1、1问题 35 圆锥曲线中的最值、范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用二、经验分享1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利 用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用
2、已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性 质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达 式表示为某个(些 )参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解三、知识拓展1.已知 P 是椭圆 C： 210xyab一点，F 是该椭圆焦点，则 ,bOPacFac；2.已知 P 是双曲线 C： 210,x
3、yab一点，F 是该椭圆焦点，则 ,ac；双曲线C 的焦点弦的最小值为2min,.四、题型分析(一) 利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理【例 1】已知 (40),2)AB， ， 是椭圆2159xy内的两个点, M是椭圆上的动点,求 MAB的最大2值和最小值【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论 AMB、 、 三点是否共线,总有 MAB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用【解析】由已知得 (40)A， 是椭圆的右焦点,设左焦点为 (40)F， 根据椭圆定义得=21MBaFMB,因为 210BF,所以 BF1
4、0,故 的最小值和最大值分别为 12和 .【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化【小试牛刀】【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为 4，渐近线方程为 ，点 N 在圆 上，则的最小值为( )A B5 C6 D7【答案】B【解析】由题意可得 2a4，即 a2，渐近线方程为 y x，即有 ，即 b1，可得双曲线方程为 y21，焦点为 F1（ ，0） ，F 2， （ ，0） ， 由双曲线的定义可得|MF 1|2a+|MF 2|4+|MF 2|，由圆 x2+y24y0 可得圆心 C（0，2） ，半径 r2，|MN|+|MF
5、1|4+|MN|+|MF 2|，连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N，可得|MN|+|MF 2|取得最小值，且为|CF 2| 3，则则|MN|+|MF 1|的最小值为 4+325故选：B3(二) 单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量【例 2】已知椭圆 C： 210xyab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线 01yx与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设 P为椭圆上一点,若过点 )0,2(M的直线 l与椭圆 E相交于不同的两点 S和 T,且满足OtT
6、S(O 为坐标原点),求实数 t的取值范围.【分析】 （1）由题意可得圆的方程为 22)(aycx,圆心到直线 01yx的距离 dac21；根据椭圆 )0(1:2bayxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, cba2代入*式得 c,即可得到所求椭圆方程；（）由题意知直线 L的斜率存在,设直线L方程为 )(xky,设 0yxp,将直线方程代入椭圆方程得： 028212kxk,根据 08162814622kk得到 2k；设 1,yS, 2T应用韦达定理221221,8xkx.讨论当 k=0, t的情况,确定 t的不等式.【解析】 （1）由题意：以椭圆 C 的右焦点为圆心,
7、以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为22)(aycx,圆心到直线 01x的距离 dac21*4椭圆 )0(1:2bayxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, cba代入*式得 c 2ba 故所求椭圆方程为 .12yx （）由题意知直线 L的斜率存在,设直线 L方程为 )2(xky,设 0,yxp将直线方程代入椭圆方程得： 08122xk 682462k 12k设 1,yxS, 2T则 221221 8,8kxkx8 分当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, OPtTS成立,故,t=0 符合题意.当 0t时得 2210 221210 814)4(kxt
8、x kxyty ,820ktx20kty 将上式代入椭圆方程得： 1)(6)1(32224ktt整理得： 2216kt由 2k知 40t所以 t（ ， ）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于 abc、 、 的等量关系；直线和椭圆的位置关系5问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点 P在椭圆上和向量式得 ()tfk,进而求函数值域【小试牛刀】 【吉林省吉林市 2018 届高三第三次调研】已知椭圆2:10)xyCab的离心率是32，且椭圆经过点 0,1（1）求椭圆 C的标准方程；（2）若直线 1l： 2xy与圆 2:640Dxym相切：（）求圆 D的标准方程；（）若直线 2l过
