1、1问题 36 圆锥曲线中的定值、定点问题一、考情分析圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用二、经验分享1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定 点，再证明该定点与变量无关
2、2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得三、知识拓展1.设点 ,Pmn是椭圆 C： 210xyab上一定点，点 A,B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点，若PABk，则 0时直线 AB 斜率为定值 2mn，若 0，则直线 AB 过定点2,nbma，F 是该椭圆焦点，则 ,OPacFac；2. 设点 ,n是双曲线 C：
3、 210,xyb一定点，点 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的 两点，若 PABk，则 0时直线 AB 斜率为定值 2mna，若 0，则直线 AB 过定点22,nbma；3. 设点 ,Pn是抛物线 C： 20ypx一定点，点 A,B 是抛物线 C 上不同 于 P 的两点，若PABk，则 0时直线 AB 斜率为定值 n，若 0，则直线 AB 过定点2,npm；四、题型分析(一) 定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于 x,y
4、 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明【例 1】已知直线 l的方程为 2yx,点 P是抛物线 24yx上到直线 l距离最小的点,点 A是抛物线上异于点 P的点,直线 A与直线 l交于点 Q,过点 与 轴平行 的直线与抛物线 24yx交于点 B.（）求点 P的坐标；（）证明直线 AB恒过定点,并求这个定点的坐标.【分析】 （）到直线 l距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线 l平行且与抛物线相切的切点：如根据点 P到直线 l的距离20200 44yyxd得当且仅当 02y时取最小值,（）解析
5、几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线 AB 方程,根据恒等关系求定点.先设点 A 21 4y，,求出直线 AP方程 11420xyy,与直线 l方程联立,解出点 Q纵坐标为128Qy.即得 B点的坐标为321148 yy，,再根据两点式求出直线 AB 方程 211480yxyx,最后根据方程对应 1恒成立得定点 2，【解析 】 （）设点 P的坐标为 0 xy， ,则204x,所以,点 到直线 l的距离 20200 44yyxd.当且仅当 02y时等号成立,此时 P点坐标为 1 ， . （）设点 A的坐标为21 4y，,显然 12y.当 12y时, 点坐标为 ， ,直线 AP的方程
6、为 1x；当 1y时,直线 AP的方程为124y,化简得 11420xy；综上,直线 的方程为 1420xy.与直线 l的方程 y联立,可得点 Q的纵坐标为128Qy.因为, BQx 轴,所以 B点的纵坐标为128By.因此, 点的坐标为2114 yy，.当1128y,即28y时,直线 AB的斜率11221844yk.所以直线 AB的方程为21124yx,整理得 21180yx.4当 2x, y时,上式对任意 1y恒成立,此时,直线 AB恒过定点 2 ， ,当218y时,直线 的方程为 x,仍过定点 2 ， ,故符合题意的直线 恒过定点 2 ， . 考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、
7、直线与抛物线的位置关系【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关【小试牛刀】 【新疆乌鲁木齐市 2019 届高三一模】椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直线方程是 .（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为 ，证明直线 过定点.【解析】 （1）对于 ，当 时， ，即 ，当 ， ，即 ，椭圆的方程为 ，（2）证明：设直线 ， （ ） ，设 ，
8、两点的坐标分别为 ， ，则 ，联立直线 与椭圆得 ，得 ，解得， ，直线 ，5令 ，得 ，直线 过定点(二) 定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值【例 2】如图,点 2,0A,B分别为椭圆 2:10xyCab的左右顶点, ,PMN为椭圆C上非顶点的三点,直线 ,P的斜率分别为 12,k,且 124, /AO, /B.（
9、）求椭圆 C的方程；（）判断 OMN的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】 （）设 (,)Pmn,则212 4nnkm,而2 2241mnmbb,所以 2214bkb（）根据弦长公式求底边 MN的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线 MN的方程为 ykxt,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得2114kt,根据斜率条件 124k及韦达定理得 241tk,高为 2tdk,代入面积公式化简得2221tSkt6【解析】 （）21,4APBbka椭圆2:14xCy.（）设直线 MN的方程为 ykxt, 1,My, 2,Nx,222,418404y
10、kxtkt,12281txk,241txk, 12 12121212 0404ykyxkxttxAA,4xktxt,22 2228410411ktttk,2221211MNxkxx2228414ktt,2tdk,222114ttSk.OMN的面积为定值 1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【小试牛刀】 【
