1、1问题 23 利用方程思想求解数列问题一、考情分析数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组. 二、经验分享(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 基本
2、问题，数列 中有五个量 a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)可迎刃而解(4) 为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等 三、知识拓展在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前 n 项和公式，有时还要用到以下结论：(1)在等差数列中 an am( n m)d(n， mN *)若 k l m n(k， l， m， nN *)，则 ak al am an.若 an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d.若 an是等差数列，公差为 d，则ak， ak m， ak2 m，( k， mN *)是公差为 md 的等差数列数列 Sm， S2
3、m Sm， S3m S2m，构成等差数列(2)在等比数列中 an amqn m(n， mN *)若 an为等比数列，且 k l m n(k， l， m， nN *)，则akal aman.公比不为1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn.四、 题型分析(一) 方程思想在等差数列中的应用【例 1.】已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和若 a1 a 3， S510，则 a9的值是_ 2【分析】列出关于 a1与 d 的方程组，求出 a1与 d，再求 a9.【解析】设等差数列 an的公差为 d，由题意可得，解得Error
4、!则 a9 a18 d48320.【点评】数列的通项公式与前 n 项和的公式紧密地联系着五个基本量， “知三求二”是一类最基本的运算.2因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. Error!或Error!解得Error! 或Error! p5， q4， p q9，故选 D.【小试牛刀】 【山东济南外国语学校 2019 届 1 月模拟】已知等差数列 的公差为 成等比数列，则 的前 n 项和 ( )A B C D【答案】A【解析】等差数列 an的公差为 2， a2， a3， a6成等比数列，（ a1+4） 2（ a1+2） （ a1+10） ，解得 a11， an的前 n 项和 Sn n
5、+n2 n n22 n n（ n2） 故选 A(四) 构造一元二次方程求解数列问题【例 5】已知等差数列 na满足，则 3的取值范围是 【分析】构造关于 3的一元二次方程【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解【小试牛刀】已知数列 为正项的递增等比数列 ，记数列 的前 n 项和为 ，则使不等式 2018成立的最大正整数 n 的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】设正项的递增等比数列 an的公比为 q1， a1+a582， a2a481 a1a5，所以 15,a是方程 ，解方程得 a11， a581 q481，解得 q3 an3 n1 数列 的前 n
6、项和为3Tn2 2 2 3（1 ） 则不等式 化为：2018 1，即 3n20183 6729，3 72187使不等式 成立的最大正整数的值为 6故选 B五、迁移运用1 【山东济南 2019 届期末】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则该数列的公差为( )A-2 B2 C-3 D3【答案】B【解析】由题意可 得： 5 d25，解得 d2故选 B 2.【甘肃、青海、宁夏 2019 届期末联考】设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则A-60 B-40 C20 D40 【答案】B3.【广东揭阳 2019 届模拟】记等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且公比 ，则 =( )A-2 B2 C-8
7、D-2 或-8【答案】C【解析】依题意 ，解得 ，故 ，故选 C.4.【湖北宜昌 2019 届元 1 月调研】等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）A1 B-1 C D-2【答案】C4【解析】当 q=1 时满足 ，当 1q时，由 ，得 ，整理的 ，所以 q=-1，综上得 q= ，故选 C。5.【浙江台州 2019 届期末】已知公差不为零的等差数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则的值为（ ）A B C D【答案】A6.【山东济南 2019 届 1 月模拟】已知等差数列 的公差为 成等比数列，则 的前 n 项和 ( )A B C D【答案】A【解析】等差数列 an的公差为 2， a2，
8、a3， a6成等比数列，（ a1+4） 2（ a1+2） （ a1+10） ，解得 a1 1， an的前 n 项和 Sn n+n2 n n22 n n（ n2） 故选 A7.【黑龙江哈尔滨师大附中 2019 届期末】已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前 项和为（ ）A B C 或 D 或【答案】C【解析】设等差数列 an的公差为 d， a12，且 a1， a2， a5成等比数列 a1a5，即（2+ d） 22（2+4 d） ，整理得 40d，解得 d0 或 4 an2，或an2+4（ n1）4 n2 当 d0 时，数列 an的前 n 项和为 2n；当 d4 时，则数列
9、an的前 n 项和为 2n 2n2故选 C8.【山东济南外国语学校 2019 届 1 月模拟】 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今5有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 。这个问题中，戊所得为（ ）A 钱 B 钱 C 钱 D 钱【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d，由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即 a2d+ada+a+d+a+2d，得 a6d，又五人分五钱，则 a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5， a1，则 a+2da+2 故选 B （2） 由（1） ，则有 则 14 【山西吕梁 2019 届一模】 为等差数列 的前 项和， ， .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， 为数列 的前 项和，求证： .6
