1、1湖南省邵东一中 2019 年上学期高二年级第一次月考试题数学（文）时 量 ： 120 分 钟 总 分 ： 150 分一 、 选 择 题 ： （ 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 ）1.复数 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（ ）A没有一个内角是钝角 B有两个内角是钝角 C有三个内角是钝角 D至少有两个内角是钝角3有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知 是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为( ) A. 大
2、前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误4.设 p：实数 x， y 满足 x1 且 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 变为曲线 ，则曲线 的方程为（ ）A B C D6.如图，第 1 个图形由正三角形扩展而成，共 12 个顶点.第 n 个图形是由正 n+2 边形扩展而来 ，则第 n 个图形的顶点个数是（ ）（1） （2） （3） 2（4）A. (2n+1)(2n+2) B. 3(2n+2) C. 2n(
3、5n+1) D. (n+2)(n+3)7.若实数 满足 ，给出以下说法： 中至少有一个大于 ； 中至少有一个小于 ； 中至少有一个不大于 1； 中至少有一个不小于 .其中正确说法的个数是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 08.要证： a2+b2-1-a2b20，只要证明（ ）A. 2ab-1-a2b20 B.(a2-1)(b2-1)0 C. D.2()10ab4210a9已知正项等比数列a n (nN +)满足 a5=a4+2a3，若存在两项 an,am使得 ，18na则 的最小值为（ ）mA B C D10.在平面几何里有射影定理：设三角形 的两边 ， 是 点在 上的射影，则.拓展到
4、空间，在四面体 中， 面 ，点 是 在面 内的射影，且 在 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）A. B. C. D. 11.设 ， ， ， ，0()cosfx/10()fxf/21()fxf/1()nnfxfN则 =（ ） 219A. B. C. D. csxsinxsinxcosx12.针对“中学生追星问题” ，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调3查，其中女生人数是男生人数的 ，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 .若有 的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ）参考数据及公式如下：A. 12 B. 11 C. 10 D. 18二
5、 、 填 空 题 ： （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20） 13在直角坐标系 xOy 中，已知点 C(3， )，若以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，3则点 C 的极坐标( ， )( 0，0， 0)可写为_ _5(,)614.复数 z= 的虚部为 15. 设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， 成等差数列；类比以上nanS484S128结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ，_ _， 成等比数nbnT44T128列16.有公共焦点 F1，F 2的椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，点 A 为两曲线的一个公共点，且满足F 1AF290，则 的值为_2_三 、
6、 解 答 题 ： （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算步 骤 )17. （本题 10 分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，若直线 l 的极坐标方程为 sin()24（1）把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知 P 为椭圆 C： 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值2139xy10（1）直线 l 的极坐标方程为 sin（-）=2 ，整理得：（sincos-cossin）= sin- cos=2 ，即 sin-cos=4，则直角坐标系中的方程为 y-x=4
7、，即 x-y+4=0；（2）设 P（ cos，3sin），点 P 到直线 l 的距离 d= = =26则 P 到直线 l 的距离的最小值为 2618. （本题 12 分）已知 ，分别求 ， ，1()3xf()01f()2ff的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论()23ff【解析】由 ，得 ，1()3xf013()13f，12()12ff，23()3ff归纳猜想一般性结论为 ，证明如下：3()1)ffx1 1()1)3 3xxx xffx1 133=()x xxx 19. （本题 12 分）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l的参数方程是 320,
8、1xtmty为 参 数，曲线 C的极坐标方程11为 2cos（1）求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）若直线 与 x轴交于点 P，与曲线 交于点 A， B，且 1P，求实数 m的值【解析】 （1）直线 l的参数方程是 320,1xtmty为 参 数，消去参数 t可得 3xym由 2cos，得 2cos，可得 C的直角坐标方程： 2xy（2）把 312xty为 参 数，代入 2xy，得 2230tmt由 0，解得 13， 21tm， 2PABt， 2，解得 12或 1又满足 0， m，实数 1或 120. （本题 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，nanS1a0n1
9、nnaS其中 为常数，（I）证明： ；2na（II）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.n所以 ， 21na2na12因此存在 ，使得 为等差数列4na21. （本题 12 分）已知椭圆 的两焦点分别为 ，其短半轴长为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于两点 .若直线 与 的斜率之和为 ，求实数的值.【详解】 （1）椭圆 的两焦点分别为 ，c= , 短半轴长为 ,b=1,故得到曲线 C 的方程为： ；（2）设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，由 ，消去 y 得，37x2+36tx+9（ t21）0，由（36 t） 24379（ t21）0，
10、可得 ，又直线 y2 x+t 不经过点 H（0，1） ，且直线 HM 与 HN 的斜率存在， t1，又 ， ， kHM+kHN ，解得 t3，故 t 的值为 3.22. （本题 12 分）已知函数 .（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；（2）若不等式 恒成立，求 的值.【详解】 （1） a1 时， f（ x） ， f（ x） ，令 f（ x） 0，解得 x e. x （0， e） e （ e，+）13f（ x） + 0 f（ x） 单调递增 极大值 单调递减可得函数 f（ x）的单调递增区间为（0， e） ，单调递减区间为（ e，+） ，可得极大值为f（ e） ，为极小值.（2）由题意可得
11、： x0，由不等式 恒成立，即 x1 alnx0 恒成立.令 g（ x） x1 alnx0， g（1）0， x（0，+）.g（ x）1 .若 a0，则函数 g（ x）在（0，+）上单调递增，又 g（1）0， x（0，1）时，g（ x）0，不符合题意，舍去.若 0 a1，则函数 g（ x）在（ a，+）上 g（ x）0，即函数 g（ x）单调递增，又g（1）0， x（ a，1）时， g（ x）0，不符合题意，舍去.若 a1，则函数 g（ x）在（1，+）上 g（ x）0，即函数 g（ x）单调递增，x（ a，1）时， g（ x）0，函数 g（ x）单调递减. x1 时，函数 g（ x）取得极小值即最小值，又 g（1）0， x0 时， g（ x）0 恒成立.若 1 a，则函数 g（ x）在（0， a）上 g（ x）0，即函数 g（ x）单调递减，又g（1）0， x（1， a）时， g（ x）0，不符合题意，舍去.综上可得： a1.14
