1、- 1 -湖北省黄梅国际育才高级中学 2018-2019 学年高二数学 4 月周考试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 甲、乙、丙等 6 人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有 种 用数字作答 A. 720 B. 480 C. 144 D. 3602. 马路上亮着编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的 10 只路灯，为节约用电，现要求把其中的两只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有 种。A. 12 B. 18 C. 21 D. 243. 若的 展开式中 的系数为 ，则常数 A. B. C. 2 D
2、. 34. 在 的展开式中， 的系数等于 A. 280 B. 300 C. 210 D. 1205. 除以 88 的余数是 A. B. C. 1 D. 876. 已知随机变量 ，且 ， ，则 A. B. C. D. 7. 设 ，随机变量 的分布列是0 1 2P则当 p 在 内增大时， A. 减小 B. 增大C. 先减小后增大 D. 先增大后减小8. 随机变量 X 的分布列如下：若 ，则 等于 X 1 2 3- 2 -P x yA. B. C. D. 9. 设随机变量 X 的概率分布列为X 1 2 3 4P m则 A. B. C. D. 10. 一袋中装有 6 个白球，3 个红球，现从袋中往外取
3、球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现 9 次停止 设停止时，取球次数为随机变量 X，则的值为 A. B. C. D. 11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 吨 与相应的生产能耗 吨的几组对应数据如表所示：x 3 4 5 6y 3 4若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 ，若生产 7 吨产品，预计相应的生产能耗为 吨A. B. C. D. 12. 在一次独立性检验中，得出 列联表如下： A 合计B 200 800 1000180 a合计 380且最后发现，两个分类变量 A 和 B 没有任何关系，则 a 的可能值是 A. 200 B. 7
4、20 C. 100 D. 180- 3 -二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种14. 已知 ，则_15. 在 10 件产品中有 2 件次品，任意抽取 3 件，则抽到次品个数的数学期望的值是_16. 现有一大批种子，其中优良种占 ，从中任取 8 粒，记 X 为 8 粒种子中的优质良种粒数，则 X 的期望是：_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 有 8 件产品，其中一等品 3 件，二等品 3 件，三等品 2 件，从中任意抽取 4 件没有一等品的不
5、同抽法有多少种？一等品，二等品，三等品至少一件的不同抽法有多少种？18. 已知 展开式前三项的二项式系数和为 22求 n 的值；求展开式中的常数项；求展开式中二项式系数最大的项- 4 -19. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5 次测试 假设某学生每次通过测试的概率都是 ，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立求该学生考上大学的概率如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测试的次数为 X，求 X 的分布列及 X 的数学期望20. 今有 5 所省
6、级示范学校参加联考，参加人数约 5000 人 考完后经计算得数学平均分为 113分 已知本次联考的成绩服从正态分布 且标准差为 12 计算联考成绩在 137 分以上的人数；从所有试卷中任意抽取 1 份，已知分数不超过 123 分的概率为 ，从所有试卷中任意抽取 5 份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽取到的概率视为相同 X 表示抽到成绩低于 103 分的试卷的份数，写出 X 的分布列，并求数学期望 参考数据： ， ，- 5 -21. 某种产品的广告费用支出 万元 与销售额 万元 之间有如下的对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70求回归直线方程；据此估计广告费用为
7、12 万元时的销售额约为多少？参考公式： ， ， 22. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 10 女生 20 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 请将上述列联表补充完整；并判断是否有 的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机- 6 -抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率下面的临界值表仅供参考：k 参考公式： ，其中高二四月份周考
8、理科数学答案和解析【答案】1. B 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. D8. D 9. B 10. C 11. A 12. B13. 36 14. 0 15. 16. 17. 解： 根据题意，有 8 件产品，其中一等品 3 件，二等品 3 件，三等品 2 件，没有一等品，即在 3 件二等品、2 件三等品中任取 4 件即可，有 种取法，则没有一等品的不同抽法有 5 种，根据题意，分 3 种情况讨论：- 7 -、取出的 4 件产品中有 2 件一等品、1 件二等品、1 件三等品，有 种取法；、取出的 4 件产品中有 1 件一等品、2 件二等品、1 件三等品，有 种取法；、取出的
