1、1问题 15 平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最 值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解 .如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷 .1.平面向量线性运算问
2、题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考 的又一 热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处 .解决此类问题的常用方法是：利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用求解(较难)；建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果 .3坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以
3、使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.三、知识拓展1.2 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量 a和 b,它们的夹角为 ,把数量 cosab叫做 a和 b的数量积(或内积),记作 ab.即 ab= cos,规定 0,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即= cs；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a( x1,y1),b( x2,y2),则 ab x1x2 y1y2；（3
4、）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运2算【例 1】在边长为 2 的等边三角形 ABC中, D是 的中点, E为线段 AC上一动点,则 EDB的取值范围为 【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量 ,分别表示,结合已知条件设| | x（ 02）,将EDB用变量 x表示,进而转化为二次函数的值域问题 ca表 示 点 A,C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 A（ 4,0） 的 距 离 ； 圆 心 到 B 的 距 离 为 ,的 最 大 值 为 12,故 选 ： D【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几
5、何意义是解题关键【小试牛刀】 【浙江省嘉兴市 2019 届高三第一学期期末】已知向量 ， 满足 ，则 的取值范围是A B C D【答案】D【解析】设点 M 为平面中任意一点，点 是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点 M 的轨迹是以 为焦点的椭圆，方程为 . ,即 .故答案为 D.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设 1,)axy, 2(,)bxy,且 ab的夹角为 ,则【例 3】已知向量OA与 B的夹角为 , 0t在 时取得最小值,当 015t时,夹角 的取值范围为（ ）A. ,3 B. ,32 C. 2,3 D. 20,3【分析】将 PQ表示为变量 t的二次函数 PQ
6、,转化为求二次函数的最3小值问题,当 时,取最小值,由已知条件 015t,得关于夹角 的不等式,解不等式得解【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解【小试牛刀】已知非零向量 ,ab满足 2 ,若函数 在 R 上存在极值,则 a和 b夹角的取值范围为（ ）A. 0,6 B. ,3 C. ,3 D. ,3【答案】B【解析】 ,设 a和 b夹角为 ,因为 fx有极值,所以 ,即,即 1cos2,所以 ,3 3 【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末】中， ，点 是
7、内（包括边界）的一动点，且 ，则 的最大值是（ ）A B C D【答案】C44 【安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测】如图， 在 中， ， , 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为 ( ) A B C D【答案】B5则（当且仅当 即 时取“=” ）.故 的最小值为 .5 【四川省攀枝花市 2019 届高三第一次统一考试】在四边形 中,已知 是 边上的点,且, ,若点 在线段 (端点 除外)上运动,则 的取值范围是( )A B C D【答案】C66 【2018 届浙江省台州市高三上学期期末】已知 m, n是两个非零向量,且 1m, 23n,则mn的最大值为A. 5 B.
8、 10 C. 4 D. 5【答案】B【解析】, ,25n, ,令,则 ,令 0fx,得 1,2当时, 0fx,当 时, 0fx, 当 时, fx取得最大值,故选 B. 7 【2018 届安徽省淮南市高三第一次（2 月）模拟】已知 G是 ABC的重心,过点 G作直线 MN与 AB, AC交于点 ,MN,且 AxB, NyAC, 0x,则 3xy的最小值是( )7A. 83 B. 72 C. 5 D. 423【答案】D【解析】令 故 故 当且仅当 等号成立,故选 D8.【2018 上海市杨浦区高三数学一模】设 A、 B、 C、 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足0ABC, , ,用 1S、
9、 2、 3分别表示 ABC、 D、 AB的面积,则 123S的最大值是（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】B89 【2018 届河北省定州中学高中毕业班 上学期期中】设向量 ,abc满足 2b, 2ab, ,则 c的最大值等于（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】由 2ab, 2ab, ,可得,如图所示,设 则, A,O,B,C 四点共圆, 23AB,由三角形的正弦定理得外接圆的直径 ,当 OC 为直径时,它的模 c最大,最大为 4,故选 A. 12.【2018 届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量 ,ab夹角为 3, 2b,对任意 xR,有,则 的最
10、小值是_【答案】 729【解析】,表示 ,0Pt与 的距离之和的 2倍,当 ,MPN共线时,取得最小值 2MN,即有 ,故答案为 7.13 【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】在矩形 ABCD中, 3, 1A,若 M, N分别在边BC, D上运动（包括端点,且满足 ,则 MN的取值范围是_【答案】1,91014.【2018 届安徽省蒙城“五校”联考】在 ABC中,点 D在线段 BC的延长线上,且 12BCD,点 O在线段 CD上（与点 ,不重合）,若 ,则 x的取值范围是_ 【答案】 2,0【解析】 因为 ,因为 12BC,点 O在线段 CD上,所以 0y, 因为 ,所以 2,0x.15 【江苏省苏州市 2019 届高三上学期期末】如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M，N 分别是边 BC，CD上的两个动点，且 BMDNMN，则 的最小值是_ 【答案】又由 ，设 ，整理得 ，解得 ，11所以 ，所以 的最小值为 .
