1、1问题 08 形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题二、经验分享(1) 函数 y f(x)在点 x0处的导数的几何意义,就是曲线 y f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 k,即k f( x0)(2)已知切点 A(x0,f(x0)求斜率 k,即求该点处的导数值： k f( x0)(2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1),即解方程 f( x1) k.(3)若求过点 P(x0,y0)
2、的切线方程,可设切点为( x1,y1),由求解即可(4)函数图象在 每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 【小试牛刀】 【2018 届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数（）若 fx在 2处取极值,求 fx在点 1,f处的切线方程；（）当 0a时,若 f有唯一的零点 0,求证： 0.x【答案】 （）；（）见解析.（）由（）知 0x,令,则由,可得 6axg在 0,上单调递减,在 ,6a上单调递增.又,故当时, x；又,故 g在 1,上有唯一零点,设为 1x,从而可知 fx在 0上单调递减,在 上单调递增,2因为 f
3、x有唯一零点 0x,故 10且 (三)两曲线的公切线【例 3】若存在过点(1,0)的直线与曲 线 3yx和都相切,则 a等于( )A. 1或 2564 B. 1或 24 C. 74或 256 D. 74或【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线 3yx入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出 a的值.【答案】A【点评】 （1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与 求 a的过程中,由于曲线 为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解
4、析几何的方法,切线即联立方程后的 0来求解,减少了运算量.通过例 7,例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】 【2019 届安徽省皖中名校联盟 10 月联考】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _【答案】0 或 1(四) 曲线条数的确定【例 4】已知函数 ,若过点 1,Pt存在 3 条直线与曲线 yfx相切,求 t的取值范围【分析】由于并不知道 3 条切线中是否存在以 为切点的切 线,所以考虑先设切点 0y,切线斜率为 k
5、,则3满足 ,所以切线方程为 ,即,代入 1,Pt化简可得： ,所以若存在 3 条切线,则等价于方程 有三个解,即 y与 有三个不同交点,数形结合即可解决 【解析】设切点坐标 0,xy,切线斜率为 k,则有： 切线方程为：因为切线过 1,Pt,所以将 1,t代入直线方程可得：所以问题等价于方程 ,令即直线 yt与 有三个不同交点令 0gx解得 1x 所以 gx在 单调递减,在 0,1单调递增所以若有三个交点,则 3,t 所以当 3,1t时,过点 Pt存在 3 条直线与曲线 yfx相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点 ,Ptf,由已知条件整理出关于 t的方程,可把问
6、题转化为关于 t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】 【2019 届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学 2019 届高三第一次联考】已知过点作曲线 的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 4【答案】A【解析】设切点为 ， ， ，则切线方程为：，切线过点 代入得： ，即方程 有两个解，则有 或 .故答案为:A. 5 【2018 届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数 fx是偶函数,当 0x时, ,则曲线 yfx在点 1,f处切线的斜率为（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6 【2018 届河南省天一大联考】已知 fx是定义在 R上的单调函数,
7、满足 ,则 fx在0,f处的切线方程为（ ）A. 1yx B. 1yx C. 1yx D. 1yx【答案】A【解析】由题意可得 xfe为一固定的数,设 ,则有 fa.由 可得,当 a时,有 ,解得 0a. xe, xfe.,又 .曲线 fx在 f处的切线方程为 y1,即 1y.选 A.7 【2018 届河南省南阳高中三年级期中】已知 12,P为曲线 :lnCyx（ 0且 x）上的两点,分别过 12,P作曲线 C的切线交 y轴于 ,MN两点,若 ,则 MN（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】B58 【2018 届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点 P为函数 与图象的公共点,以 为切点可
8、作直线 l与两曲线都相切,则实数 b的最大值为（ ）A. 342eB. 34eC. 23eD. 234e【答案】D【解析】设 yfx与 在公共点 0,Pxy处的切线相同,由题意 ,即,由 得 0xa或 03（舍去）,即有 ,令 ,则 ,于是当 ,即130te时, 0ht；当 ,即13te时, 0ht,故 t在130,e为增函数,在13,为减函数,于是 t在 ,的最大值为 ,故 b的最大值为6234e,故选 D.9 【2018 届湖北省宜昌高三月考】过点 A(2,1)作曲线 的切线最多有( )A. 3 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 0 条【来源】数学（理）试题【答案】A10 【2018
9、届四川宜宾市高三（上）测试】设函数 与 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数 b的最大值为 A. 21e B. 2e C. 213e D. 24e【答案】A【解析】 由题意 ,可得 ,由(1)得 ,解得 0xa或 013 (舍去),代入(2)得, ,构造,则 hx在 10,e上单调递减,在 1,e上单调递增,即 bhx的最小值为 ,所以 b的最大值为 2,故选 A.11 【2018 届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数 的图像为曲线 C,若曲线 存在与直线 12yx 垂直的切线,则实数 m的取值范围是 （ ）A. m B. C. 12 D. 12【答案】A7【解析】 曲线 C 存在与直
10、线 12yx 垂直的切线, 成立, 故选 A 16.已知函数 （ ,abR）, 2gx.（1）若 a,曲线 yfx在点 1f处的切线与 y轴垂直,求 b的值； （2）若 b,试探究函数 与 g的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究 a值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数 fx与 g的图象在其公共点 0,xy处存在公切线, b, , , 2gx,由 得 ,即 , ,故 02ax.函数 fx的定义域为 ,当 0a时, ,函数 fx与 g的图象在其公共点处不存在公切线；8当 1t时, ln0t, ,由函数图象的性质可得 lnyt和21t的图象有且只有两个公共点（且均符合）,方程 有且 只有两个根.综上,当 0a时,函数 fx与 g的图象在其公共点处不存在公切线；当 0a时,函数 fx与gx的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的 a的值有且仅有两个. 9