9、 4 件产品中有 1 件一等品、1 件二等品、2 件三等品，有 种取法；则不同的取法有 种；故一等品，二等品，三等品至少一件的不同抽法有 45 种 18. 解：由题意， 展开式前三项的二项式系数和为 22二项式定理展开：前三项的二项式系数为： ，解得： 或 舍去 即 n 的值为 6由通项公式 ，令 ，可得： 展开式中的常数项为 ；是偶数，展开式共有 7 项 则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为 19. 解： 记“该生考上大学”的事件为事件 A，其对立事件为 ，根据题意可得： ，该学生考上大学的概率为 由题意可得：参加测试次数 X 的可能取值为 2，3，4，5， ， ，的分布列为：X 2 3
10、 4 5- 8 -P的数学期望为： 答：该生考上大学的概率为 ； X 的数学期望是 20. 解： 设本次联考成绩为 由题意，知在正态分布 中， ， ，因为 ，所以 ，故所求人数为 人 由题意知故 ，故 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 21. 解： 求回归直线方程 ， ，因此回归直线方程为 ；当 时，预报 y 的值为 万元 即广告费用为 12 万元时，销售收入 y 的值大约是 万元 - 9 -22. 解： 因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，所以喜欢游泳的学生人数为 人，其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
11、男生 40 10 50女生 20 30 50合计 60 40 100因为 ，所以有 的把握认为喜欢游泳与性别有关；名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 a， b， c，另外 2 名学生记为 1，2，任取 2 名学生，则所有可能情况为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 10种，其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为 、 、 、 、 、 ，共 6 种，所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为 【解析】1. 【分析】甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的 ，即可得出结论本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得
12、种，甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种，甲、乙均在丙的同侧，有 4 种，甲、乙均在丙的同侧占总数的- 10 -不同的排法种数共有 种故选： B2. 解：根据题意，分 2 步分析：先将亮的 8 盏灯排成一排，有 1 种排法，由题意，两端的灯不能熄灭，则有 7 个符合条件的空位，进而在这 7 个空位中，任取 2 个空位插入熄灭的 2 盏灯，有 种关灯方法；故选： C根据题意，本题用插空法求解，先将亮的 8 盏灯排成一排，分析可得有 7 个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的 2 盏灯插入 7 个空位，用组合公式计算可得答案本题考查排列、组合的应用，解决此类
13、问题需要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法3. 【分析】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题根据题意求出 展开式中含 项、 项的系数，得出 的展开式中 的系数，列出方程求出 a 的值【解答】解： 展开式的通项公式为：；令 ，解得 ，所以 项的系数为 ；令 ，解得 ，所以 项的系数为 ；所以 的展开式中 的系数为： ，解得 故选 C4. 【分析】根据题意，利用组合数的性质即可得出结果本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问题，是基础题目- 11 -【解答】解：在 的展开式中，项的系数为故选： D5. 解：，显然第一项是余数，其余各项都能被 88 整除故选
14、： C利用二项式定理化简表达式，转化为 的形式，然后通过二项式定理求解余数本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查6. 解： 随机变量 ， 正态曲线的对称轴是 ， ，故选： B根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题7. 解：设 ，随机变量 的分布列是；方差是，时， 单调递增；时， 单调递减；先增大后减小- 12 -故选： D求出随机变量 的分布列与方差，再讨论 的单调情况本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题8. 【分析】由 ，结合随机
15、变量 X 的分布列的性质列出方程组，得到 ， ，由此能求出 本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用【解答】解： ，由随机变量 X 的分布列的性质得：，解得 ， ，故选 D9. 解：根据概率分布的定义得出： 得 ，随机变量 X 的概率分布列为X 1 2 3 4P故选： B利用概率分布的定义得出： ，求出 m，得出分布列，判断 ，求解即可本题简单的考察了概率分布列的定义，随机变量的运用判断，属于中档题10. 【分析】本题考查了 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率，属于中档题若 ，则取 11 次停止，第 11 次取出的是红球，前 10 次中有