9、定点 30， ，与椭圆 C交于不同的两点 ,EF，与圆 D交于不同的两点 ,MN，求EFMN的取值范围【解析】(1) 椭圆经过点 0,1， 21b，解得 2， 3,2eca，241，解得 24a 椭圆 C的标准方程为214xy(2) (i)圆 D的标准方程为 2313xym,圆心为 3,，直线 1l： 20xy与圆 D相切，圆 的半径 5r, 圆 D的标准方程为 223xy （）由题可得直线 2l的斜率存在, 设 23lykx方 程 为 ,由2 14ykx消去 y整理得 22214640kx，直线 2l与椭圆 C交于不同的两点 ,EF，6 22 241436150kkk，解得 05设 12,E
10、xyF, 则212124364,kkx 2222 211436411kkEFkx22154k， 又圆 D的圆心 3,到直线 2:30lky的距离 22dkk, 圆 截直线 2l所得弦长2251MNr, 2224215481kkkEFN， 设 291,5tk则 24, 2215148950tEFMNtt, 91,5t，20tt,6， EFN的取值范围为 ,8(三) 二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来 处理【例 2】若点 O、 F 分别为椭圆2143xy的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则 OPF的最大值7为 【分析】设点
11、Pxy（ ， ） ,利用平面向量数量积坐标表示,将 OPF用变量 xy， 表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理【解析】设 xy（ ， ） ,则 OF= 221xyxy（ ,又点 P 在椭圆上,故2143xy,所以22 231344x（,又-2 x2,所以当 x=2 时, 21取得最大值为 6,即 P的最大值为 6,故答案为：6【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程【小试牛刀】 【湖南省益阳市 2019 届高三上学期期末】已知定点 及抛物线上 的动点 ，则（其中 为抛物线 的焦点）的最大值为（ ）A2 B C D3【答案】C【解析】方法一：作 准线 于 ，则 .设 倾斜角为
12、 ，则.当 与 相切时， 取最大值，由代入抛物线 得 ，解得 或 .故 最大值为 4，即 最大值为 5.即 最大值为.故选 .方法二：作 准线 于 ，则 ，设 ， ，则8，则 取最大值，只需 取最大值，又 表示 的斜率 ，所以 取最大值时，直线 与抛物线相切，由 代入抛物线 得， ，解得 或 .故 最大值为 4，即最大值为 5. 即 最大值为 .故选 .(四) 双参数最值问题该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为
13、自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围【例 3】在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 ：21()xyab 的离心率 ,且 椭 圆 C 上 一 点C32e到 点 Q 的 距 离 最 大 值 为 4,过 点 的 直 线 交 椭 圆 于 点N03（ ， ） 3,0M（ ） .AB、（）求椭圆 C 的方程；（）设 P 为椭圆上一点,且满足 OABtP（O 为坐标原点）,当 3 时,求实数 的取值范围.t【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到 a与 b的关系,又因为椭圆上的 N点到点 Q的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为 N在椭圆上,所以 224xy,代入表达
14、式,利用配方 法求最大值,从而求出 21b,所以 24a,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设 APB点坐标,由题意设出直线 AB方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OtP得出 ,xy,由于点 P在椭圆上,得到一个表达式,再由 |3,得到一个表达式,2 个表达式联立,得到 的取值范围.【解析】 （）223,4cabe 2,ab 9则椭圆方程为21,4xyb即 224.xyb设 (,)Ny则 22220(3)4(3)Qxyby3649(1)yb当 1时, N有最大值为 2, 解得 2,b 24a,椭圆方程是 214xy （）设 12(,)(,)(,A
15、xyBPAB方程为 (3),kx由 23,4ky整得 222(14)640kx. 由 24226(9)0k ,得 215 .1212234,.kxx 12(,)(,OABytxy则2124()()kxtt,121226()().(14)kykxttt由点 P 在椭圆上,得 2224,()()tktk化简得 2236(14)ktk 又由 123,ABx 即 2114,xx 将 12x, 1代入得242 2(64)(1) ,)kk化简,得 22(8)63)0,k则 22180,8 , 15 由,得 222369,4ktk10联立,解得 234,t 3t 或 2.t 【点评】第一问中转化为求二次函数