11、湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的7一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 .（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 、 两点，交 轴于 点，若 ， ，求证：为定值.【解析】 （1）设椭圆 的方程为 ，则由题意知 .即 椭圆 的方程为（2）设 、 、 点的坐标分别为 ， ， .又易知 点的坐标为显然直线 存在的斜率，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得， ， ，将各点坐标代入得 ，圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置
12、等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之四、迁移运用1 【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】直线 与抛物线 ： 交于 两点， 为坐标原点，若直线 ， 的斜率 ， 满足 ，则直线 过定点（ ）A B C D【答案】C【解析】设 ， ，则 ，又 ， ，解得 .8将直线 ： 代入 ，得 ， ， .即直线 ： ，所以 过定点2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线 的左、右焦点分别为 ，P 为双曲线右支上一点，I 是 的内心，且 ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】如图，设 内切圆的半径为 由 得 ，整理得 因为 P 为双曲线右支上一点，所以 ， ，所以 故选 D3.【
13、江西省南昌市 2019 月考】已知椭圆 ： 的右焦点为 ,且离心率为 ，三角形 的三个顶点都在椭圆 上，设它的三条边 、 、 的中点分别为 、 、 ，且三条边所在直线的斜率分别为 、 、 ，且 、 、 均不为 0. 为坐标原点，若直线 、 、 的斜率之和为 1.则 （ ）A B-3 C D【答案】A9【解析】因为椭圆 ： 的右焦点为 ,且离心率为 ，且 所以可求得椭圆的标准方程为设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（s 1，t 1） ，E（s 2，t 2） ，M（s 3，t 3） ，因为 A、B 在椭圆上，所以 ，两式相减得，即同理可得所以因为直线 、
14、 、 的斜率之和为 1所以所以选 A4 【福建省 2019 届适应性练习（四)】设 为坐标原点，动圆 过定点 , 且被 轴截得的弦长是 8.（）求圆心 的轨迹 的方程；（）设 是轨迹 上的动点，直线 的倾斜角之和为 ，求证：直线 过定点.【解析】 ()设 动圆半径为由动圆被 轴截得的弦长是 8 得消去 得故圆心 的轨迹 的方程() 设直线 ， ，联立方程得 ，消去 得， 则 ， 设直线 的倾斜角分别是 10 ，同理 ， ，故直线 过定点 5.【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 C过点 (I)求椭圆 C 的方程；(II)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 与
15、椭圆 C 相切于点 A，与直线 相交于点 B，求证： 的大小为定值【解析】()椭圆 C 过点 ， 离心率为 又 由得 ， ， .椭圆 C 的方程为 C： .()显然直线 l 的斜率存在，设 l:y=kx+m.由 消 y 得由 得 .切点 A 的坐标为又点 B 的坐标为 ，右焦点 F 的坐标为 ，11 ， ，AFB=90，即AFB 的大小为定值.6 【江西省赣州市十四县（市）2018 届高三下学期期中】已知椭圆系方程 nC： 2xynab( 0ab， *nN)， 12,F 是椭圆 6C的焦点， 63A， 是椭圆 6上一点，且 210AF.（1）求 6C的方程；（2） P为椭圆 3上任意一点，过
16、P且与椭圆 3相切的直线 l与椭圆 6C交于 M， N两点，点 P关于原点的对称点为 Q，求证： MN的面积为定值，并求出这个定值【解析】（1）由题意得椭圆 6C的方程为 6： 26xyab，即 216xyab 210AF ，又 6,3为椭圆 6C上一点， c22ab，即 21ab，又 22631，a,b，12椭圆 6C的方程为 26xy （2）解：当直线 l斜率存在时，设 l方程为 ykxm,由23xykm消去 y 整理得 221460k，直线 l与椭圆 3C相切， 2224160k，整理得 2231mk 设 0,Pxy，则 0,Qxy，且 kx，点 到直线 l的距离 02211d，同理由2
17、6xykm消去 y 整理得 2240kxkm，设 12,MxN，则 1224k， 21xkN2114 222411kmkk222861km2k， 2QMNSd2211mkk21k231k6当直线 l斜率不存在时，易知 6QMNS综上可得 的面积为定值 2 7 【四川省蓉城名校高中 2018 届高 三 4 月份联考】已知椭圆 C： 21(0)xyab的长轴长为 4，13A， B是其长轴顶点， M是椭圆上异于 A， B的动点，且 34MABk.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）如图，若动点 R在直线 6x上，直线 AR， B分别交椭圆 C于 P， Q两点.请问：直线 PQ是否过定点？若是，求出定点
18、坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知 24a则 ，设 0,Mxy， ,0A， ,Ba，则 0MABykxa 20yxa，由201ab，则22001xb，则234ABb，则 2b，由此可得椭圆 C的标准方程为243xy.（2）设 6,Rm，则直线 AP的方程为 24myx；则直线 BQ的方程为 28myx联立得28 143yx消去 y得： 222840，则248Q，即28Qmx代入直线 BQ的方程得 248Qmy，故 284,8m.联立得24 13yx消去 y得： 222110x，则 21Pmx，即2Pmx代入直线 AP的方程得 21Pmy，故22,1P.14当 22481m，即 2
19、4m，则 PQ与 x轴交点为 2,03T，当22481，即 2时，下证直线 过点 ,，由 2013PTQmk24083m22904m，故直线 过定点 2,0.8 【江西省新余市 2018 届高三二模】已知抛物线 2:0Cxpy过点 2,1，直线 l过点 0,1P与抛物线 C交于 A， B两点.点 关于 y轴的对称点为 A，连接 B.（1）求抛物线线 C的标准方程；（2）问直线 AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)将点 ,1代入抛物线 2:xpy的方程得， 2p.所以，抛物线 C的标准方程为 24xy.(2)设直线 l的方程为 1yk，又设 1,A， 2,Bxy
