1、1榆林市第二中学 2018-2019 学年第二学期第一次月考高二年级数学（理科）试题时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 下列四个散点图中，相关系数 最大的是（ ）.A. B. C. D. 2. 南山中学实验学校 2015 级入学考试共设置 60 个试室，试室编号为 001060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取 12 个试室进行抽查，已抽看了 007 试室号，则下列可能被抽到的试室号是（ ）A. 002 B. 031 C. 044 D. 0603. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩（均为整数）的频率
2、分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A. ，75，72 B. 72，75 ， C. 75，72， D. 75， ，724. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为（ ）2A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，75. 设样本数据 x1， x2， x10的平均数和方差分别为 1 和 4，若 yi=xi+a（ a 为非零常数，i=1，2，10），则 y1， y2， y10的平均数和方差分别为（ ）A. ，4 B. ， C. 1，4 D. 1，6. 有
3、5 位学生和 2 位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法( )A. 种 B. 240 种 C. 480 种 D. 960 种7. 甲、乙、丙等 6 人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有 种A. 720 B. 480 C. 144 D. 3608. 教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，从一层到四层共有（）种走法？A. B. C. D. 9. 6 本相同的数学书和 3 本相同的语文书分给 9 个人,每人 1 本,共有不同分法( )A. B. C. D. 10. 我们把各位数字之和等于 6 的三位数称为“吉祥数”，例如 123 就是一个“吉祥数”，
4、则这样的“吉祥数”一共有（ ）A. 28 个 B. 21 个 C. 35 个 D. 56 个11. 一排 12 个座位坐了 4 个小组的成员，每个小组都是 3 人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( )A. B. C. D. 12. 某公共汽车上有 10 位乘客，沿途 5 个车站，乘客下车的可能方式有 种A. B. C. 50 D. 3二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 的展开式中 x2y2的系数为_ （用数字作答）14. 已知 （ X 服从超几何分布且 n=10， M=5， N=100），则_15. 某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分） X 服从正
5、态分布 N（110，10 2），从中抽取一个同学的数学成绩 ，记该同学的成绩 为事件 A，记该同学的成绩 为事件 B，则在 A 事件发生的条件下 B 事件发生的概率P（ B|A）=_（结果用分数表示）附： X 满足：则 ；）； 16. 随机变量 的取值为 0，1，2，若 P（=0）= ， E（）=1，则 D（）= _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. （本题 10 分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査 100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示（）求 100 名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（）若
6、已从年龄在35，45），45，55的使用者中利用分层抽样选取了 6 人，再从这 6 人中选出 2 人，求这 2 人在不同的年龄组的概率418. （本题 12 分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳
7、的概率下面的临界值表仅供参考：P（ K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： ，其中 n=a+b+c+d）19. （本题 12 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个（）求三种粽子各取到 1 个的概率；（）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 10女生 20合计520. （本题 12
8、 分）某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有 1 个红球，1 个白球，3 个黑球的袋中一次随机地摸 2 个球，设计奖励方式如下表：(1) 某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元，求 X 的概率分布列与数学期望；(2) 某顾客参与两次摸球（有放回），求他能中奖的概率21. （本题 12 分）已知椭圆 C：4 x2+y21 及直线 l： y x+m， m R（1）当 m 为何值时，直线 l 与椭圆 C 有公共点？（2）若直线 l 被椭圆 C 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程22. （本题 12 分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗 y(
9、吨标准煤)的几组对照数据. (1)已知 x 与 y 之间具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x 的回归直线方程 ；(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(1)求出回归直线方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考公式： ， )结果 奖励1 红 1 白 10 元1 红 1 黑 5 元2 黑 2 元1 白 1 黑 不获奖x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.56答案和解析1.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了结合散点图，判断相关系数的大小，属于基础题.r0，正相关；r0，负相关，|r|越大相关性
10、越强.【解答】解：由图可知，C、D 的点在一条直线附近，则相关性强，C 选项为正相关，D 为负相关，故 C 选项相关系数 最大.故选 C.2.【答案】 A【解析】解：样本间隔为 6012=5， 样本一个编号为 007， 则抽取的样本为：002，007，012，017，022，027，032，037，042，047，052，057 可能被抽到的试室号是 002， 故选：A 根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可 本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间隔是解决本题的关键3.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法，是基础题平均数是频率分布直方图的“重
