1、1问题 02 含参数的常用逻辑问题一、考情分析集合是高考数学考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点二、经验分享(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；(2)注意下面两种叙述方式的区别：p 是 q 的充分不必要条件；p 的充分不必要条件是 q.(3)充分条件、必要条件的三种判定方法定义法：根据 pq,qp 进行判断,适用于定义、定理判断性问题集合法：根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字
2、母的范围的推断问题等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解要注意区间端点值的检验(5)“p q”“p q”“ p”等形式命题真假的判断步骤确定命题的构成形式；判断其中命题 p、 q 的真假；确定“ p q”“p q”“綈 p”等形式命题的真假(6)判定全称命题“ x M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x,证明 p
3、(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x x0,使 p(x0)成立(7)对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词对原命题的结论进行否定(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决2三、知识拓展1从集合角度理解充分条件与必要条件若 p 以集合 A 的形式出现, q 以集合 B 的形式出现,即 A x|p(x),B x|q(x),则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若 AB,则 p
4、是 q 的充分条件；(2)若 AB,则 p 是 q 的必要条件；(3)若 A B,则 p 是 q 的充要条件；(4)若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件；(5)若 A B,则 p 是 q 的必要不充分条件；2含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p q： p、 q 中有一个为真,则 p q 为真,即有真为真；(2)p q： p、 q 中有一个为假,则 p q 为假,即有假即假；(3)p：与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.3 “否命题”与“命题的否定”的区别 “否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题
5、,只否定命题的结论四、题型分析(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若 p则 q”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理【例 1】 【2017 湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合 2|1,03Ayxx,集合2|(1)()0Bxmx.已知命题 :px,命题 :qB,且命题 p是命题 q的必要不充分条件,求实数 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用 p是 q的必要不充分条件 解题【解析】由已知得 |04Ay, |1Bxm. p是 q的必要不充分条件, A.则有 04. 4,故 m的取值范围为 1,4.
6、【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)3求解(2)要注意区间端点值的检验【小试牛刀】【2019 届河北辛集 8 月月考】已知 f（x）是 R 上的减函数，且 f（0）=3，f（3）=1，设P=x|f（x+t）1|2，Q=x|f（x）1，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是（ ）A t0 B t0 C t3 D t3【答案】C(二)与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或” “且” “非”与集合运算的并集、交集、补集有关,
7、由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围【例 2】 【2017 宁夏育才中学月考】已知命题函数 321()fxmx在区间 (1,2)上单调递增；命题:q函数 C的图象上任意一点处的切线斜率恒大于 1,若“ ()pq”为真命题,“ pq”也为真命题,求实数 m的取值范围.【分析】先确定 pq真值相同再根据 p,q同真时或同假确定实数 的取值范围.【
8、解析】若 为真命题,2()10fxmx在 (,2)上恒成立,221(1)mx, 215()4x, 若 为真命题,则当 1x时, 4()g,m, 431x,当且仅当 时取等号, 3由已知可得若 p为真命题,则 q也为真命题；若 p为假命题,则 q也为假命题,当 p,q同真时, 54m,同假时 无解,故 5,34【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】 【2019 届一轮复习讲练测】已知 ，命题 函数 的值域为 ，命题：4函数 在区间 内单调递增若 是真命题，则实数 的取值范围是（
