1、1问题 33 求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a， b， c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b 用 a， c 表示，转化为关于离心
2、率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a， c 的齐次式，进而求解 .(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征 2 c 的运用|PF1| |PF2|三、知识拓展1.在求椭圆210xyab离心率范围时常用的不等关系： ,xayb， cFPac，bOP（P 为椭圆上一点） 2.在双曲线210,xyab中，21cbea，四、题型分析(一) 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等
3、关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用 ,abc进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例 1】已知两定点 和 ,动点 在直线 上移动,椭圆 以 为焦点且1,0AB,Pxy:3lyxC,AB经过点 ,则椭圆 的离心率的最大值为（ ）PCA B C. D55252052【答案】A【解析】 关于直线 的对称点为 ,连接 交直线 于点 ,则椭圆 的长轴1,0A:3lyx32ABlPC长的最小值为 ,所以椭圆 的离心率的最大值为 ,故选 A.25BC15ca【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆21:(0)xyab与圆22:xyb,若在椭圆 1C上存在点 P,使
4、得由点 P 所作的圆 2C的两条切线互相垂直, 则椭圆 1C的离心率的取值范围是（ ）A1,)B3,C2,)D3,)2【答案】C【解析】椭圆上长轴端 点向圆外两条切线 PA,PB,则两切线形成的角 APB最小,若椭圆 1C上存在点 P 令切线互相垂直,则只需 09APB,即 045APO,02sinsi45ba,解得 2ac,21e,即2,而 01e,21e,即,1).(二) 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立, 的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例 2】 已知椭圆21(0)xyab上一点 A关于原点 O的对称点为
5、,BF为其右焦点,若,AFB设 ,F且,24则椭圆离心率的取值范围是 .3【答案】26,3【解析】左焦点为 1F.连结 1,AB可得四边形 1AFB是矩形,所以 AOFBc.所以 2Ac又,AB所以. 2sin,2cosc.又因为 1, 12a.所以2sincosa.即iin()4.因为,4所以6()24.所以1263ca.故填26,3.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式 sincosa,然后借助已知条件,124利用三角函数的图象求解离心率的范围.【小试牛刀】 【百校联盟 2018 届 TOP202018 届高三三月联考】 已知平行四边形 ABCD内接于椭圆2:10xyab，且
6、AB， D斜率之积的范围为32,4，则椭圆 离心率的取值范围是（ ）A. 3,2B. 32,C. 13,4D. 1,43【答案】A【解析】由题意， ,DB关于原点对称，设 00,DxyBxyAx， ADBk 222 200001xbayy bxx a， 2321,4ca213,432cea，故选 A.4(三) 借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例 3】已知椭圆21:1xyCmn与双曲线2:1xyCmn有相同的焦点,则椭圆 1C的离心率 e的取值范围为（ ）A2(,
7、1)B2(0,)C (0,1) D(,)2【答案】A【解析】椭圆21:1xymn,21a,21b,21c,2112mne,双曲线2:1xyCmn,2a,2bn, 2c, 由条件有 mn,则 1,21em,由 0,有 2,12,12,12,即21,而 10, 12e.【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式21m,进而根据 m 的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线 ,则当 时,该曲线的离心率 的取值范围是（ ）214xym21eA B C D23， 6,256,36,【答案】C【解析】由当 时,二次曲线为双曲线,双曲线 即为 ,且21m214xy
8、m214xy5,则 ,即有 ,故选 C. 24,abm24c45622cmea(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆210xyabb，中, ax,P是椭圆上任意一点,则 1acPFac等.【例 4】设 12,F为椭圆2(0)xyb的左、右焦点,且 12|Fc,若椭圆上存在点 P使得1|Pc,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A 2 B 3 C2D3【答案】D【解析】设 ),(0yxP,由圆锥曲线的共同特征可得 2020021 )(cxeaxeaPF,所以2220aec,即221ec,所以 3,又 1,解得13,所以离心率的最小值为 3,故选
