1、1问题 06 如何利用导数处理参数范围问题一、考情分析导数是研究函数图象和性质的重要工具,有关导数问题是每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实
2、例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助.二、经验分享(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为 0 的点和函数的间断点(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题(4)求函数 f(x)极值的步骤确定函数的定义域；求导数 f( x)；解方程 f( x)0,求出函数定义域内的所有根；列表检验 f( x)在 f( x)0 的根 x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0处取极小值(5)若函数 y f(x)在区间( a,b)
3、内有极值,那么 y f(x)在( a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值(6)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略三、知识拓展(1)个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性,如 f(x) x3,f( x)3 x20( f( x)0 在 x0 时取到),f(x)在 R 上是增函数(2)利用集合间的包含关系处理： y f(x)在( a,b)上单调,则区间
4、( a,b)是相应单调区间的子集2(3) f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a,b)都有 f( x)0 且在( a,b)内的任一非空子区间上f( x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解(4)研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据图象判断函数的零点个数四、题型分析(一) 与函数单调性有关的类型用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用,相关结论是：若 fx函数在区间 (a， b)上可导,则在区间 (a， b)上 fx递增()0fx； fx递减()f
5、0.根据函数单调性求参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,一般步骤是：首先求出 )(xf后,若能因式分解则先因式分解,讨论 )(xf=0 两根的大小判断函数 )(xf的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.【例 1】已知函数 f(x)e xlnx aex(aR),若 f(x)在(0,)上是单调函数,求实数 a 的取值范围【分析】利用导数判断函数的单调性,先确定在此区间上是单调增还是单调减函数若 f(x)为单调递减函数,则 f( x)0,若 f(x)为单调递增函数,则 f( x)0,然后分离参数 a,转化为函数求最值.故 g(x
6、)在(0,1)上为单调递减函数,在1,)上为单调递增函数,此时 g(x)的最小值为 g(x)1,但 g(x)3无最大值(且无趋近值)故 f(x)不可能是单调递减函数若 f(x)为单调递增函数,则 f( x)0,在 x0 时恒成立,即 aln x0,在 x0 时恒成立,1x所以 a ln x,在 x0 时恒成立,由上述推理可知此时 a1.1x故实数 a 的取值范围是(,1【点评】已知函数单调性,求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理： y f(x)在( a,b)上单调,则区间( a,b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则 f( x)0；若函数单
7、调递减,则 f( x)0”来求解【小试牛刀】 【2018 届广东深圳上学期期中】若函数 3log(0,1)af a在区间1,02内单调递增,则 a 的取值范围是A. ,4 B. 3,14 C. 9,4 D. 91,4【答案】B(二) 与不等式有关的类型以导数作为工具,以含有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在利用不等式恒成立求参数取值范围时,常利用以下结论：若 )(xf值域为 ,nm,则不等式 )(xfa恒成立 m；不等式 )(xfa有解 n；4若 )(xf值域为 ,nm,则不等式 )(xfa恒成立 m；若 )(xf值域为 ,(nm则不等式a恒成立 .