9、）：A B C D (， 13【答案】D(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的【例 3】若命题“ 0,Rx使得 20+50xm”为假命题,则实数 m的取值范围是 （ ）（A） 1,6 （B） (6, （C） 2,1 （D） (2,10)【分析】命题“ 0,x使得 20x”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解【解析】由命题“ R使得 0+5m”为假命题,则命题“ xR使得2+5xm”为真命题所以 24()0210mA故选（C） 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为
10、恒成立问题处理【小试牛刀】 【2017 山东潍坊 2017 届高三上学期期中联考】已知 R,设 : 1px， ,22480xm成立； :1 2qx， , 21log1xm成立,如果“ q”为真,“ pq”为假,求 的取值范围. （四）与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“ ”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“ ”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围【例 3】已知命题 p：“ 0,21ax”,命题 q：“ 02,2axRx”若命题“ 且 q”是真命题,则实数 的取值范围为（ ）5A 2a或 1 B 2a或 1C
11、D【分析】若命题“ p且 q”是真命题,则命题 ,pq都是真命题,首先将命题 ,pq对应的参数范围求出来,求交集即可【点评】命题 p是恒成立问题,命题 q是有解问题【小试牛刀】 【2018 云南省红河州统一检测】若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范（ ）A B C D (,32) (12 3,+)【答案】A【解析】 ， 为假命题，等价于， 为真命题232+(23)+0不妨设： =122+322+3由 ，知 ，从而62于是 ，即 ，故选 32 五、迁移运用1 【山东省日照市 2018 届高三 5 月校际联考】已知 .若“ ”是真命:,2+2+0;:26 1 6【答案】B3 【河北省武邑中学高三
12、第四次模拟】设 ， ，若 是 的必要不:2(2+1)+2+0充分条件，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 2,1)(0,1【答案】D【解析】对应的集合为 ， 对应的集合为 ， |+1故 或 ，解得 或 ，故选 D03+1 A B C D 1,+) (,1) (,1【答案】A【解析】由命题 有实数根，则 则 所以非 时 4 是非 为真命题的充分不必要条件，所以 3+1 3+14，则 m 的取值范围为 ，所以选 A(1,+)5 【衡水金卷.2018 年高三调研卷模拟二】已知 ，命题 函数 的值域为 ，命题: 7函数 在区间 内单调递增.若 是真命题，则实数 的取值范围是（ ）: A B C
13、D (0,13 (13,1【答案】D6 【江西省南昌市 2017-2018 学年度高三第二轮复习测试卷】记命题 为“点 满足（ ） ”，记命题 为“ 满足 ”，若 是 的充分不必要条件，则实数 的最0 大值为_【答案】【解析】依题意可知，以原点为圆心， 为半径的圆完全在由不等式组所围成的区域内，由于原点到直线 的距离为 ，所以，实数 的最大值为43+4=045 16257 【湖南省澧县一中 2018 届高三一轮复习第一次检测】已知命题 p：“存在 xR，使 ”，若“非 p”是假命题，则实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】非 p 即：“对任意 xR， 4x+2x+1+m 0”，如果“非 p”
14、是假命题，即 m 4 x2 x+1 ，而令 t= ，y= = = ， ，所以 m1 20121+10 01412， 2【答案】(， 012， 1) 【解析】由 p q 真， p q 假，知 p 与 q 为一真一假，对 p， q 进行分类讨论即可若 p 真，由 y cx为减函数，得 014,解得 ；14当 真 假，有 1418设 实数 、 满足： ， 实数 、 满足 ，若 是 的充分不必要条件，: : 求正实数 的取值范围【解析】因为 是 的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件， 又 表示以 为圆心， 为半径的圆面，(1,0)结合图象，可知当圆面与直线 相切时，圆面最大， ， ，=12 =12
15、正实数 的取值范围是 ，故答案为： 19设命题 :p实数 m使曲线 224610xym表示一个圆；命题 :q实数 m使曲线21xya表示双曲线.若 p是 q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围.【解析】对于命题 p： 22167xym表示圆，所以 2670m解得： 7m或 13对于命题 :q 0ma，即 a或 0mp是 的充分不必要条件7a， 7故实数 的取值范围 0, 20已知 ,给出下列两个命题:p函数 ln1l2afxx小于零恒成立;q关于 的方程 20一根在 ,1上,另一根在 1,2上.若 为真命题, pq为假命题,求实数 a的取值范围.9;4a即 :p;设 21,fxax则由命题
16、01:3 27fqaf,解得: 73;2a即 7:3;q若 p为真命题, pq为假命题,则 ,pq一真一假;14若 p真 q假,则： 9 403a或 9,3, 742a或 7;2若 p假 q真,则： 94, ;732a实数 a的取值范围为 9,4.21 【2018 江西莲塘、临川第一次联考】已知 :p对 2,x函数 2lg3fxax总有意义， :q函数 3213fxax在 1,上是增函数；若命题“ pq”为真， “ pq”为假，求a的取值范围.【解析】22 【2018 河南南阳第二次考试】已知全集 UR，非空集合22|0,|0,3xxaABa(1)当 1时，求 RCA；(2)命题 :px，命题 :px，若 q是 p的必要条件，求实数 a的取值范围.15【解析】（1） ,2A， 19,4B， uCBA当 312a，即 1时， |312Axa要使 AB需要2 a a综上所述，实数 的范围是 1,2.16