16、最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点 P 在椭圆上,和已知向量等式得变量 ,kt的等量关系,和变量 ,kt的不等关系联立求参数 的取值范围 t【小试牛刀】已知圆 )0(2:2ryxM,若椭圆 )0(1:2bayxC的右顶点为圆的圆心,离心率为 .（1）求椭圆 C的方程；（2）若存在直线 kxyl:,使得直线 l与椭圆 C分别交于 BA,两点,与圆 M分别交于 HG,两点,点 在线段 AB上,且 HG,求圆 M的半径 r的取值范围.【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c,因为 1,2,bca所以椭圆的方程为 1:2yxC.（2）设 ),(),(21ByA,联立方程得 02xk所以 )1(2
17、则 222121 1)(8)(,0kkABxx又点 )0,2(M到直线 l的距离 21kd, 则 221krGH显然,若点 H也在线段 AB上,则由对称性可知,直线 kxy就是 y 轴,与已知矛盾,所以要使 BHAG,11只要 GHAB,所以 )1321(32)(12)(142)(8 242422 kkkkrr当 0时, r.当 k时, )21()31(224k3,又显然 )(242r,所以 3r.综上,圆 M的半径 r的取值范围是 ),.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
18、解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解四、迁移运用 1 【湖南省浏阳一中、醴陵一中 2019 联考】在椭圆 上有两个动点 ， 为定点，则 的最小值为( )A4 B C D1【答案】C【解析】由题意得 设椭圆上一点 ，则 ， ，又 ，当 时， 取得最小值 故选 C122 【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】过抛物线 的焦点作两条互相垂直的弦 ， ，则四边形 面积的最小值为（ ）A8 B16 C32 D64【答案】C【解析】显然焦点 的坐标为 ，所以可设直线 的方程为 ，代入 并整理得 ，所
19、以 ， ，同理可得 ，所以故选 C.3.【河北省张家口市 2019 期末】已知抛物线 C： ，过点 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点M， N，设 ， ，且 时，则直线 MN 斜率的取值范围是 A BC D【答案】A【解析】设直线 l 的方程为 ，则 ，设点 、将直线 l 的方程与抛物线 C 的方程联立 ，消去 x 得， ，由韦达定理得 所以， ，所以， x 轴为 的角平分线， ，所以，将 式代入韦达定理得 ，则 ，所以， ，13，所以， 设直线 MN 的斜率为 k，则即 ，所以， ，解得 或 故选： A4 【浙江省宁波市 2019 届高三上学期期末】已知椭圆 的离心率 的取值范围为 ，
20、直线 交椭圆于点 为坐标原点且 ，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】联立方程 得 ，设 ， ，则 ，由 ，得 ， ，化简得 ， ，化简得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即椭圆的长轴长的取值范围为 ，故选 C145 【江西省红色七校 2019 届高三第二次联考】定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 上移动，设点P 为线段 MN 的中点，则点 P 到 y 轴距离的最小值为( )A B1 C D【答案】D【解析】由抛物线方程得 ，准线方程为 ，设 ，根据抛物线的定义可知， 到轴的距离 ，当且仅当 三点共线时， 能取得最小值，此时 .故选 D.6 【四川省
21、泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断】已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点是圆 上任意一点，则 的最小值为 A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】抛物线 的焦点 ，准线 ： ，圆 的圆心为 ，半径 ，过点 作 垂直准线 ，垂足为 ，由抛 物线的定义可知 ，则 ，当 三点共线时 取最小值 ，即有 取得最小值 4，故选 B7 【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考】已知抛物线15上一点 到焦点的距离为 ， 分别为抛物线与圆 上的动点，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由抛物线 焦点在 轴上，准线方程 ，则点 到焦点的距离为 ，则 ，所以
