1、1问题 10 应用三角公式化简求值的技巧问题一、考情分析三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.二、经验分享(1) 利用 sin2 cos 2 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化,利用 tan 可以实现角 的弦sin cos 切互化应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ,sin cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )212sin cos ,可以知一求二 (二)
2、函数变换,乃是重点三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.【例 2】若, ,则 【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.【点评】(1)利用 sin2 cos 2 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化,利用 tan 可以实现角sincos 的弦切互化(2)形如 asin bcos 和 asin2 bsin cos ccos2 的式子分别称为关于 sin ,cos 的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cos
3、 或 cos2 )求解 如果分母为 1,可考虑将 1 写成 sin2 cos 2 .(3)已知 tan m 的条件下,求解关于 sin ,cos 的齐次式问题,必须注意以下几点：一定是关于 sin ,cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式 因为cos 0,所以可以用 cosn (n N*)除之,这样可以将被求式化为关于 tan 的表示式,可整体代入tan m 的值,从而完成被求式的求值运算 注意 1sin 2 cos 2 的运用 【小试牛刀】设且则( )A.32 B.32C. D.【答案】C2(三) 常数化角,曲径通幽三角公式中有不少常数,如 1、 3、 2等,在三角变换中,若能巧妙利
4、用它们与三角函 数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.【例 3】 【广东省惠州市 2019 届高三第三次调研】函数在 内的值域为 ，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【分析】先将 转化为正弦型或余弦型函数，再由自变量的取值范围和值域限定 的取值范围。【解析】函数当 时， ，则解得 ，故 的取值范围为 。故选【小试牛刀】若 0,2,且（ ）A 12 B 3 C 14 D 5【答案】B【解析】因为, ,所以,即所以(四) 降幂化一,热点不断三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是
5、解决问题的重要途径.【例 4】 【2018 届晋豫省际 12 月大联考 】定义在 R 上的函数 ,其中0a,且当 ,2x时, .（1）求 a,b 的值；（2）若将 yfx的图像沿 轴向左平移 4个单位,得到函数 ygx的图像,令 ,求hx的最大值.3【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论（2）由（1）得将 yfx的图像沿 轴向左平移 4个单位,得到函数 ygx的图像 hx的最大值为 2 六、公式变用,柳暗花明三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cos sin
6、2,tan tan tan( )(1tantan )等.【例 6】 的值为( )A. 3 B. 3 C.3 D. 3【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从 105060入手,然后注意表达式特征,其中的4tan10 tan50和 tan10tan50在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.【答案】B.【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思
7、维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法 【小试牛刀】 的值是 （ ）A1 B 3 C2 D 13 【答案】C【解析】 = = ,故选 C五、迁移运用1 【广东省惠州市 2019 届高三第三次调研】已知 ， ，则 （ ）A B C D【答 案】D【解析】由 得 ,所以 ， ，所以 ,故选 D. 10【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角 满足 ,则sinco等于（ ）5A. 14 B. C. 24 D. 24【答案】A11.4cos 50 tan 40( )A. B. C. D2 122 32 3 2【答案】 C【解析】4 cos 50 tan 404 co
8、s 50 sin 40cos 404sin 40cos 40cos 40 sin 40cos 402sin 80 sin 40cos 40 2cos 10 sin 40cos 40 2cos 10 sin 30 10cos 40 32cos 10 32sin 10cos 40 3 cos 30cos 10 sin 30sin 10cos 40 3cos 40cos 40 312.【2018 届广西玉林市高三期中】已知 ,则 _.【答案】 2613 【2018 上海市杨浦区高三数学一模】已知函数 , xR,设 0a,若函数 为奇函数,则 的值为_【答案】【解析】函数 为奇函数 为奇函数,则 0a
9、 故答案为714.函数 的减区间是 【答案】【解析】 ,由()kZ,得 ,所以函数 ()fx的减区间是15已知 ,则 【答案】 116.已知 ,求下列各式的值.（1） ；（2） .【答案】 （1） 6；（2） 85 【解析】 （1） , ,即 ,则原式 .8（2） ,即 tan2,原式 .17.已知函数 （1）求函数 ()fx的最小正周期与单调递增区间；（2）若 时,函数 ()fx的最大值为 0,求实数 m的值【答案】 （1） T；（2） 1m.18.已知函数 (其中 0)的最小正周期为 () 求 的值；() 将函数 ()yfx的图象向左平移 6个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g的图象求函数 ()gx在 ， 上零点【答案】() ；() 6和 【解析】() 9由最小正周期 2T,得 () 由()知 ,将函数 ()fx的图象向左平移 6个单位,得到图象的解析式 ,将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 由 ,得 6xk,故当 x， 时,函数 ()g的零点为 和 619 已知 cos ,cos ,且 0 .17 ( ) 1314 2(1)求 tan2 的值；(2)求 的值 10
