1、1问题 13 高考数学解三角形解答题大盘点一、考情分析解三角形的解答题是高考热点，一般在 17 题的位置上，考试热点是求三角形中的元素及面积与周长问题，常与正弦定理、余弦定理及三角变换结合在一起考查.二、经验分享(1) 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用 A B C 这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状(2)要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为 60；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内
2、角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin Asin( B C)，cos Acos( B C)，sin cos ，sin2 Asin2( B C)，cos2 Acos2( B C)等 A2 B C2【小试牛刀】 【福建省龙岩市 2018-2019 学年第一学期期末】在 中，内角 的对边分别为 ，且.（1）求 的值；（2）若 ，求 的周长的最大值.【解析】 （1）由正弦定理得：，即，所以，由于 ，所以 .(三)求周长或周长范围 【例 3】 【福建省宁德市 2018-2019 学年度第一学期期末】 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知.（）求 ；（）若 ，且 的面积为 ，求 的周长.【分析
3、】解法一：（I）运用正弦定理和正弦两角和公式，处理式子，计算 B 的 大小，即可。 （II）结合三角形面积计算公式，得到 的大小，运用余弦定理，计算 b，即可。解法二：（I）运用余弦定理，处理原式，计算角 B 的大小，即可（II）结合三角形面积计算公式，计算 ac 的值，结合已知条件，计算 a,c 的大小，结合余弦定理，得到 b 的大小，计算周长，即可。【解析】2解法一：（）在 中，得， 即， ， ， ， ， . 【解析】 （1）由余弦定理，得：，所以 ，由正弦定理，得： ，则.【点评】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般
4、地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 【小试牛刀】 【上海市静安区 2019 届高三上学期期末质量检测】如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为 620， AC 的长为 1.40 米，计算 BC 的长（结果保留 3 个有效数字，单位:米） 3【解析】根据题意，在 ABC 中， ， BAC=66O20/，由余弦定理，得 计算得： .
5、 . 答：顶杆 BC 约长 1.89 米五、迁移运用1 【湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知 的内角 所对的边分别为 ，且 . （1）若 ，角 ，求角 的值；（2）若 的面积 ， ，求 的值.2 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】在 中，设 分别为角 的对边，记 的面积为 ，且 （1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值【解析】 （1）由 ， 得 ,因为 ，所以 ，（2） 中， ，所以 ，所以4由正弦定理 ，得 ，解得3 【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调研】已知函数 .（1）求函数 的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知 的内角 、 、 所
6、对的边分别为 、 、 ，若 ， ， ，求 的面积. 【解析】 （1），即函数最小正周期为 由 得 ， 故所求单调递增区间为 . 由正弦定理得 ， ， 又 ， ， . （2）设 ，则 ，由余弦定理得 ， 即 ， ， .5 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】在 中，角 所对的边分别为 ，且（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 ，求边 56 【广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试】在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 ，且 ，（1）求 ；（2）当函数 取得最大值时，试判断 的 形状【解析】 （1）由正弦定理 得 ，又 , ,即 ， .（2） , ,当 时，函数
7、 取得最大值， 是 直角三角形.7 【陕西省榆林市 2019 届高考模拟第一次测试】在 中，角 的对边分别为 ，且.6（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的值.（2） ， ， ，78 【2019 年上海市普陀区一模】在 中，三个内角 A， B， C 所对的边依次为 a， b， c，且 求 的值；设 ，求 的取值范围【解析】 ，又 C 为三角形内角， （2）由正弦定理得， ， ， ， .10 【福建省厦门市 2019 届高三年级第一学期期末】在 中，角 所对的边分别为 ，且8.（1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积11 【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟】在 中，内角 ， ， 所
8、对的边分别为 ， ， ，且 .（）求角 ； （）若 ，求 面积的最大值.【解析】 （）由已知及正弦定理得： ， ， ， ， .（） 的面积 ，由 及余弦定理得 ，又 ，故 ，当且仅当 时，等号成立. 面积的最大值为 . 12 【四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月)诊断】ABC 的内角 ABC 的对边分别为 a，b，c，己知b（ casinC） 。9（1)求角 A 的大小；(2）若 bc ， ，求ABC 的面积。13 【四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月)诊断】ABC 的内角 ABC 的对边分别为 a，b，c，己知b（c asinC） 。（1)求角 A 的大小；(2）设 b=
9、c，N 是ABC 所在平面上一点，且与 A 点分别位于直线 BC 的两侧，如图，若 BN=4，CN=2，求四边形 ABNC 面积的最大值【解析】 （1） ， cbcosA=b(c-asinC)，即 ccosA=c-asinC 由正弦定理得 sinCcosA=sinC-sinAsinC， sin C 0， cosA=1-sinA，即 sinA+ cosA=1 sinA+ cosA= ，即 sin(A+ )= 0 A , A+ = ，即 A= 1014 【北京市朝阳区 2018-2019 高三数学期末】在 中， 已知 ，（1）求 的长；（2）求 边上的中线 的长.【解析】 （1）由 ， ，所以 .由正弦定理得， ，即 . （2）在 中， .由余弦定理得， , 15 【河南省郑州市 2019 届高中毕业年级第一次（1 月)质量预测】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，已知 的面积为 ，且满足 .（1）求 ；（2）若 ， ，求 的周长.【解析】 （1）由三角形的面积公式可得 ，由正弦定理可得 ， ， ；11
