ， ，则 ， ，由题意知 ，所以 为 中点，由中点坐标公式得17，即 ，又点 在圆 ： 上，故满足，得 .（2）由题意知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，因为 ，故 ，即 ，联立 ，消去 得： ，设 ， ， ，因为 为平行四边形，故 ，点 在椭圆上，故 ，整理得 ，将代入，得 ，该
26、方程无解，故这样的直线不存在.184 【湘赣十四校 2019 届高三下学期第一次联考】椭圆 ： 的左焦点为 且离心率为， 为椭圆 上任意一点， 的取值范围为 ， .（1）求椭圆 的方程；（2）如图，设圆 是圆心在椭圆 上且半径为 的动圆，过原点 作圆 的两条切线，分别交椭圆于 ， 两点.是否存在 使得直线 与直线 的斜率之积为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【解析】 （1） 椭圆的离心率 椭圆的方程可写为设椭圆 上任意一点 的坐标为则， ， ，椭圆 的方程为（2）设圆 的圆心为 ，则圆 的方程为设过原点的圆的切线方程为： ，则有整理有19由题意知该方程有两个不等实根，设为 ，则当
27、 时，当圆 的半径 时，直线 与直线 的斜率之积为定值5 【安徽省六安市第一中学 2019 届高三下学期高考模拟】已知圆 A：x 2+y2+2x-15=0 和定点 B（1，0） ，M是圆 A 上任意一点，线段 MB 的垂直平分线交 MA 于点 N，设点 N 的轨迹为 C（）求 C 的方程；（）若直线 y=k（x-1）与曲线 C 相交于 P，Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 R，使当 k 变化时，总有ORP=ORQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由【解析】 （）圆 A：（x+1） 2+y2=16，圆心 A（-1，0） ，由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=
28、4，所以|NA|+|NB|=4|AB|=2，所以由椭圆的定义知点 N 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，设其标准方程 C： ，则 2a=4，2c=2，所以 a2=4，b 2=3，所以曲线 C： ；（）设存在点 R（t，0）满足题设，联立直线 y=k（x-1）与椭圆方程 ，消去 y，得（4k 2+3）x 2-8k2x+（4k 2-12）=0，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则由韦达定理得 ， ，由题设知 OR 平分PRQ直线 RP 与直 RQ 的倾斜角互补，即直线 RP 与直线 RQ 的斜率之和为零，即 ，即 ，即 2kx1x2-（1+t）k（x 1+x2）+2tk=0，把、
29、代入并化简得 ，即（t-4）k=0，20所以当 k 变化时成立，只要 t=4 即可，所以存在定点 R（4，0）满足题设.6 【四川省成都市第七中学 2019 届高三二诊】已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，点 为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 ，离心率为 。（I）求椭圆 的方程；（II）若动直线 与椭圆 交于不同两点 、 （ 、 都在 轴上方） ，且 .（i）当 为椭圆与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程；（ii）对于动直线 ，是否存在一个定点，无论 如何变化，直线 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 （I）设椭圆的标准方程为： （ ）离心率为 ， ， ，点 为
30、椭圆 上任意一点，且 的最小值为 ， ，解得 ， ，椭圆 的方程为 .（II）（i）由题意 ， ， ，直线 为： ，代入 ，得 ，解得 或 ，代入 ，得 ，舍，或 ， .21， 直线 的方程为： .（ii）存在一个定点 ，无论 如何变化，直线 总经过此定点.证明： ， 在于 轴的对称点 在直线 上，设直线 的方程为： ，代入 ，得 ，由韦达定理得 ， ，由直线 的斜率 ，得 的方程为：令 ，得：， ，对于动直线 ，存在一个定点 ，无论 如何变化，直线 总经过此定点.7 【陕西省榆林市 2018-2019 年度高三第二次模拟】设 为坐标原点，动点 在椭圆 ：上，该椭圆的左顶点 到直线 的距离为
31、.（1）求椭圆 的标准方程；（2）若椭圆 外一点 满足， 平行于 轴， ，动点 在直线 上，满足.设过点 且垂直 的直线 ，试问直线 是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请22说明理由.【解析】 （1）左顶点 A 的坐标为（a，0） ， ，|a5|3，解得 a2 或 a8（舍去） ，椭圆 C 的标准方程为 +y21，（2）由题意 M（x 0，y 0） ，N（x 0，y 1） ，P（2 ，t） ，则依题意可知 y1y 0， 得（x 02 x 0，y 12y 0） （0，y 1y 0）=0，整理可得 y12y 0，或 y1y 0 （舍） ， ，得（x 0，2y 0） （2 x 0，t2y