16、 8 次是红球，先考虑哪 8 次- 13 -取红球，有 种选择，又因为有 8 次取得是红球，乘以取红球的概率的 8 次方，还有 2 次取的是白球，乘以取白球的概率的平方，第 11 次取的是红球，再乘一次取红球的概率【解答】解：若 ，则取 11 次停止，第 11 次取出的是红球，前 10 次中有 8 次是红球，则 ，故选 C11. 【分析】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目由表中数据，计算 、 ，利用线性回归方程过样本中心点 求出 a 的值，写出线性回归方程，计算 时 y 的值即可【解答】解：由表中数据，计算得， ，且线性回归方程 过样本中心点 ，即 ，解得 ，、 y 的线
17、性回归方程是 ，当 时，估计生产 7 吨产品的生产能耗为吨 故选 A12. 【分析】把列联表中所给的数据代入代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知 a 的可能值 要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断【解答】解： 两个分类变量 A 和 B 没有任何关系，- 14 -代入验证可知 满足，故选 B13. 【分析】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的 A、 B、 分 3 步进行分析：用捆绑法分析 A、 B，计算其中 A、 B 相邻又满足 B、 C 相邻的情况，即将 ABC 看成一个元素，与其他产品全排列，在全部数目
18、中将 A、 B 相邻又满足 A、 C 相邻的情况排除即可得答案【解答】解：先考虑产品 A 与 B 相邻，把 A、 B 作为一个元素有 种方法，而 A、 B 可交换位置，所以有 种摆法，又当 A、 B 相邻又满足 A、 C 相邻，有 种摆法，故满足条件的摆法有 种故答案为：3614. 【分析】本题考查二项式定理的应用，利用赋值法，令 ，得到 ，令 ，得到，即可得到答案，属于基础题【解答】解：令 ，得到 ，令 ，得到 ，所以 故答案为 015. 解：设抽到次品个数为 ，则 2，故答案为： - 15 -16. 【分析】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨
19、论思想、转化化归思想、整体思想，是基础题 由题意 ，由此能求出 X 的期望EX【解答】解：现有一大批种子，其中优良种占 ，从中任取 8 粒，记 X 为 8 粒种子中的优质良种粒数，则 ，的期望 故答案为 17. 根据题意，要求取出的 4 件产品没有一等品，即在 3 件二等品、2 件三等品中任取 4件，由组合数公式计算可得答案；根据题意，分 3 种情况讨论： 、取出的 4 件产品中有 2 件一等品、1 件二等品、1 件三等品， 、取出的 4 件产品中有 1 件一等品、2 件二等品、1 件三等品， 、取出的 4 件产品中有 1 件一等品、1 件二等品、2 件三等品，分别求出每一种情况的取法数目，由
20、分类计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的实际应用， 注意要分情况讨论，要不重不漏18. 本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题利用公式展开得前三项，系数和为 22，即可求出 n利用通项公式求解展开式中的常数项即可利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项19. 记“该生考上大学”的事件为事件 A，其对立事件为 ，结合题意得到事件 的概率，再根据对立事件的概率公式得到答案由题意可得：参加测试次数 X 的可能取值为 2，3，4，5，再结合题意分别求出其发生的概率，即可得到 X 的分布列，进而得到 X 的数学期望解决此类问题的关键是熟练掌握 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
21、概率公式，以及利用正难则反的解题方法解决问题，本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，此类型的题目是个类型考试的命题热点之一，一般以基础题或者中档题的形式出现，只要读懂题意一般能够得到全分- 16 -20. 本题考查正态分布的应用以及离散型随机变量的期望与分布列，属于中档题本小题考查正态分布的应用，根据条件得到 ，故所求人数为 人 本小题考查离散型随机变量的分布列以及二项分布的数学期望，根据条件得到，故 ，即可得到其分布列和数学期望21. 【分析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是求出线性回归方程的系数，这是后面解题的先决条件【解答】根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出 的值，得到线性回归方程根据所给的变量 x 的值，把值代入线性回归方程，得到对应的 y 的值，这里的 y 的值是一个预报值22. 本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题根据在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；利用公式求得 ，与临界值比较，即可得到结论；利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率- 17 -