8、【例 2】已知函数 l(1),(,0),)fxx（）判断函数 的单调区间；（）若对任意的 0x,都有 21fxkx,求实数 k的最小值.【分析】 （）先求导可得 2)ln()(xf,因为分母 20x,可直接讨论分子的正负即可得导数的正负,根据导数大于 0 可得其单调增区间,导数小于 0 可得其单调减区间.（）可将12)(xkxf转化为 1)ln(23k,设函数 xkxh231)ln() ,即转化为对任意的 , )h恒成立,即函数 ()hx的最大值小于 0.先求函数 的导数,讨论其正负得函数 ()hx的单调区间,根据单调性求其最值,根据函数 的最大值小于 0 即可求得 k的范围.（） 12)(x
9、kxf等价于 021)ln(3xkx,设函数 h23)ln,对于函数 )(h,不妨令 .所以 0)(, 1)3(13131 2232 xkxkkxkxh5当 0k时,在 ),x时, 0)(xh,所以 )(xh在 ),0为增函数,所以 0)(hx,不符合题意；当 31,在 3,0k时, )(,所以 )(在 31,k为增函数,所以 )(,不符合题意；当 k时,在 ),x时, 0)(xh,所以 )(xh在 ),0为减函数,所以 0)(hx,即21)ln(3在 上成立,符合题意；综上,实数 k的最小值为 .【点评】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立问
10、题等数学知识,考查综合分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.利用“要使 axf)(成立,只需使函数的最小值axfmin)(恒成立即可；要使 axf)(成立,只需使函数的最大值m恒成立即可”.在此类问题中分类讨论往往是一个难点,这需要经过平时不断的训练和结累方可达到的.【小试牛刀】 【福建省莆田市第一中学 2019 届高三上学期第一次月考 2】已知函数 ，()=+()2，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）12,2 ()+()0 A B C D (,32) (,94) (,3)【答案】C(三) 与极值有关的类型极值这个概念在高中数学中可以说是一个与导数紧密相连的概
11、念,基本上只要提到极值或极值点就会想到导数,极值点个数的判定,一般是转化为使()0fx方程根的个数,一般情况下导函数若可以化成二次函数,我们可以利用判别式研究,若不是,我们可以借助图形研究.在完成此类题目时一定要注意极值与最值的区别,它们有本质的不同：极值是一个局部的概念,而最值是一个整体的概念.6【例 3】 【2017 湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数 lnxefax,e为自然对数的底数.（1）当 0a时,试求 fx的单调区间；（2）若函数 f在 1,2上有三个不同的极值点,求实数 a的取值范围.【分析】(1)借助题设条件运用导数求解；(2)依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探
12、求.【解析】 （1）函数的定义域为 0,x, 2 2211 1xx eaeeaxfa.当 0a时,对于0,0x恒成立,所以,若 ,0f,若 ,fx ,所以 fx的单调增区间为 1,单调减区间为 ,1.【点评】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式 lnxefax为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数 lnxefax的单调区间,求解时运用求导法则借助 a的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数 xeg,运用求导法则及转化化归思想
13、,分析推证建立不等式,从而求出 ea2,使7得问题获解.【小试牛刀】 【2018 届江西省南昌上学期第三次月考】若函数 2lnxfxae存在唯一的极值点,且此极值小于 0,则实数 a的取值范围为（ ）A. 21,e B. 1,e C. 21,0e D. 1,0e【答案】D(四) 与方程有关的类型在现在高中数学命题中常出现有关参数的方程问题、根的分布问题,有时甚至出现在一些高考试题的压轴题中.完成此类问题正确的转化是解题最为关键的地方,基础较差的学生可能出现复杂问题简单化的现象（当然是错误的理解而已）,这种题型往往能很好的考查学生运用所学知识解决新问题的能力,这也正是它的魅力所在.【例 4】 【
14、山东省安丘市 2019 届高三 10 月份质量检测】若存在正实数 m，使得关于 x 的方程有两个不同的根，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是A B (,0)C D (0,12)【答案】B【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.【解析】由题意得 ，8令 ，则 ，()=+12,()=1+220当 时， ，当 时， ，()12【点评】本题考查了常见函数的导数、导数的运算法则、导数函数单调性关系、导数的综合应用和利用导数证明不等式,考查了学生的转化能力和运算求解能力.在某一区间内有关方程根的
15、分布情况,所涉及方程往往有两类：一类为一元二次方程,它可充分利用三个二次的关系进行处理问题；另一类为非一元二次方程,此时一般要构造新的方程或函数进行研究,运用导数作为工具,数形结合处理此类问题.【小试牛刀】若存在正实数 m,使得关于 x的方程 24lnl0axmex有两个不同的根,其中 e为自然对数的底数,则实数 的取值范围是 （ ）A ,0 B 10,2e C. 1,0,2e D 1,2e【答案】D五、迁移运用1 【2018 届四川省成都市第七中学高三上学期半期考】已知 exfR,若关于 x的方程210fxmf恰好有 4 个不相等的实数解,则实数 m的取值范围为A. 1,e B. ,e C.