9、 D【点评】 为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把21|PFc转化成基本量 a,c,e与 0x的关系式,结合椭圆的范围,即可得到 e的不等式,从而求出其最小值【小试牛刀】 【天津市南开区 2019 届高三上数学期末】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 M 在双曲线的左支上，且 ，则此双曲线离心率的最大值为 A B C2 D【答案】A【分析】先由双曲线的定义得到 ，再由点 M 在双曲线左支上，即可得出结果.【解析】由双曲线的定义可得 ，根据点 M 在双曲线的左支上，可得6， ， 双曲线离心率的最大值为 ，故选 A四、迁移运用1 【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第
10、一次模拟】两正数 的等差中项为 ，等比中项为 ，且 ，则双曲线 的离心率 为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为两正数 的等差中项为 ，等比中项为 ，所以 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，所以 .故选 D2 【江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考】设双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 1 的直线 与 的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即 ，所以 ，所以 ，故选 A3 【江西省高安中学 2019 届高三上学期期中】如图，点 在以 为焦点的双曲
11、线上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若四边形 为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）7A B2 C D【答案】C【解析】解：由题意得：四边形 的边长为 2c, 连接 ,由对称性可知, | |=| |=2c,则三角形 为等边三角形.过点 P 作 PHx 轴于点 H, 则 =60 ，| |=2c, 在直角三角形 中, | |= , | |= ,则 P(2c, ), 连接 , 则| |= .由双曲线的定义知, 2a=| |-| |= -2c= ,所以双曲线的离心率为 e= = = ，故选 C.4 【宁夏银川一中 2019 届高三第一次模拟】双曲线 和直线 ，若过 的左焦点和点 的直线与 平行，则双曲线 的
12、离心率为 （ ）A B C D【答案】A【解析】过 的左焦点和点 的直线可写为： ，即与 平行 又 本题正确选项：85 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟】如图， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】设 ， ，则 ， ，根据双曲线的定义，得 ，即 ，解之得： ；因为 ，所以三角形 是以 为直角的直角三角形，所以 ，因此 ；在三角形 中，可得，因此，该双曲线的离心率为 .故选 A6 【广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研】设点 为双曲线 和圆的一个交点，若 ，其中 为双曲线 的两焦点，则双
13、曲线 的离心率为（ ）A2 B C D【答案】B9【解析】圆 是以原点 为圆心，以 为半径的圆，则 ，从而有 ，| M | c， c， ，由双曲线的定义得 ，得离心率为 ，故选：B.7 【广东省华附、省实、广雅、深中 2019 届高三上学期期末联考】设 ， 分别是椭圆的左、右焦点，若在直线 其中 上存在点 P，使线段 的垂直平分线经过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 A B C D【答案】C【解析】由题意得 ， ，设点 ，则由中点公式可得线段 的中点 ，线段 的斜率与 的斜率之积等于 ，即 ， ，或 舍去 ，又椭圆的离心率 ， 故 ，故选：C8 【陕西省西安市西北工业大学附属中学 2019 届第
14、一次适应性训练】设 ， 是双曲线的两个焦点， P 是 C 上一点，若 ，且 的最小内角为10，则 C 的离心率为 A B C D【答案】C【解析】解：因为 、 是双曲线的两个焦点， 是双曲线上一点，且满足 ，不妨设 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以 ， ， ，, , 为 最小边, 的最小内角 ，根据余弦定理，即 ，所以 故选：C9 【北京市丰台区 2019 届高三上学期期末】已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为 6，那么该椭圆的离心率为 A2 B C D【答案】D【解析】易知抛物线 的焦点（2，0） ，准线 x=-2，即椭圆 的 c=2，因为抛