22、抛物线方程： ，设 ，圆 ，圆心为 ，半径为 1，则 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ，故选 D.8 【河南省郑州市 2019 届高中毕业年级第一次（1 月)质量预测】抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛物线上的两个动点，且满足 ，过弦 的中点 作该抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最小值为 A B1 C D2【答案】B【解析】设| AF| a，| BF| b，由抛物线定义，得| AF| AQ|，| BF| BP|在梯形 ABPQ 中，2| CD| AQ|+|BP| a+b由余弦定理得，|AB|2 a2+b22 abcos60 a2+b2 ab配方得，| AB|2（ a+b） 23 ab，又
23、ab（ ） 2，（ a+b） 23 ab（ a+b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2得到| AB| （ a+b）| CD|16 1，即 的最小值为 1故选： B9已知抛物线 28yx,点 Q 是圆 2:8130Cxy上任意一点,记抛物线上任意一点到直线x的距离为 d,则 P的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】 如图所示,由题意知,抛物线28yx的焦点为 (2,0)F,连接 P,则 dF将圆 C化为22(1)(4)xy,圆心为 (1,4),半径为 r,则 PQd,于是由PQF（当且仅当 FPQ三点共线时取得等号） 而 为圆 C上的动点 Q到定点 的距离,显然当 ,C三
24、点共线时取得最小值,且为22(1)(40)3Cr,故应选 10 【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作直线与抛物线交于 两点若以 为直径的圆过点 ，则 的值为_【答案】4【解析】假设 k 存在，设 AB 方程为： y k（ x1） ，与抛物线 y24 x 联立得 k2（ x22 x+1）4 x，即 k2x2（2 k2+4） x+k20 17设两交点为 A（ x2， y2） ， B（ x1， y1） ，以 为直径的圆过点 , QBA90， （ x12） （ x1+2）+ y120， x12+y124， x12+4x110（ x
25、10） ， x1 2， x1x21， x2 2， | AF| BF|（ x2+1）（ x1+1）4，故答案为：411 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟】抛物线 的焦点为 ，设是抛物线上的两个动点，若 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】由 是抛物线 上的两个动点，得又 ，所以 ，在 中，由余弦定理得：，又 ，即 ，所以 ，因此 的最大值为 .故答案为12 【江西省九江市 2019 届高三第一次高考模拟】已知抛物线 的焦点 F，过 F 的直线与抛物线交于A，B 两点，则 的最小值是_【答案】18【解析】抛物线 y28 x 的焦点 F（2，0） ，18设 A（ x1， y1）
26、 ， B（ x2， y2） ，则| FA|+4|FB| x1+2+4（ +2） +4 +10，当直线 AB 斜率不存在时，| FA|+4|FB|2+42+1020，当直 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k（ x2） ，代入 y28 x 得 k2x2（4 k2+8） x+4k20， 4，| FA|+4|FB| 4 +102 1018，当且仅当 x11 时取等号|FA|+4|FB|的最小值是 18故答案为：1813 【山东省淄博市 2018-2019 学年度 3 月高三模拟】已知抛物线 ： 上一点 ，点 是抛物线 上的两动点，且 ，则点 到直线 的距离的最大值是_【答案】【解析】设直
27、线 的方程为 ， ， ，联立直线 的方程与抛物线方程，则有 ，即 ， ，因为直线 与抛物线方程有两个交点，所以 ， ， ，因为 ，所以 ，即 ，解得 或者 ，化简可得 或者因为 ，所以 ， ，所以直线 的方程为 ，即 ，故直线 过定点 ，当 垂直于直线 时，点 到直线 的距离取得最大值，最大值为 ，故答案为 。14 【浙江省 2019 年高考模拟训练数学（二)】设 是抛物线 上相异的两点，则的最小值是_19【答案】-16 【解析】由题意直线 的斜率存在，设 ，由 消去 整理得 ，且 设 ， 中点为 ，则 ， ， ， ， ，又 ，当 时等号成立， 的最小值是 故答案为 15.【陕西省咸阳市 20
28、18 届高三一模】已知椭圆 C的两个焦 点为 12,0,F，且经过点 31,2E.（1）求椭圆 C的方程；（2）过 1F的直线 l与椭圆 交于 ,AB两点（点 位于 x轴上方） ，若 1AB，且 573，求直线 l的斜率 k的取值范围.【解析】（1）设椭圆2:1(0xyCab，依题意得222)1 abc，解得 2,13acb ，从而得椭圆2143xy.20（2）设直线 1:(0)lxtyk，则 221 31434xtyty即 23469tt，依题意有 ABBy，则29 34ABABtyty，消去 ,ABy得 221143t，令 15723f，则 20f ，所以 12f在 57,3上递增，所以
29、224164695531tf t，由 0kt，得 k，所以直线 l的斜率 k的取值范围是 3,416 【湖南省衡阳市 2018 届高三第二次联考二模】已知椭圆2C:1(0)xyab的离心率为 32，倾斜角为 30的直线 l经过椭圆 C的右焦点且与圆 23E:4相切.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 0ykxm与圆 相切于点 P，且交椭圆 C于 ,AB两点，射线 OP于椭圆 C交于点 Q，设 OAB的面积于 Q的面积分别为 12,S.求 1S的最大值；当 1取得最大值时，求 12S的值.【解析】 (1)依题直线 l的斜率 3tan0k.设直线 l的方程为 3yxc,21依题有： 22234