16、 1,e D. 1,e【答案】C9【解析】 exf, ,0 ,xef,当 x时, 0fx, 1xfe,当 01x时 0f,即 f在 0,1内为增函数,当 1时, f,即 f在 ,内为减函数,当 时, xe,即 fx在 ,0内为减函数作出,函数 x的图象如图所示：2.【2018 届广东省五校高三 12 月联考】已知函数 ln24(0)fxaxa,若有且只有两个整数 1x, 2使得 10fx,且 20fx,则 a的取值范围是（ ）A. ln3 B. ln3 C. l3 D. 0,l3【答案】C10【解析】3.【2018 届陕西省西安中学高三上学期期中】已知函数 321fxax,若对于任意的 12,
17、0,x,都有 12fxf成立,则实数 a的取值范围是（ ）A. 3, B. 23, C. 223,0,3 D. 23,0,3【答案】A【解析】利用排除法,当 0a时, 31fx, 20fx,函数在定义域上单调递增, 1213fxff,满足题意,排除 CD 选项,当 3a时, 314fxx, 403f,函数在定义域上单调递减, 1201fxff,满足题意,排除 B选项,故选 A.4.【2018 届陕西省西安高三上学期期中】若函数 sini3fxa在 ,单调递增,则11a的取值范围是（ ）A. 1, B. 1,3 C. 1,3 D. 1,3【答案】D【解析】函数 1sin2i3fxxa的导数为 2
18、13fxcosxa（ ） ， 由题意可得 0fx（ ） 恒成立,即为 210co， 即有 25403cosa， 设 1tcost（ ） ,即有25430ta，由题意可得 a ,且 ,解得 a的范围是 ,3,故选 D. 5. 【2018 届天津市耀华中学 2018 届高三上学期第二次月考】若函数 3fx在区间21a，上有最小值,则实数 a的取值范围是（ ）A. ， B. 14， C. 12， D. 12，【答案】C6 【东北师范大学附属中学 2018 届高三第五次模拟】已知函数 ， ，当 时，()=不等式 恒成立，则实数 的取值范围为(1)2(2)1 0) ()=(1)22当 时， 单调递减；当
19、 时， 单调递增；02 因为 有且只有一个整数解，故曲线 上的点 在直线下方， 在直线上方(0,1)(1,3)或在直线上，故 即 ，故选 B1234 8.【2017 江西抚州七校联考】已知函数 2,01xaf的图像上存在不同的两点 ,AB,使得曲线 yfx在这两点处的切线重合,则实数 的取值范围是（ ）A 1,4 B 2, C 12,4 D 1,2,4【答案】C 【解析】 0x时, 12)(fx； 0时, 21)(fx.设 ),(),(A21yxB且 21x,当21或 1时, )(f2,故 10,当 0时,函数 ）（f在点 ），（ 1yA处的切线方程为 )(x-y12xa,即 ;)(y211a
20、x当 02时,函数 ）（ xf在点），（ 2B处的切线方程为 )-y22x,即 2,两切线重合的充要条件是ax212,且 )1,0(),1(2x,消去 1x得： 22)1(xa,令 t1,则48ta2t,构造函数 ）（ tg482t, ),0(, tg3）（ ,301t3g2 t）（,所以 )(t在 )3,0（ 单调递减,在 ），（ 1单调递增,又,)(,)0(所以 xg）（ ,所以 xg（ 在 1,（ 单调递减,所以 )41,2xg（）（ ,即 )41,2a（ ,故选 C.9.【2017 辽宁盘锦市高中 2017 届 11 月月考】设函数 3()xxfeae（ ）,若不等14式 ()0fx有
21、解,则实数 a的最小值为（ ）A 1eB 12eC 1eD 21e【答案】A10.【山西临汾一中等五校 2017 届高三第三联考,12】设函数 326x xfexae,若不等式 0fx在 2,上有解,则实数 a的最小值为（ ）A 312e B 3e C 3142e D 1e【答案】C【解析】 02623 xaxxf , xexa21323,令xexg142123, xxeg2132 ,故当,时, 0g,当 ,时, 0x,故 g在 ,上是减函数,在 ,1上是增函数；故 ex 214313421min ；则实数 a的最小值为 342e故选 C11.【四川自贡普高 2017 届一诊,12】设函数 3