15、物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为 ，又因为 c=2解得 a=411所以离心率 故选 D.10 【四川省绵阳市 2019 上学期期末】若双曲线 与 双曲线有公共点，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由 得 的渐近线方程为 ，由 得 的渐近线方程为 ，因为双曲线 与 双曲线有公共点，所以只需 ，即 ，即 ，即 ，解得 .故选 C11 【河北省武邑中学 2019 届高三下学期第一次质检】已知直线 与双曲线 的斜率为正的渐近线交于点 ，曲线的左、右焦点分别为 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A4 或 B C D【答案】D【解析】由渐近线方程
16、 与直线 求出点 A 的坐标为 ,过 A 点作 轴于点 B，则由已知可得 12当 时， 则 故舍去，综上故选 D12 【贵州省贵阳市普通中学 2019 届高三年级第一学期期末】已知点 F 是双曲线 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 A B C D【答案】D【解析】 双曲线关于 x 轴对称，且直线 AB 垂直 x 轴，是钝角三角形，是钝角，即有 ，为左焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点，即 ，由 ，可得 ，解得 或 ， 舍去 ，则 双曲线的离心率的范
17、围是 故选： D13 【山东省临沂市 2019 届高三 2 月教学质量检测】点 A、B 分别为椭圆 的左、右顶点，F 为右焦点，C 为短轴上不同于原点 O 的一点，D 为 OC 的中点，直线 AD 与 BC 交于点 M，且 MFAB，则该椭圆的离心率为13A B C D【答案】B【解析】由题意如图：MFAB，且 OCAB，MF OC，同理 MF OD， ， ， 得到： = = = ,2（ a c） c+a， a3 c， e 故选： B14 【吉林省长春市 2019 届高三质量监测（二)】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 轴相交于 ， 两点， 为坐标原点
18、，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D 【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线 ，即 ，则过右焦点 与渐近线垂直的直线方程为 ，即 ，又由焦点 到渐近线 的距离为 ，又由 ，所以 ，即 ，14又由原点到 的距离为 ，在直角 中，由射影定理得 ，即 ，又由 ，整理得 ，所以 ，故选 B.15 【2019 年四川省达州市一诊】已知椭圆 的左右 焦点分别为 、 ，抛物线与椭圆 C 在第一象限的交点为 P，若 ，则椭圆 C 的离心率为 A B 或C D 或【答案】D【解析】作抛物线的准线 l，则直线 l 过点 ，过点 P 作 PE 垂直于直线 l，垂足为点 E，由抛物线的定义知 ，易
19、知， 轴，则 ，设 ，则 ，由椭圆定义可知，在 中，由余弦定理可得 ，整理得 ，解得 或 当 时， ；15当 时，离心率为 综上所述，椭圆 C 的离心率为 或 故选： D16 【山西省吕梁市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知椭圆 ： ，过左焦点 作斜率为 1 的直线 与 交于 ， 两点，若线段 的中垂线与 轴交于 （ 为椭圆的半焦距） ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D【答案】B【解析】设 ， ，则 中点 .直线 的方程为 ，与椭圆 联立得 ，所以 .可得 .所以 ，因为 ，即 ，所以 ， ，故选 B.17 【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019 届高三第一次联考】已知 ，
20、是椭圆与的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆交于 ， 两点，且满足 ，则该椭圆的离心率是 A B C D【答案】B【解析】16由题意可得： ， ，可得 ， ， ， ， ， ,可得 ，可得 故选 B18 【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】已知椭圆 的左右焦点分别为， 为坐标原点， 为椭圆上一点，且 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】结合题意，可知，故 ，结合 ，可知故 ，设 ，所以 ， ，所以 ，故选 D。19 【江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考】已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，直线 交于点 O 且相互垂
21、直， 与 C 交于点 ， 与 C 交于点 ，若使得 成立的直线 有且只有一对，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】设双曲线方程为 ；所以渐近线方程为17因为直线 交于点 O 且相互垂直， 与双曲线 C 交于点 ， 与 C 交于点 ， 且 使得成立的直线 有且只有一对，所以可得 ，所以 ，即 ，所以 .故选 D 20 【湖南省郴州市 2018 届高三第二次教学质量检测】设椭圆2:1xyEab( 0ab)的一个焦点2,0F点 ,1A为椭圆 E内一点,若椭圆 E上存在一点 P，使得 8AF，则椭圆 E的离心率的取值范围是（ ）A. 4,97B. 497，C. 2,