32、 0）2，整理可得 2 x0+2y0tx 02+4y02+26，由（1）可得 F（ ，0） ， （ x 0，2y 0） ， （ x 0，2y 0） （2 ，t）62 x02y 0t0，NFOP，故过点 N 且垂直于 OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F 8 【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学 质量检查】已知椭圆 的两焦点为 、 ，抛物线 ：（ ）的焦点为 ， 为等腰直角三角形（）求 的值；（）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，又过 作抛物线 的切线 ，使得 ，问这样的直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由【解析】 （）椭圆 ， ，两焦点为 , ， 为等腰直角
33、三角形， ， ， （）过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 的斜率必存在，设直线 的方程为 ， 由 得， 或 抛物线 方程 得为 所以切线 的斜率分别为 ， 当 时， ，即 23又 ， 解得 合题意，所以存在直线 的方程是 ，即9 【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模)】已知椭圆的左、右焦点分别为 且椭圆上存在一点 ，满足.(1)求椭圆 的标准方程；(2)已知 分别是椭圆 的左、右顶点，过 的直线交椭圆 于 两点，记直线 的交点为 ，是否存在一条定直线 ，使点 恒在直线 上?【解析】 （1）设 ，则 内，由余弦定理得 ，化简得 ，解得 ，故 ， ，得 ，所以椭圆
34、 的标准方程为 .（2）已知 ， ，设 ， ， ，由 ，两式相除得 .24又 ，故 ，故 ，设 的方程为 ，代入 整理，得 ， 恒成立.把 代入，得 ，得到 ，故点 在定直线 上.10 【江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考】已知椭圆 的离心率为 ，焦点分别为 ，点 是椭圆 上的点， 面积的最大值是 （）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若 判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由【解析】 （）由 解得 得椭圆 的方程为 . 25（）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，此时四边形 的面积为 当直线
35、的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程， 点 到直线 的距离是 由 得因为点 在曲线 上，所以有 整理 得 由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值为 11.已知椭圆 E： 1( ab0)以抛物线 y28 x 的焦点为顶点,且离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l： y kx m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x4 相交于 Q 点, P 是椭圆 E 上一点且满足 (其中 O 为坐标原点),试问在 x 轴上是否存在一点 T,使得 为定值？若存在,求出点 T 的坐OP OA OB OP TQ
36、 标及 的值；若不存在,请说明理由OP TQ 【解析】(1) 抛物线 y28 x 的焦点为椭圆 E 的顶点,即 a2.又 ,故 c1, b .ca 12 3椭圆 E 的方程为 1.x24 y2326(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ,OP OA OB P(x1 x2,y1 y2),联立Error!得(4 k23) x28 kmx4 m2120.由根与系数的关系,得x1 x2 ,y1 y2 k(x1 x2)2 m .8km4k2 3 6m4k2 3将 P 代入椭圆 E 的方程,(8km4k2 3， 6m4k2 3)得 1,整理,得 4m24 k23.64k2m24 4k2 3 2
