1、1问题 03 函数性质的灵活应用一、考情分析函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题,也有难度较大的试题.二、经验分享(1) 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接.(
2、2) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间 a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值(3) 解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数 f(x)在给
3、定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为 f(M)0)(2)若 f(x a) 1f,则 T2 a(a0)(3)若 f(x a) fx,则 T2 a(a0)(4)若 2f f,则 T6 a(a0) (5)若 f(x a) 1fx,则 T2 a(a0)(6)若 f(x a) 1fx,则 T4 a(a0)2函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数 f的图象既关于直线 a对称,又关于直线 xb对称 a,则 fx是周期函数,且ba是它的一个周期.(2)若函数 fx的图象既关于点 ,0对称,又关于点 ,0对称 ,则 fx是周期函数,且2是它的一个周期.(3)若函数 fx的图象既关于直线 xa对
4、称,又关于点 ,b对称 ab,则 fx是周期函数,且4ba是它的一个周期.3.函数 1,0xf为 有 理 数， 为 无 理 数 是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，也无法作出其图象.4. 设 xgfy是定义在 M上的函数,若 fx与 g的单调性相反,则 xgfy在 M上是减函数；若 f与 的单调性相同,则 y在 M上是增函数,简称同增异减.5. 对称性的一般结论若 faxfb,则 fx图像关于直线 2abx对称；3 yfax与 yfbx的图像关于直线 2bax（即 xb ）对称.四、题型分析(一) 函数单调性的灵活应用【例 1】如果对定义在 R上的函数 ()fx,对
5、任意两个不相等的实数 12,x,都有12121()()()xffxf,则称函数 ()fx为“ H函数”. 给出下列函数 exy; 2yx; 3sin;ln0()xf. 以上函数是“ H函数”的所有序号为 . 【分析】本题的重点和难点均为对“ H函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：12121()()()()xffxfxf,采用合并重组的方法进行处理,得 12120xffx ,由单调性定义的本质,可以看出“ 函数”本质上就是个单调递增函数.当 x0为增函数,不符合,故选.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种
6、无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.4【小试牛刀】 【2018 届福建闽侯高三 12月月考】已知函数 2xaf，其在区间 0,1上单调递增，则 的取值范围为（ ）A. 0,1 B. 1,0 C. 1, D. 1,2 【答案】C(二) 函数奇偶性的灵活应用【例 2】已知函数2(1)sin3xaxf（ R）, 2(lnog5)f,则 5(lnog2)f（ ）A 5 B C D 4【分析】先把 fx分离常数,得 2si1xf,根据奇函数性质可得 8fxf【答案】C【解析】 41sin231sin31
7、sin22 xaxaxaf ,令 i42fxg,则 g为奇函数, 15log5log22f, 12lon5lon2lon525 , 34lnln55f ,故选 C.【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出 fx是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.【小试牛刀】 【2018 四川成都考前模拟】已知函数 y=f（x）为定义域 R上的奇函数，且在 R上是单调递增5函数，函数 g（x）=f（x5）+x，数列a n为等差数列，且公差不为 0，若 g（a 1）+g（a 2）+g（a 9）=45，则 a1+a2+a9=（ ）A 45 B 15 C 10 D 0【答案
8、】A(三) 函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.【例 3】设 )(xf是定义在 R上的奇函数,且当 2)(,0xfx时 ,若对任意的 2,tx,不等式2(tf恒成立,则实数 t的取值范围是 【分析】本 题 已 明 确 指 出 是 个 奇 函 数 ,故 易 求 出 它 的 整 个 解 析 式 （ 一 个 分 段 函 数 ） ,此 时 画 出 它的 图 象 ,就 能 发 现 它 是 一 个 单
9、调 递 增 函 数 ,难 点 在 于 题 中 所 给 不 等 式 )(2(xftxf中 ,2()fx的 系 数 2 如 何 处 理 ？ 再 次 仔 细 观 察 所 求 函 数 的 解 析 式 的 结 构 特 征 ,发 现 满 足 ：)f,最 后 结 合 单 调 性 ,转 化 一 个 恒 成 立 问 题 ,利 用 分 离 参 数 的 方 法 求 出 t 的 范 围 .【解析】 (x是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ,且 当 0x 时 , 2)(xf 当 x 0,有 -x 0, 2)(xf, 2)(f,即 )(, )0(,2xxf, )(xf在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 ,6且 满