20、，则 1,Axy.由21, 4xk得240xk. 则 216， 124x， 124xk.15所以 2121214ABxyxkx .于是直线 的方程为 2124xyx所以 22114xy.当 0时， ，所以直线 AB过定点 0,1.9 【湖北省荆州中学 2018 届高三 4 月月考】已知动圆过定点 2,0A，且在 y轴上截得弦 MN的长为 4.（1）求动圆圆心的轨迹 C的方程；（2）设 ,0B，过点 A斜率为 0k的直线 l交轨迹 C于 ,PQ两点， ,B的延长线交轨迹 C于,ST两点.若 PQ的面积为 3，求 k的值. 记直线 的斜率为 ST，证明： ST为定值，并求出这个定值.【解析】（1）
21、设圆心 ,0Cxy，过点 C作 Ey轴，垂足为 E，则 12MN. 222AME xyx，化简为： 24yx.当 0时，也满足上式.动圆圆心的轨迹 C的方程为 2. （2）设直线 l的方程为 ykx， 221,4yyPQ，由 4 2yxk，得 2480， 1621630k， 12124,8yyk. 12121223PQBSAyk，解得 2k. 设23,4y，则 1,4yP， 3,4BS. ,PBS共线223131044yy，即 231340yy，解得： 31y（舍）或 314y. 21,Sy，同理 2,Ty， 12124STkkyy STk（定值） 10.如图,已知双曲线 C： y21( a0
22、)的右焦点为 F.点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上, AF x 轴,x2a2AB OB,BF OA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；17(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y00)的直线 l： y0y1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x 相交于点 N.证明：x0xa2 32当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值|MF|NF|【解析】(1)设 F(c,0),因为 b1,所以 c ,a2 1直线 OB 方程为 y x,1a直线 BF 的方程为 y (x c),解得 B( , )1a c2 c2a又直线 OA 的方 程为 y x,1a则 A(c, ),kAB
23、.caca c2ac c2 3a又因为 AB OB,所以 ( )1,3a 1a解得 a23,故双曲线 C 的方程为 y21.x23(2)由(1)知 a ,则直线 l 的方程为3 y0y1( y00),即 y .x0x3 x0x 33y0因为直线 AF 的方程为 x2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2, )；2x0 33y0直线 l 与直线 x 的交点为 N( , )32 3232x0 33y0则 |MF|2|NF|2 2x0 3 2 3y0 214 32x0 3 2 3y0 2 2x0 3 29y204 94 x0 2 2 .43 2x0 3 23y20 3 x0 2 2因为 P(x0
24、,y0)是 C 上一点,则 y 1,x203 20代入上式得 |MF|2|NF|2 43 2x0 3 2x20 3 3 x0 2 2 ,43 2x0 3 24x20 12x0 9 4318即所求定值为 .|MF|NF| 23 2 3311.如图,设点 ,AB的坐标分别为 ,03,直线 ,APB相交于点 ,且它们的斜率之积为 23（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点 的轨迹为 C,点 N、 是轨迹为 C上不同于 ,的两点,且满足 /,/APOMBN,求证：MON的面积为定值【答案】 （1）2133xyx（2）6【解析】 （1）由已知设点 P的坐标为 ,y,由题意知33APBykxxA,化简得 的
25、轨迹方程为21y （2）证明：由题意 MN、 是椭圆 C上非顶点的两点,且 /,/ONAPMB,则直线 ,APB斜率必存在且不为 0,又由已知23Bk因为 /,/ON,所以 OMNkA 设直线 M的方程为 xmyt,代入椭圆方程23xy,得223460yt , 19设 ,MN的坐标分别为 12,xy,则2121246,33mttyy 又 121222 6Oy tkmttA, 所以2633t,得 23t 又212487MON mSty,所以 264t,即 MON的面积为定值62 12如图,过椭圆 2:1(0)xyab内一点 (,1)A的动直线 l与椭圆相交于 M,N 两点,当 l平行于 x轴和垂
26、直于 x 轴时, l被椭圆 所截得的线段长均为 2.（1）求椭圆 的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点 A 不同的定点 B,使得对任意过点 (0,1)A的动直线 l都满足|BMANB？若存在,求出定点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】 （1）214xy；（2）存在点 B 的坐标 (0)， 【解析】 （）由已知得 2b,点 (1)， 在椭圆上,所以 21ab,解得 a,20所以椭圆 的方程为214xy （）当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 |BMANB,设 0()y， ；当直线 l 垂直于 x 轴时, (02)(2)MN， ， ， ,若使 |BANB
27、,则 |A,有 0|2|1y,解得 0y或 02所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (02)， 下面证明：对任意直线 l,都有 |MAN,即 |MAN当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 1ykx设 M,N 的坐标分别为 12()()xy， ， ， ,由24xyk，得 2()40kkx,其判别式 22()8(1),所以, 1212224kxxk， , 因此, 1122易知点 N 关于 y 轴对称的点 N的坐标为 2()xy， ，又 111BMkxk,2221Nykx ,所以 BMNk,即 ， ， 三点共线,所以 12| |xAMN21故存在与点 A 不同的定点 (02)B， ,使得 |MANB