37、36m23 4k2 3 2设 T(t,0),Q(4, m4 k), (4 t,m4 k), .TQ OP ( 8km4k2 3， 6m4k2 3)即 .OP TQ 32km 8kmt4k2 3 6m m 4k4k2 3 6m2 8km 8kmt4k2 34 k234 m2, .OP TQ 6m2 8km 8kmt4m2 32 2k 1 tm要使 为定值,OP TQ 只需 2 为定值,则 1 t0, t1,2k 1 tm 4k2 1 t 2m2 4m2 3 1 t 2m2在 x 轴上存在一点 T(1,0),使得 为定值 .OP TQ 3212.已知椭圆 C:012bay的左焦点为 F,，A为椭圆
38、上一点,AF 交 y 轴于点 M,且 M 为 AF的中点.（I）求椭圆 C 的方程；（II）直线 l与椭圆 C 有且只有一个公共点 A,平行于 OA 的直线交 l于 P ,交椭圆 C 于不同的两点 D,E,问是否存在常数 ,使得 PEDA2,若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.【答案】 （I）12yx（II）27【解析】 （）设椭圆的右焦点是 1F, 在 1A中, 1/FOM,c 2 分22bab所以椭圆的方程为 2yx4 分 （）设直线 DE 的方程为txy,解方程组12yxt消去 得到 012tx 若 21,yxED则 ,211txt,其中 -42t 6 分2112213)( xxx
39、PEDPP又直线 l的方程为 2yx,直线 DE 的方程为ty, 8 分所以 P 点坐标 2,ttPP, 222 4321,43 tttAtED所以存在常数 1使得 PDE212 分13.已知椭圆 :C2(0)xyab的两个焦点分别为 1(2,0)F, 2(,),以椭圆短轴为直径的圆经过点 (1,0)M.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 的直线 l与椭圆 C相交于 ,AB两点,设直线 ,ANB的斜率分别为 12,k,问 12k是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) 213xy;(2) 12k为定值 2.【解析】 （1）由已知得： ,cab,由已知易得 |1bOM,解得 3a,则椭圆 C的方
40、程为28213xy.（2）当直线 l的斜率不存在时,由213xy,解得61,3xy,设6(1,)(,)3AB,12632k.当直线 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 (1)ykx,将 (1)ykx代入213y整理化简,得22(31)630kxk,依题意,直线 l与椭圆 C必相交于两点,设 12(,)(,)AxyB,则212631kx,231kx,又 1()ykx, 2(1)ykx,所以12122112 1(3)()33yxyx12211()()9()kxkx122211()4()63()12223()1691kkx2()61k综上得： 2为定值 2.14 已知点 (,0)A, (B,直线 A
41、M与直线 B相交于点 M,直线 A与直线 B的斜率分别记为Mk与 B,且 Mk29（）求点 M的轨迹 C的方程；（）过定点 (0,1)F作直线 PQ与曲线 交于 ,P两点, OQ的面积是否存在最大值？若存在,求出OPQ面积的最大值；若不存在,请说明理由【答案】（）21yxx；（）2 【解析】（）设 ,My,则,11MAByykkx, 所以21yx所以2xx（）由已知当直线 PQ的斜率存在,设直线 PQ的方程是 1ykx, 联立21ykx,消去 y得 210kxk, 因为 2248,所以 R, 设 12,PxyQ, 1212,kxxk221211214OPSF10 分122k当且仅当 0k时取等
42、号, OPQ面积的最大值为 15.如图,过椭圆2:1(0)xyab内一点 (,1)A的动直线 l与椭圆相交于 M,N 两点,当 l平行于 x轴和垂直于 x 轴时, l被椭圆 所截得的线段长均为 2.30（1）求椭圆 的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点 A 不同的定点 B,使得对任意过点 (0,1)A的动直线 l都满足|BMANB？若存在,求出定点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】 （1）214xy；（2）存在点 B 的坐标 (02)， 【解析】 （）由已知得 b,点 (21)， 在椭圆上,所以 2ab,解得 a,所以椭圆 的方程为214xy （）当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 |BMANB,设 0()y， ；当直线 l 垂直于 x 轴时, (02)(2)MN， ， ， ,若使 |BANB,则|A,有0|2|1y,解得 0y或 02所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (02)， 下面证明：对任意直线 l,都有 |MAN,即|MAN当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 1ykx设 M,N 的坐标分别为 12()()xy， ， ， ,