10、 足 )2()xff, 不 等 式 )(xft在 t,t+2恒 成 立 , x+t 2x 在 t,t+2恒 成 立 ,解 得 )1(在 t,t+2恒 成 立 , t解 得 ： 2,则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 ： ,2） 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】设函数 21()ln|)fxx,则使得 ()21)fx
11、成立的 x的取值范围是（ ）A 1,3 B 1,3 C ,3 D ,3【答案】A 解法二：把 1x代入 ()21)fx,得 1f,这显然不成立,所以 1x不满足()2)f, 由此可排除 D；又 0, ln2f, 0ff,所以 0x不满足1x, 由此可排除 B,C,故选 A. (四) 函数性质的综合运用【例 4】已知定义在 R上的函数 )(xf满足 )2(xf为奇函数,函数 )3(xf关于直线 1x对称,则下列式子一定成立的是（ ）7A. )(2(xff B. )6()2(xff C. 1 D. 01【分析】由题中函数 )(xf满足 )2(xf为奇函数,结合奇函数的定义转化可得： ()4)fxf
12、x,再由条件：函数 3f关于直线 1对称,结合对称性的规律可得： (4)f,最后由周期性的概念可转化为： ()4)(8)xffx,可见函数的周期为 8,即可求解.【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点： )2(xf为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.【小试牛刀】 【2018 湖北襄阳调研】若函数 yfx对定义域 D内的每一个 x1，都存在唯
13、一的 x2D，使得 12fx成立，则称 f (x)为“自倒函数” 给出下列命题： sin2fx， 是自倒函数；自倒函数 f (x)可以是奇函数；自倒函数 f (x)的值域可以是 R；若 yxg， 都是自倒函数，且定义域相同，则 yfxg也是自倒函数则以上命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】 fx为 D上的单调函数，否则方程 1fxf 不止一个实数解对于，sin2f在 ,是单调增函数，且其值域为 2,1，对于任意的821,t，则 12,1t，故 1fxt 在 ,2有唯一解 2x，正确；对于，取 fx ， ,0,x， f的值域为 ,0,，因为 1fx在,0和 ,都是单调减函数，
14、故对于 ,0,t， fxt有唯一解 2， 1fx， ,x为“自倒函数” ，正确；对于，如果 f的值域为 R，取1， 21f无解，不正确；取 1,fxgx，其中 ,0,，它们都是“自倒函数” ，但是 1Fxfg，这是常数函数，它不是“自倒函数 ” 在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单
15、调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.五、迁移运用1 【2019 广东六校第一次联考】定义在 上的函数 满足 及 ，且在 上 ()=(2)()=()有 ，则A B C D 14【答案】D9，(201912)=(202012)=(12)=(12)在 上有 ， 0,1，故选 D.2 【2019 安徽肥东 8月调研】已知函数 且 的最大值为 ,则 的取值范围(0 1) 1 是（ ）A B C D 12,1) (0,12 (1,+)【答案】A3 【2019 安徽定远第一次月考】已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）A B C D |12【答案】C【
16、解析】由题意得，函数 的定义域为 R()，函数 为奇函数()又根据复合函数的单调性可得，函数 在定义域上单调递增()由 得 ，(1)()=()10 ，解得 ，1不等式的解集为 故选 C|124 【2018 山西运城模拟】 是函数 的零点， ，则 0 0(1) 2(1)=2(1) (1)(1)C 若 ，则 D 若 ，则2(1)=1(1)【答案】C8. 函数21()()axf是 R上的单调递减函数,则实数 a的取值范围是（ ）A 104 B 4 C 14 D 1【答案】D【解析】21()()axf是 R上的单调递减函数,01214aa,故选D139. 已知定义在 R上的函数 )(xf是奇函数且满足
17、 )(23(xff, 32,数列 na满足 1,且 21nnSa,（其中 nS为 a的前 项和）,则 65a( )A 3 B C 3 D【答案】C【解析】由定义在 R上的函数 )(xf是奇函数且满足 )(23(xff知, 3()2f= ()fx =3()2fx= (f,所以 3= )= = = ,所以 f的周期为 3,由 1nnSa得, 2nSa,当 n2 时, na= 11()nnSa,所以 na=1na,所以 2=-3, 3=-7, 4=-15, 5=-31, 6=-63,所以 )(65ff36ff =(30)(0)ff= (0)f= (13)02f=3,故选 C.10.【2017 届重庆