22、1xfx,其中 1a,若有且只有一个整数0x使得 0f,则 a的取值范围是（ ）A 23 4e， B 23 4e， C. 2 1e， D 2 1e，【答案】D【解析】设 31xg, hxa,则 32xg, 3x， , 0gx, 单调15递减； 2 3x， , 0gx, 单调递增,所以 23x处取得最小值 23e,所以010gah, 12he,直线 ha恒过定点 1 0， 且斜率为 a,所以42e, a而 1, 的取值范围 2e，12.已知 ()xf, 2()gx,若 2,xR,使得 1()fxg成立,则实数 a 的取值范围是_【答案】 1,)e13.若关于 x的不等式 (1)ln)0axx在（
23、0,+ ）上恒成立,则实数 a的取值范围是 【答案】 ,e【解析】函数 xy在（0,+ ）大于零不恒成立,所以有 01x, 0lnx 在（0,+ ）上恒成立不等式 恒成立可得, 0a;不等式 即 )(lga在（0,+ ）恒成立,用导数法可求函数 )(xg的最小值 1-e,所以 e综合 得, e另当 1x,lax时,解得 1,ea因此实数 a的取值范围是 1(14.【2017 重庆八中二调】已知函数 2()xfxa（1）讨论 ()fx的单调性；（2）若 0,2a,对于任意 1x, 24,0,都有 212|()|4afxfem恒成立,求 的取值范围【答案】 （1）若 ,则 f在 ,a上单调递增,在
24、 ,单调递减,若 2,则xf在 ,上单调递增,若 ,则 xf在 ,a上单调递增,在 a， 单调递减；（2） 321em.16【解析】 （1） xxxx eaeaeaeaxf 2222、若 a,则 在 ,上单调递增,在 ,单调递减；2、若 ,则 xf在 上单调递增；3、若 ,则 在 ,2,a上单调递增,在 a，2单调递减；15.【2017 山西省运城高三上学期期中】已知函数 2()ln1fxax,且 ()1f（1）求 a的值；（2）若对于任意 (0,)x,都有 ()1fxm,求 的最小值【答案】 （1） ；（2） 1.【解析】 （1）对 ()f求导,得 ()ln2fax,所以 ()fa,解得 （
25、2）由 1xm,得 2l0xmx,因为 (0,),所以对于任意 (,),都有 lnx设 lngx,则 ()gx,17令 ()0gx,解得 1x,当 变化时, ()与 g的变化情况如下表： x(0,1)1 (,)()g增 极大值 减所以当 1x时, max()(1)g,因为对于任意 0,都有 成立,所以 1m,所以 的最小值为 16. 【2016 届辽宁省抚顺市一中高三上学期第一次模拟】已知函数 )1(lnxaxf（）讨论 xf的单调性；（）当 有最大值,且最大值大于 2a时,求 的取值范围【答案】 （）详见解析；（） 1,0（）由（）知,当 0a,则 xf,所以 xf在 ,0无最大值；当 0a
26、时, xf在 a1取得最大值,最大值为 1ln1ln1aaf因此 21af等价于 0l令 lng,则 g在 ,单调递增, 01g18于是,当 10a时, 0g；当 1a时, 0g因此, 的取值范围是 17.【2017 福建厦门一中上学期期中】已知函数 2ln,01,xfabRae且 是自然对数的底数（1）讨论函数 fx在 0,上的单调性；（2）当 a时,若存在 12,使得 121fxfe,求实数 a的取值范围 （参考公式：lnx）【答案】 （1） fx在 0,上单调递增；（2） ,e.（2） 2lnxfab,因为存在 12,x,使得 121fxfe,所以当1,x时, maximainffffe
27、l2llx xf ,当 0时,由 1,可知 0,nx, 0fx；当 x时,由 a,可知 la, ；当 时, fx, fx在 1,上递减,在 ,1上递增,19当 1,x时, minmax01, 1,fxfbfff,而 lln2lnfa a,设 12ln0gtt,因为 210gttt（当 1t时取等号）, ltt在 ,上单调递增,而 g,当 1时, 0g,当 1a时, 2ln0a, f, e, lne,即 lle,设 ln1ha,则 10ah,函数 a在 ,上为增函数, e,既 的取值范围是 ,e18.【2018 届山东省淄博市部分学校高三 12 月摸底】已知函数 sin0xf. ()判断函数 fx在区间 02， 上的单调性；()若函数 f在区间 ， 上满足 fxa恒成立,求实数 a 的最小值.【解析】 （）当 02x， 时, 2cosinf 令 cosing, sigx,显然当 0x， 时,i0x,即函数 在区间 2， 的单调递减,且 0g,从而函数 g在区间 2， 上恒小于零 20所以 fx在区间 02， 上恒小于零,函数 fx在区间 02， 上单调递减.
