1、- 1 -湖南省永州市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题 理（扫描版）- 2 - 3 - 4 -永州市 2019 年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B A A D D A C B C B D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.131，2 145 154 16 2- 5 -三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
2、算步骤.17（本小题满分 12 分）（1） 当 时， ， 2 分n12a1a当 时，()nS1n 4 分2()na数列 是首 项，公比都为 2 的等比数列 6 分（2） 由 (1)得， 即1,nn1na37,b 8 分11267d, 10 分nb1=()1nb 12()23Tn 1=n分18（本小题满分 12 分）证明：（1）连接 ，因为四边形 是菱形，则1AB1AB11AB因为平面 平面 ，且 为交线，1CC平面 4 分B1A，1/ ，C11BC且 ，1A- 6 -平面 6 分1AB1C（2）取 A1B1的中点 M，连接 BM，易证 面 ，且 ，以 BA 为 x 轴，BACBBC 为 y 轴
3、， BM 为 z 轴 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，Ct(2,0)1(,3)(0,)t因为四边形 为平行四边形，1A则 ，(,)t易知 的一个法向量为 ，BC0,1n，11 235cos,At， 8 分3t，11(,0),(3,)AAC设平面 的法向量 ，11nxyz，令 则 10 分11 1033nxzA 1,1(3,2)n由（1）可得面 AB1C1的法向量 (,)BA116cos,4BA二面角 的余弦值为 12 分116419（本 小 题 满 分 12 分 ）（1）解：由题意得， ，解得224bac2,ab所以椭圆 的方程为 5 分C18xy（2）由题得 ， ，设直线
4、 的方程为 ， ，1(2,0)F2(,)AB1(2)ykx1(,)Ay,Bxy- 7 -联立 ，得 218()xyk2211()80kxk2221143()则 ， 12218kx2218kx222211211|()4kABxx同理联立方程，由弦长公式可得2|kCD，|=62ABCD2214+4=6kk化简得： ，则 . 12 分21k1220（本 小 题 满 分 12 分 ） （1） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6.X， ， ，05P125PX12172050PX， ，232110534， ，65X3910 的分布列为0 1 2 3 4 5 6P25701502910 6 分（2
5、）选择延保方案一，所需费用 元的分布列为：1Y1Y6000 7500 9000 10500 12000P 4550625910(元) 8 分116960759011842EY（或不写分布列， 也给分）1 695304506502Y 选择延保方案二，所需费用 元的分布列为：2- 8 -2Y7740 7740+a7740+2P 6710625910(元) 10 分2679240()(4)7125 aEYaa（或不写分布列， 也给分）61712005Y ，128405aE当 ，即 时， 选择方案二.121Y02a当 ，即 时，选择方案一，方案二均可.128405aE当 ，即 时，选择方案一. 12
6、分121Y2021（本小题满分 12 分）（1）由 ，得 ，424()lnln02xbaxbfxa4a， ， 2 分lf221() (0)f xx若 0 时，求得 a ， 在 单调递减，216a4()f0,)若 0 即 时， 有两个零点，124hxax， ， 开口向下，216ax2260x2()xa当 时， 0， ， 单调递减；10()h()f()fx当 时， 0， ， 单调递增；2xx0ff当 时， 0， ， 单调递减()h()f()fx综上所述，当 a 时， 单调递减；当 时， 在 和14104a()fx10,)上单调递减， 在 上单调递增. 2(,)x()fx12,)5 分（2）由（1）
7、知当 a 时， 单调递减，不可能有三个不同的零点；14()fx- 9 -当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增，104a()fx10,)2(,)x()fx12,)，又 ，有 ， 在 上单调递增，2()lnfa124x12x()fx12,)， ， 6 分10fxf2()0ff，令 ，232()ln4a23()ln4gaa，42221g令 ， 单调递增，由 =0，求得4()1ha 3()8ha 3()482ha ，当 时， 单调递 减， ， 032104()1106 在 上单调递增，()fa23(lnga0,故 ，故 ， ， ，21)11(l4621()0fa2()fx2xa由零点存在性定
8、理知 在区间（ ， ） 有一个根设为 ，)fx2x0又 ，得 ， ， 是 的另一个零点，00()fxf0(1040x()f故当 时， 存在三个不同的零点 ，2， 12 分14a)fx注：若考生未找到零点而是用极限思想说明，至多不超过 8 分其他解法也酌情给分22.（本小题满分 10 分）（1）当 时，直线 的普通方程为 ， 2 分34pa=lyx=-曲线 的直角坐标方程为 4 分C2240x+（2）将直线 的 参数方程 ,代入 ，整理得l1cosinty2240xy+=， 6 分2(sincos)20tta+-=由参数 的几何意义，有 ， ，t 12PABt1212PABtt- 10 -所以， 8 分1214sin23sin2PABta+-+=又 ，sin2,a-所以 的取值范围是 10 分1PAB+2,23.（本小题满分 10 分）（1）当 ， 时，a1b，可得 的解集为 5 分2()1x f ()4fx2,（2）因为 ，又 最小值为 ，()()()fxaxbaba()fx2所以 ，又 ， ， ，2b02所以 ，111()3(3)aabab+=+=+当且仅当 ， 时取等号，242故 的最小值为 101ab分- 11 -
