1、1问题 20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享(1) 已知 Sn，求 an的步骤当 n1 时， a1 S1；当 n2 时， an Sn Sn1 ；(3)对 n1 时的情况进行检验，若适合 n2 的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式 整理得：，（叠乘法）因为，所以321a， 432， 12na，相乘得 2na，且当 n=1 、2 时，
2、满足此式，所以.2(三) 用构造法求数列的通项【例 3】 【江苏省泰州中学 2018 届高三 12 月月考 2】已知数列 na满足： 1， （ *nN） ，则数列na的通项公式为_【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】12na【解析】由得： ，变形得：，所以1na是以 2 为公比的等比数列，所以，所以12na.【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前 3 项,就猜想出 n.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列 nba， 满足 21, nba, ,
3、 Nn,则 2015b 3【答案】20156(四) 利用 nS与 a的关系求数列的通项【例 4】已知数列 n的前 项和为 nS, （1）求 na的通项公式；（2）设 ,数列 nb的前 项和为 nT,证明： 【分析】 （1）已知和 nS与项 a的关系,要求通项公式,可在已知 （ 2n）基础上,用n代 （ 3）,得 ,两式相减得 na（ 2）的递推式,求得 a,注意 1的值与 na的表达式的关系；（2）由（1） nb是分段函数形式, 时, ,考虑到证明和 nT70,因此可放缩以求和 ,从而得 ,可证得不等式 又由 ,于是 故 .【小试牛刀】已知数列 an前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an-2
4、n(nN*)（I）证明： an+2是等比数列,并求 an的通项公式； （）数列 bn满足 bn=log2(an+2),Tn为数列 1nb的前 n 项和,若 nTa对正整数 a 都成立,求 a 的取值范围【答案】() ；（） 2a.4（）因为 ,所以 , 依题意得： 21a五、迁移运用1 【安徽省 2019 届高三上学期第二次联考】设 是数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A B C D【答案】A52.【福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检】1 【2017 学年辽宁东北育才学校段考】设各项均为正数的数列 na 的前 项和为 nS ,且满足 则数列 na的通项公式是（ ）A 32n B 43
5、na C 21na D 21na 【答案】A【解析】由满足 因式分解可得：, 数列 na 的各项均为正数, ,当 1n 时, 123a ,解得 1a 当 2n 时, ,当 时,上式成立 32n 故选 A3 【福建省漳州市 2019 届高三第一次教学质量检查】已知数列 和 首项均为 1，且 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A2019 B C D【答案】D【解析】由 ， 可得： ，即数列 是常数列，又数列 首项为 1，所以 ，所以 可化为 ，因 为数列 的前 项和，所以， 6 【湖北省鄂州市 2019 届高三上学期期中】已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且，则 （ ）A B C D6
6、【答案】A7.已知数列 ,nab满足 ,则 2017b_.【答案】20178【解析】 nab, 12, 1b, ,12nnb, ,又12b, 1数列 n是以2 为首项,1 为公差的等差数列, , 1nb则 故答案为：201788若数列 na满足 ,则 na（ ）A.21B.2C.23nD.123【答案】A【解析】1na为等差数列, , 7, , .9 【福建省莆田市 2018 届高三下学期教学质量检测】已知数列 满足 ， ，则_【答案】10 【上海市长宁、嘉定区 2018 届高三第一 次质量调研】已知数列 na的前 项和为 nS，且 1a,12nSa（ *N） ，若 ,则数列 b的前 项和 n
7、T_.【答案】1n或 811 【吉林省长春市普通高中 2018 届高三质量监测】在数列 中， ，且对任意 ，成等差数列，其公差为 ，则 _.【解析】因为 ，且对任意 ， 成等差数列，其公差为 ，所以 当时,可得，当 时，,所以 ,故答案为 . 由不等式 恒成立,得273nk恒成立,设27nd,由 1nd ,当 4时, ,当 4时, 1nd,而 416d, 532, 45,932k,115.已知数列 na的前 项和 nnaS1,其中 N.（I）求 的通项公式； （II）若 nb,求 的前 项和 n.【答案】 （I） na)21(（II）（II）由（I）可得,16.已知数列 na的各项都不为零,其
8、前 n项为 nS,且满足： （1）若 0,求数列 n的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列 na,使得 ？若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,请说明理由【答案】 （1） na；（2）详见解析.1017.【山东省淄博市 2018 届高三 3 月模拟】已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 【解析】 （1）由已知 且 ，得 ， 是首项为 4，公差为 3 的等差数列， 通项公式为 ；（2）由（1）知 ，得： ， ，因此 是首项为 、公比为的等比数列，则 18 【河南省南阳市 2018 届高三上学期期末】已知数列 的前 项和为 ，且满足 （11） （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 （2）由（1）得 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， 为偶数， 所以数列 的前 项和