30、: 1 13caxabCyc(2)由直线 0ykxm与圆 E相切得： 223431mkk.设 12A,B.将直线 0ykx代入椭圆 C的方程得： 2 2224840,6444164kx kkmA223.13mkA,且 121228,mxx.22 21211 126434kxxx ABkxk设点 O到直线 l的距离为 2dm,故 OAB的面积为：22211231312 4kkkSABx,当 235k.等号成立.故 1S的最大值为 1.设 Q,xy，由直线 0ykxm与圆 E相切于点 P，可得 OQAB，2 223 23 222214414. 74 kkkOQxyxyk .1234421, ,27
31、OPABSOPPQ.17 【2018 衡水高三信息卷 二】已知抛物线 :xpy（ 0） ，直线 y与抛物线 交于 ,AB (点 B在点 A的左侧)两点，且 43AB.22（1）求抛物线 在 ,AB两点处的切线方程；（2）若直线 l与抛物线 交于 ,MN两点，且 ,的中点在线段 AB上， MN的垂直平分线交 y轴于点 Q，求 N面积的最大值.【解析】 （1）由 2xpy，令 2，得 xp，所以 43，解得 p， 26xy，由26y，得 3，故 23|.x所以在 A点的切线方程为 23yx，即0x，同理可得在 B点的切线方程为 230x.（2）由题意得直线 l的斜率存在且不为 0，故设 :lykm
32、， 1,Mxy， 2,Nxy，由 26y与 kxm联立，得 260x， 2364kmA，所以 1， 1，故 22213Nkk .又 2121264yxk，所以 2k，所以 223143MNk，由 3640km，得 3且 0.因为 ,MN的中点为 ,2k，所以 ,MN的垂直平分线方程为 123yxk，令 0x，得 5y，即 0,5Q，所以点 到直线 230xyk的距离 225d，所以 22213412MNSk3k.令 21u，则 21，则 73u，故 2373QMNSu.设 73f，则 249f，结合 1，令 0f，得 149u；令 0fu，得 149u，所以当 u，即 53k时， 23max1
33、41473739QMNS.18 【山西省榆社中学 2018 届高三诊断性模拟】已知曲线 M由抛物线 2xy及抛物线 24xy组成，直线 l： 3(0)ykx与曲线 M有 m（ N）个公共点.（1）若 m，求 的最小值； （2）若 4，自上而下记这 4 个交点分别为 ,ABCD，求 的取值范围.【解析】（1）联立 2xy与 3kx，得 230kx， 0k， l与抛物线 y恒有两个交点.联立 24xy与 x，得 241kx. 3m， 2168k. 0k， ， 的最小值为 3.（2）设 1,Axy， 2,Bxy， ,Cxy， 4,Dxy，则 ,两点在抛物线 4上， ,两点在抛物线 2上， 124xk
34、， 12x， 34xk， 34x，且 216480k， k， 3. 8AB， 21CD，21kCD2254kk. 3， 250k， 0,4ABCD.19 【山东省桓台第二中学 2018 届高三 4 月月考】已知抛物线 2:4Cyx，点 M与抛物线 C的焦点 F关于原点对称，过点 M且斜率为 k的直线 l与抛物线 交于不同两点 ,AB，线段 的中点为 P，直线PF与抛物线 C交于两点 ,ED24（）判断是否存在实数 k使得四边形 AEBD为平行四边形若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由；（）求2PFM的取值范围【解析】（）设直线 l的方程为 (1)ykx，设 1234(,)(,)(,)(,)
35、AxyBExyD 联立方程组 2() 4，得 2240k显然 0k，且 ，即 2()k，得 1且 得2124-x， 12x2Pk， 2(1)Pykk直线 F的方程为： x，联立方程组 2(1) 4ykx，得222(4)0()1(1)kkkx，得234(-)xk， 341若四边形 AEBD为平行四边形，当且仅当212-xk234(-)kx，即 2(1)0k，得 0,k，与 且 0矛盾故不存在实数 使得四边形 AEBD为平行四边形25（）22 42222 131PFkkkM由 1k且 0，得 1k；当 23， 2PF取得最小值 3；当 21k时， 2M取 1；当 2k时， 2PFM取 1；所以 2
36、3,)PF20.【四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊】已知椭圆 : 的左右焦点分别是，抛物线 与椭圆 有相同的焦点，点 为抛物线与椭圆 在第一象限的交点，且满足 .（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作直线 与椭圆 交于 两点，设 .若 ，求 面积的取值范围.【解析】 （1）由题意得抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，点 P 到直线 的距离为 ，从而点 P 的横坐标为 ，26又点 P 在第一象限内，点 P 的坐标为 ， ， ，椭圆 的方程为 （2）根据题意得直线 的斜率不为 0，设其方程为 ，由 消去 整理得 ，显然 设 ，则 ，即 ， ，代入消去 得 ， ， ，解得 由题意得 令 ，则 ， ，27设 ，则 在 上单调递增， ，即 ， 即 面积的取 值范围为