22、97D. 2,97【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为 1,0F，则 111,AFPAF 112 89aP，即 2a， 11PFA， 117FAFP，即2,97ccea，即497e，椭圆 E的离心率的取值范围是4,9，故选 A.21 【广东省珠海一中等六校 2018 届高三第三次联考】已知点 为双曲线 的右焦点，直线与 交于 两点，若 ,设 ,且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D18【解析】在 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 D22 【广东省六校 2018 届高三下学期第三次联考】已知点 为双曲线 的右焦点，直线与 交于 ， 两点，若 ，设 ，
23、且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，设双曲线的左焦点为 ，连 由于 四边形 为矩形，故在 中， ，由双曲线的定义可得， ， ， ，19 即双曲线的离心率的取值范围是 选 D23 【浙江省镇海中学 2018 届高三上学期期末】已知点 P 在以 为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点 Q 在 的延长线上，满足 ，若 ，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】满足 QF1QP，点 Q 与点 F2重合时，sinF 1PQ= ，不妨设|PF 1|=13，则|PF 2|=12可得：e= 因此 e 当点 Q 在最下端时，F 1QF2最大
24、，此时 F1QF 2Q可得点 Q 在椭圆的内部，当 b=c，e= ，因此 综上可得： 故选 C24 【福建省宁德市 2018 届高三上学期期末】已知 1F、 2分别是椭圆 C： 21(0)xyab的左、右焦点，若椭圆 上存在点 A，满足 123Aa，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A. 1,2B. 1,5C. ,5D. ,5【答案】D【解析】 1F、 2分别是椭圆 C： 21(0)xyab的左、右焦点，若椭圆 C上存在点 A，201212,3AFaAFa， 1273,5AFa， 455cce， 201,5e，当点 为右顶点时，可取等号，故选D.25.F1、 F2是椭圆 1( ab0)的左、右焦点
25、,若椭圆上存在点 P,使 F1PF290,则椭圆的离心率的x2a2 y2b2取值范围是_【答案】 e122【解析】 设 P(x0,y0)为椭圆上一点,则 1. ( c x0, y0), ( c x0, y0),x20a2 y20b2 PF1 PF2 若 F1PF290,则 x y c20. x b2(1 ) c2, x .PF1 PF2 20 20 20 x20a2 20 a2 c2 b2c20 x a2,0 1. b2 c2, a22 c2, e1.20c2 b2c2 2226.已知 P 是椭圆 1y1(0)和双曲线 21yb2(0,)ab的一个交点, 12,F是椭圆和双曲 线的公共焦点,
26、12,e分别为椭圆和双曲线的离心率, 123FP,则 12e的最大值为 【答案】23【解析】根据椭圆和双曲线的定义得： 1212,PFaPFa,1212,PFaa,设 12c, 123,由余弦定理得2121212124 osc a,化简得2214ac,变形得2134e,221133ee,所以 123e27.在平面直角坐标系中,已知点 (,)F及直线 :20lxy,曲线 1C是满足下列两个条件的动点21(,)Pxy的轨迹： 2,PFd其中 是 P到直线 l的距离； 0.25xy(1) 求曲线 1C的方程;(2) 若存在直线 m与曲线 1、椭圆2:1(0)xyCab均相切于同一点,求椭圆 2C离心
27、率 e的取值范围.【解析】 （1）222()()()4PFxyxyxy, 2xyd, 由 2,d得： 4,即 1.xy 将 代入得：150,2xx,解得： 12.x所以曲线 1C的方程为：yx().2（2）(解法一)由题 意,直线 m与曲线 1C相切,设切点为1(,)Mt, 2.t则直线 m的方程为21()()()yxtxtt,即 2.yxt将 2yxt代入椭圆 2C 的方程22bayb,并整理得：42()(4)0.batat由题意,直线 m与椭圆 2相切于点1(,Mt,则4242242416()()()0atbtabtattb,即 . 又21,tab即 242.tabt 联解得：22,.ba
28、tt22由12,t及 2ab得 1.t故241abet, 得250,16e又 0,e故15.4所以椭圆 2C离心率 的取值范围是(0,).28.椭圆 1( a b0)与直线 x y1 交于 P、 Q 两点,且 OP OQ,其中 O 为坐标原点x2a2 y2b2(1)求 的值；1a2 1b2(2)若椭圆的离心率 e 满足 e ,求椭圆长轴的取值范围33 22【解析】(1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 OP OQx1x2 y1y20, y11 x1,y21 x2,代入上式,得2x1x2( x1 x2)10.又将 y1 x 代入 1x2a2 y2b2(a2 b2)x22 a2x a2(1 b2)0. 0, x1 x2 ,x1x2 ,代入化简得 2.2a2a2 b2 a2 1 b2a2 b2 1a2 1b2(2) e2 1 , 1 .c2a2 b2a2 13 b2a2 12 12 b2a2 23又由(1)知 b2 , a2 a .a22a2 1 12 12a2 1 23 54 32 52 62长轴是 2a , 5 623