18、市一中高三上学期期中】已知函数 xx41 满足条件 1)2(logaf,其中 1a,则 )12(logaf（ ）A B C 3 D【答案】B11 【2016 届黑龙江大庆实验中学高三考前训练】定义区间 12,x的长度为 21x（ 21x）,函数2()1)(,0)axfxRa的定义域与值域都是 ,()mn,则区间 ,mn取最大长度时实数的值为（ ）A 23 B-3 C1 D314【答案】D【解析】设 nm,是已知函数定义域的子集 0x,0,nm或 ，0,n,故函数xaxf21在 ,上单调递增,则 f,故 是方程 xa21的同号的相异实数根,即 02的同号的相异实数根, 21an, n,同号,只需
19、 0132a,1a或 3, 3442 mnn , m取最大值为 此时 ,故选：D12 【2018 届云南省玉溪市期中】函数 10,2 (0,1)7logaxfxa的值域是 8,则实数a的取值范围是_.【答案】 1,2【解析】 0,2 7logaxfx.当 2x时, 8.fx 8,fx的 值 域 是 .当 2时, 8.f即 8. log1,.a 2.a故答案为 1,2.13 【2018 届湖北省潜江市高三期中】若函数 2lnxfe是偶函数，则函数 fx的最小值为_.【答案】 ln214 【2018 届福建省闽侯市高三 12月月考】已知 fx是 R上的减函数， 3,10,AB是其图像上两个点，则不
20、等式 1lnfx的解集是_ 【答案】 2,e【解析】 因为不等式 1lnfx，所以 1ln1fx， 因为 3,10,AB是其图象上两个15点，所以 31,0ff， 所以可化为 31ln0ffxf， 因为 fx是 R上的减函数，所以 lnx，化为 2ln1x，解得 2e， 所以不等式 1lnf的解集是 21,e.15.【河北省武邑中学 2017届高三上学期第三次调研】已知函数 20xfg为奇函数,则1g_.【答案】 3【解析】 2()(1)3xfxg16. 已知函数 ()-5)fxa2的图象关于点 (-2,0)中心对称,设关于 x的不等式()(fxmf的解集为 A,若 5,-,则实数 m的取值范
21、围是 【答案】 3或 17. 已知函数 ()yfx为奇函数,且对定义域内的任意 x都有 (1)()fxf当 (2,3)x时,2()log(1)fx给出以下 4个结论：16函数 ()yfx的图象关于点(k,0)(k Z)成中心对称；函数 |是以 2为周期的周期函数；当 (1,0)x时, 2(log(1)fxx；函数 |yf在(k,k+1)( k Z)上单调递增其一中所有正确结论的序号为 【答案】【解析】由题设 ()yfx为奇函数,其图象关于原点中心对称,又对定义域内的任意 x都有 1)()fx,所以其图象还关于点 1,0,据此可判断函数 fx为周期函数,最小正周期 2T,又当 ,3时, 2log
22、(),因此可画出函数 f的图象大致如下图一所示,函数 |()|yfx的图象如下图二所示,函数 |yfx的图象如下图三所示,17由图象可知正确,不正确；另外,当 1,0x时, 2,3x所以, 22log1logfxx,又因为 f是以 2这周期的奇函数所以, ff,所以, 2logfxx,所以, 2log1,0fxx,所以也正确,故答案应填：18. 设 ()fxR是 上 的 奇函数,且对任意的实数 ,ab当 0时,都有 ()0fab(1)若 ab,试比较 ()fab的大小；(2)若存在实数 13,2x使得不等式 2()()0fxcf成立,试求实数 c的取值范围【答案】( 1) ()fafb；( 2
23、) 13,【解析】(1)由已知得 ()0fab,又 Qab,0()0fafb,即 ()ff1819.函数 f(x)的定义域为 D x|x0,且满足对于任意 x1,x2 D,有 f(x1x2) f(x1) f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1, f(x1)0,试确定 a的取值范围【答案】(1) 当 a1时定义域为(0,),当 a1 时定义域为 x|x0且 x1,当 01 ；(2) lg ；(3) a2.1 a 1 aa219(2)设 g(x) x 2,当 a(1,4), x2,)时, g( x)1 0恒成立,ax ax2 x2 ax
24、2所以 g(x) x 2 在2,)上是增函数ax所以 f(x)lg 在2,)上是增函数(xax 2)所以 f(x)lg 在2,)上的最小值为 f(2)lg .(xax 2) a2(3)对任意 x2,)恒有 f(x)0,即 x 21 对 x2,)恒成立ax所以 a3x x2,令 h(x)3 x x2,而 h(x)3 x x2 2 在 x2,)上是减函数,(x32) 94所以 h(x)max h(2)2,所以 a2. 21.【2018 届福建省闽侯高三 12月月考】已知函数 2 2145,5fxaxgxa，其中（）若函数 存在相同的零点，求 的值；（）若存在两个正整数 ，当 时，有 与 同时成立，求 的最大值及取最大值时 的取值范围.【解析】20（）令 0fx，则 45,xamn为正整数， 50a，即 5a，记 ,5Na，令 gx，即 2x的解集为 M，则由题意得区间 ,.mnMN当 0时，因为 0g，故只能 2510ga，即 4a或 6，又因为 5a，故 40，此时 5.a又 ,mnZ，所以 4.n当且仅当 05 392ag，即 219a时， n可以取 4，所以， n的最大整数为 4；当 0a时， MN,不合题意；当 时，因为 205510ga，故只能10 2a，无解；综上， n的最大整数为 4，此时 a的取值范围为 21.9a21
