1、1问题 07 函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数 【点评】本题考查了分段
2、函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式： |ba对 ,R是恒成立的 .特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小 试牛刀】 【2018 届湖南衡阳高三 12 月联考】已知函数,若恰好存在 3 个整数 x,使得成立,则满足条件的整数 a的个数为 （ ）A. 34 B. 33 C. 32 D. 25【答案】A【解析】画出 fx的函数图象如图所示：2(三) 函数、方程和不等
3、式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例 3】已知函数,其中 m,a 均为实数(1)求 ()gx的极值；(2)设 1,0ma,若对任意的 12,3,4x12()x,恒成立,求 a的最小值；(3)设 2,若对任意给定的 0(
4、,e,在区间 0e上总存在 12,()tt,使得成立,求 m的取值范围【分析】(1)求 ()gx的极值,就是先求出 ()gx,解方程 )0gx,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定 ()fx在 3,4上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数 ()gx在 3,4上也是增函数,不妨设 21,这样题设绝对值不等式可变为 2()fx1()fx2g1(),整理为 ,由此函数 在区间3,4上为减函数,则 在（3,4）上恒成立,要求 a的取值范围采取分离参数法得 恒成立,于是问题转化为求 在
5、3,4上的最大值；（3）由于 0x的任意性,我们可先求出 ()gx在 0,e上的值域 (0,1,题设“在区间 (0e上总存在 12,()tt,使得 1()ft2()ft0成立”,转化为函数 ()fx在区间 (,e上不是单调函数,极值点为 m（e）,其次()1fe,极小值2()fm,最后还要证明在20,)m上,存在 t,使 ()1ft,由此可求出 的范围.【解析】 （1） ,令 ()gx,得 x = 1 3【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等
6、式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】 【2017 中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在 0,的函数 ,若关于 x的方程 有且只有 3个不同的实数根,则实数 t的取值集合是 【答案】五、迁移运用1 【2019 届广东省汕头高三上学期第二次联考】设函数 是定义
7、在 上周期为 的函数，且对任意的实数，恒 ，当 时， 若 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C【解析】42 【2019 届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中,如果相异两点 都在函数y=f(x)的图象上,那么称 为函数 的一对关于原点成中心对称的点( 与 为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )A 对 B 对 C 对 D 对【答案】C【解析】5因为 关于原点对称的函数解析式为 ,所以函数 的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是 与为 图象交点个数，同一坐标系内，画出 与 图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有 5 个， 的图象
8、上关于原点成中心对称的点有 5 组，故选 C.3 【2019 届山东省济南高三 11 月调研】已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B4 【2018 届安徽省芜湖市高三一模】已知 函数 ，若方程 恰有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为 ，作图，由 与 相切 得，由 与 相切得设切点， 如图可得实数 的取值范围是 ，6选 B.5 【2018 届湖北省襄阳市高三 1 月调研】已知定义在 上的函数 ，当 时，且对于任意的实数 ，都有 ，若函数有且只有三个零点，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答
9、案】B【解析】由图可知 ,选 B. 13.【河北石家庄 2017 届高三上学期第一次质检,10】已知函数 ,则 的解集为（ ）7A B C. 1ln2, D 1,ln2【答案】B【解析】因为当 1x时, ；当 x时, ,所以 ,等价于()fx,即 2e,解得 ln2,所以 的解集为 ,故 选 B14.【2017 江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数 （ aR,e为自然对数的底数）,若曲线 siyx上存在一点 0(,)xy使得 ,则 的取值范围是 【答案】 1,e【解析】由题设 及函数的解析式可知 ,所以 10y由题意问题转化为“存在 1,0x,使得 有解”,即 在 有解,令 ,则
10、,当 时,函数 是增函数；所以 10x,当 ,即 exh)(.所以 1e,故应填答案 ,e.15 【2019 届天津市三校联考】已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】816 【2019 届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数 在 上连续，对任意 都有；在 中任意取两个不相等的实数 ，都有 恒成立；若 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由 可知函数 关于直线 对称；在 中任意取两个不相等的实数 ，都有 恒成立；可知函数 在区间 上单调递减，由对称性可知函数 在区间 上单调递增，不妨设 ，则由 可得，整理得 ，即 ，解得 或 ，所以实数 的取值范
11、围是 19.定 义 在 上 的 函 数 ()fx及 二 次 函 数 ()gx满 足 ： ,且 ()gx的最小值是 1（ ） 求 ()fx和 的 解 析 式 ；（ ） 若 对 于 12,均 有 成 立 ,求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ ） 设 讨 论 方 程 的 解 的 个 数 情 况 【答案】 （） ,（） (,4（）三 个 解 9（）设 , ,依 题 意 知 ： 当 12x时 , , ()Fx在 1,2上 单 调 递 增 ,解 得 4a, 实 数 a的 取 值 范 围 是 (； （）图像解法： )x的 图 象 如 图 所 示 ： 令 ()Tx,则 1T而 ()1x有 两 个 解 ,
12、()1xe有 个 解 有 3个 解 10（ 2） 若 ,则 或 , ；若 ,则 或由 解 得 ,而 无 解综 上 所 述 ,方 程 共 有 三 个 解 20.已知函数 （1）讨论 的单调性；fx（2）证明：当 时, ；01（3）若函数 有两个零点 , ,比较 与 的大小,并证明你的结论.fx1x212+xf0【答案】 （1） a时,f（x）在 上递增, 上递减, 上递增； 1a时,f（x）在(0)a()a， (1,)上递增； 时,f（x）在 上递增, 上递减, 上递增； 时,(0,)(1)()， ,0f（x）在 上递增,在 上递减；（2）见解析；（3） (1)(,)11综上所述： 时,f（x）
13、在 上递增, 上递减, 上递增；1a1(0)a1()a， (,)时,f（x）在 上递增；(,)时,f（x）在 上递增, 上递减, 上递增；10a(01)1()a， 1(,)a时,f（x）在 上递增,在 上递减；,（2）设 在 上单调递减()gx(0,1) 得证 22.【2018 届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数 ,其中 0a.12(1)若直线 ym与函数 fx的图象在 0,2上只有一个交点,求 m的取值范围；(2)若 fxa对 R恒成立,求实数 a的取值范围.(2)当 0x时, , 0a,令 0fx得 1；令 f得 10x, f递增；令 x得 , 递减, f在 1处取得极小值,且极小值为 , 0a,20e,当 即 2ea时, , 2a,即 ,无解,当 即时, , ,即 2ea,又 2e, 2ea,综上, .13