11、心”，是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；7众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数；中位数是所有数据中的中间值，在直方图中，中位数的左右两边频数相等，即频率相等【解答】解：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和所以平均成绩为：45（0.00510）+55（0.01510）+65（0.02010）+75（0.03010）+85（0.02510）+95（0.00510）=72；由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率
12、分布直方图知，这次测试数学成绩的众数落在 70-80 这一组中，所以众数为 75；由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中，体现的是中位数的左右两边频数相等，即频率相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求，前三个小矩形的面积和为（0.005+0.015+0.020）10=0.4，第四个小矩形的面积为 0.03010=0.3，0.4+0.3=0.70.5，中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为 x，高为 0.03，令 0.03x=0.5-0.4=0.1，解得 x3.3，故成绩的中位数为 73.3故选 B4.【
13、答案】 A【解析】解：由已知中甲组数据的中位数为 65， 故乙组数据的中位数也为 65， 8即 y=5， 则乙组数据的平均数为：66， 故 x=3， 故选：A由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得 x，y 的值本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题5.【答案】 A【解析】解：方法 1：y i=xi+a，E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差 D（y i）=D（x i）+E（a）=4方法 2：由题意知 yi=xi+a，则 = （x 1+x2+x10+10a）= （x 1+x2+x10）= +a=1+a，方差 s2= （x 1+a-（ +a） 2
14、+（x 2+a-（ +a） 2+（x 10+a-（ +a） 2= （x 1- ）2+（x 2- ） 2+（x 10- ） 2=s2=4故选：A方法 1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论方法 2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量 y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a 2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算6.【答案】 D【解析】【分析】先排 5 位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求 2 位教师坐在一起，用捆绑法，插入到5 个学生符合要求的 4 个空位中，易得其有 2A41种坐法，由分步计数原理计算可得
15、答案本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法9【解答】解：先排 5 位学生，有 A55种坐法，2 位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有 2 种坐法，将这个“整体”插在 5 个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有 4 个空位可选，则共有 2A55A41=960 种坐法故选 D7.【答案】 B【解析】【分析】甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的 = ，即可得出结论本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得 =720 种，甲乙丙的顺序为
16、甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种，甲、乙均在丙的同侧，有 4 种，甲、乙均在丙的同侧占总数的 =不同的排法种数共有 =480 种故选：B8.【答案】 B【解析】【分析】根据题意，分析层与层之间的走法数目，利用分步计数原理计算可得答案本题考查分步计数原理的应用，注意认真分析题意，注意四层的大楼有三层楼梯【解答】解：根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，10则从一层到二层，有 2 种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也有 2 种走法，则从一层到四层共有 222=23种走法；故选 B9.【答案】 A【解析】【分析】 本题考查排列组合及简单计数问题，属于基础题.
17、从 9 个人中选 3 个人，一人一本语文书，其他的一人一本数学书，问题得以解决 【解答】解：从 9 个人中选 3 个人，一人一本语文书，其他的一人一本数学书，故有 C93种，故选 A10.【答案】 B【解析】解：因为 1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6，所以可以分为 7 类，当三个位数字为 1，1，4 时，三位数有 3 个，当三个位数字为 1，2，3 时，三位数有 A33=6 个，当三个位数字为 2，2，2 时，三位数有 1 个，当三个位数字为 0，1，5 时，三位数有 4 个，当三个位数字为 0，2，4 时，三位数有
18、 4 个，当三个位数字为 0，3，3 时，三位数有 2 个，当三个位数字为 0，0，6 时，三位数有 1 个，根据分类计数原理得三位数共有 3+6+1+4+4+2+1=21故选 B根据 1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6，所以可以分11为 7 类，分别求出每一类的三位数，再根据分类计数原理得到答案本题主要考查了分类计数原理，关键是找到三个数字之和为 6 的数分别是什么，属于中档题11.【答案】 B【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析：，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列，每个小组的成员之间有A33
19、种排法，将 4 个小组进行全排列，有 A44种排法，则不同的坐法有 A44（A 33） 4种排法；故选：B根据题意，分 2 步进行分析：，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列，将 4 个小组进行全排列，由分步计数原理计算可得答案本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析12.【答案】 A【解析】解：根据题意，公共汽车沿途 5 个车站， 则每个乘客有 5 种下车的方式， 则 10 位乘客共有 510种下车的可能方式； 故选：A 根据题意，分析可得每个乘客有 5 种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列、组合的实际应用，13.【答
