1、1问题 22 数列与不等式的相结合问题一、考情分析数列与不等式的交汇题,是高考数学的常见题型. 对数列不等式综合题的解答,往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能,同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. 近年数列与不等式交汇题考查点：1以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇,还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等,深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想,试题新颖别致,难度相对较大. 3将数列与不等式的交汇渗透于递推数
2、列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想.数列求和是历年高考命题的热点,可以以客观题形式考查,也可以以解答题形式考查数列,公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.二、经验分享常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下 4 种：形如 1niak（ 为常数） ；形如；形如 ；形如 1niak（ 为常数）.依据-不等式的性质：（1）不等式的传递性：若 ,abc,则 a（此性质为放缩法的基础,即若要证明 ac,但 无法直接证明,则可寻找一个中间量 ,使得 ,从而将问题转化为只需证 明 bc即可）（2）等量加不等量为不等量：若 d,则,此性质可推广到多项求和：若,则:（
3、3）若需要用到乘法,则对应性质为：若,则 acb,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数常用的放缩手段：增加（或减少）某些项；增大分子（或减小分母） ；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函数的单调性.常用的放缩技巧：2（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：等差数列求和公式： , nakm（关于 n的一次函数或常值函数）等比数列 求和公式：,nnakq（关于 的指数类函数）错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧
4、：在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是 向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩.从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：裂项相消：在放缩时,所构造的通项公式要具备“
5、依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）等比数列：所面对的问题通常为“ nS常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足 0,1q,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,常数可视为1a的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可.例如常数12=34,即可猜想该等比数列的首项为12,公比为 4,即通项公式为124n.注：此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,3受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等
6、式问题：此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即或（累乘时要求不等式两侧均为正数）,然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 na,另一侧为求和的结果,进而完成证明三、知识拓展常见的放缩变形：（1）,其中 2,nN：可称 21n为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注：对于 2,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如：,这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的,如：（2）,从而有：注
7、：对于 n还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系. （4）可推广为：同类放缩常见的有：（1）或（2）；（3）或；（4）或（平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型）4（5）12nn或、（指数型可放缩为等比模型）（6）；（7）；（8） （奇偶型放缩为可求积）.补充：一般地,形如nab或nab(这里 1a)的数列,在证明（ k为常数）时都可以提取出 na利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.四、题型分析 (一) 最值问题求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有：（1）建立
8、目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.【例 1】设等差数列 na的前 项和为 nS,若 104, 5S, 则 4a的最大值为_.【分析】根据条件将前 4 项与前 5 项和的不等关系转化为关于首项 1与公差 d的不等式,然后利用此不等关系确定公差 d的范围,由此可确定 4a的最大值. （3）由题意可知，设 在数列 中的项为 ，则由题意可知， ，所以当 时， ，设 ，易解得 ，当 时， ， ，因为 ，且 ，所以当 时， .【点评】解决数列恒成立问题一般会涉及到基本不等式及数列单调性.【小试牛刀】 【
9、广东省华南师范大学附属中学 2018 届高三综合测试】等比数列 的前 项和（ 为常数）,若 恒成立,则实数 的最大值是（ ）A. B. C. D. 5【答案】C(三) 证明问题此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法,特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析；（3）放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例 3】设数列 na满足 01, ,其中 c为实数.（）证明： ,对任意 N成立的充分必要条件是 10；()设 30c,证明： ； （）设1,证明： .【分析】第（）小题可考虑用数学归纳法证明； 第 (
10、)小题可利用综合法结合不等关系的迭代； 第 （）小题利用不等式的传递性转化等比数列,然后利用前 n项和求和,再进行适当放缩. （）当 2na时, nS. 显然 ,此时不存在正整数 ,使得 成立. 200903186当 42na时, . 令 ,即 , 解得 0或 1（舍去）,此时存在正整数 n,使得 成立, n的最小值为 41. 综上,当 2a时,不存在满足题意的 ；当 4n时,存在满足题意的 ,其最小值为41. 【点评】本题 n的表示式有两种,需要对着两种情况讨论,再确定是否存在满足题意的 n. 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的知识求解；
11、数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 3 【江西省名校学术联盟 2019 届高三年级教学质量检测】若不等式 对任意恒成立，则实数 的取值范围为A B C D【答案】D【解析】当 n 为偶数时，由 恒成立，得 恒成立，由 ,所以 ，当 n 为奇数时，由 恒成立，得 恒成立，由 ，所以 ，即 ，综上可得实数 a 的取值范围为 .故选 D.4 【山东省泰安市 2019 届高三上学期期中】设等比数列 的公比为 q，其前 n 项积为 ，并且满足条件， ， 给出下列结论： ， ， 的最大值为 ，其中正确结论的个数为 7A3 B2 C1
12、D0【答案】B5 【安徽省宿州市 2018 届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列 na中, 761,若它的前 n项和 nS有最大值,则当 0nS时, 的最大值为（ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】A【解析】数列 na为等差数列,若761a,则760a,可得 d60, 760, 7, 1S, 2则当 0nS时, 的最大值为 1,故选 A 9已知数列 na的通项公式 ,若对任意 恒成立,则 a的取值范围是_【答案】 3,510 【山西省太原市 2018 届高三 3 月模拟】数列 中, ,若数列8满足 ,则数列 的最大项为第_项【答案】6【解析】因为 ,所以根据叠加法得
13、 ,所以 当 时, ,当 时, ,因此数列 的最大项为第 6 项.11 【甘肃省 2018 届高三第一次诊断性考试】已知数列 满足 , ,则 的最小值为_【答案】12 【广西陆川县中学 2018 届高三开学考试】已知函数 ,点 O 为坐标原点, 点 ,向量 i=(0,1), 是向量 与 i 的夹角,则使得 恒成立的实数 t 的取值范围为_.【答案】【解析】根据题意得, n是直线 OAn的倾斜角,9 =tan（ n）= = = 要使 恒成立,则实数 t 的取值范围是 t 故答案为：t 13 【天一大联考 20172018 学年高中毕业班阶段性测试（四） 】已知等差数列 na的通项公式为 na,前
14、 n项 和为 nS,若不等式 恒成立,则 M的最小值为_【答案】625914 【江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中】己知实数 x， y， z 0，4，如果 x2， y2， z2是公差为 2 的等差数列，则 的最小值为_【答案】42【解析】由于数列是递增的等差数列，故 ，且 ，故 ，而函数 在 上为增函数，故当 时取得10最大值为 ，所以 . 令 ，则 ，即 ，因为 ， ，依据指数增长性质，整数 的最小值是 11. 16 【浙江省台州市 2019 届高三上学期期末】在数列 中， ， ，且对任意 的 N*，都有.（）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 N*都有 ，求实数 的取值范围.11