20、案】70【解析】12解： 的展开式的通项公式为 Tr+1= （-1） r = （-1） r ， 令 8- = -4=2，求得 r=4， 故展开式中 x2y2的系数为 =70， 故答案为：70 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x、y 的幂指数都等于 2，求得 r 的值，即可求得展开式中 x2y2的系数 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14.【答案】【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望，超几何分布.根据 ，可知 X 服从超几何分布，且可得 n，M，N 的值，代入超几何分布的期望公式即可求解.【解答】解：根据 ，可知
21、 X 服从超几何分布，且 n=10，M=5，N=100，则 .故答案为 .15.【答案】【解析】13【分析】本题主要考查了正态曲线及其性质和条件概率公式，属于基础题.【解答】解： 服从正态分布 N（110，10 2）P(A)=P( ) =0.4772；P(AB)=P( ) =0.1395;则 P（B|A）= = ;故答案为 .16.【答案】【解析】解析：设 P（=1）=p，P（=2）=q，则由已知得 p+q= ， ，解得 ， ，所以 故答案为：结合方差的计算公式可知，应先求出 P（=1），P（=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的
22、计算公式17.【答案】解：（）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20估计所有使用者的平均年龄为：0.120+0.330+0.440+0.250=37（岁）（）由题意可知抽取的 6 人中，年龄在35，45）范围内的人数为 4，记为 a， b， c， d；年龄在45，55范围内的人数为 2，记为 m， n从这 6 人中选取 2 人，结果共有 15 种：（ ab），（ ac），（ ad），（ am），（ an），（ bc），14（ bd），（ bm），（ bn），（ cd），（ cm），（ cn），（ dm），（ dn），（ mn）设“这 2 人在不同年龄组“为事件 A则事件 A 所
23、包含的基本事件有 8 种，故 ，所以这 2 人在不同年龄组的概率为 【解析】本题考查频率分布直方图以及古典概型，属于基础题.（）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（）在35，45）的人数为 4 人，记为 a，b，c，d；在45，55）的人数为 2 人，记为m，n列举可得总的情况共有 15 种，“这两人在不同年龄组”包含 8 种，由古典概型概率公式可得本题考查列举法计算基本事件数，涉及概率公式和直方图，列举是解决问题的关键，属中档题18.【答案】解：（1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，所以喜欢游泳的学生人数为 人，其中女生有 2
24、0 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 40 10 50女生 20 30 50合计 60 40 100（2）因为 ，15所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）5 名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 a， b， c，另外 2 名学生记为 1，2，任取 2 名学生，则所有可能情况为（ a， b）、（ a， c）、（ a，1）、（ a，2）、（ b， c）、（ b，1）、（ b，2）、（ c，1）、（ c，2）、（1，2），共 10 种,其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为（ a，1）、（ a，2）、（ b，1）、（ b，2）、（ c，1）、（ c
25、，2），共 6 种,所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为 .【解析】本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题（1）根据在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得 K2，与临界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率19.【答案】解：（）令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率公式有 P（ A）= = （）随机变量 X 的取值为：0，1，2，则 P（ X=0）= = ， P（ X=1）= = ， P（ X=2）=
26、 = ，X 0 1 2PEX=0 +1 +2 = 【解析】（）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （）随机变量 X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望16本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键20.【答案】解：(1) 因为 P(X10) ，P(X5) ，P(X2) ，P(X0) ，所以 X 的概率分布为X 10 5 2 0P从而 E(X)10 5 2 0 3.1(元)(2) 记该顾客一次摸球中奖为事件 A，由(1)知， P(A) ，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P11 P(A)2 .答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率
27、为 .【解析】（1）由已知得 X=10，5，2，0，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的概率分布表与数学期望；（2）记该顾客一次摸球中奖为事件 A，由(1)知，P(A) ，由此能求出他两次摸球中至少有一次中奖的概率.本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布与数学期望的求法，属中档题.1721.【答案】解：（1）把直线 y=x+m 代入 4x2+y2=1 得 5x2+2mx+m2-1=0，=4 m2-20（ m2-1）=-16 m2+200，解得 ；（2）设直线与椭圆交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点，由得 ， ， ，解得 m=1，所求直线方程为 x-y+10，或
28、x-y-10.【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系及不等式的解法，考查了学生的推理能力与计算能力，培养了学生的综合能力.（1）把直线 y=x+m 代入 4x2+y2=1 得 5x2+2mx+m2-1=0，利用0，即可得出结果； （2）设直线与椭圆交于 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）两点，利用根与系数的关系可得弦长，进而即可得到结果.22.【答案】解：（1） ，18所以 ，线性回归方程为 y=0.7x+0.35；（2）根据回归方程的预测，现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为：0.7100+0.35=70.35，耗能减少了 90-70.35=19.65（吨）.【解析】此题考查线性回归直线方程的求法，考查线性回归分析在解决实际问题中的应用，属中档题. （1）利用线性回归方程公式，分别求出 ， ，即可得到回归直线的方程； （2）考查利用线性回归分析解决实际应用问题，把 100 代入回归直线方程得到预报值，从而求出所求结果.
