1、- 1 -湖北省黄梅国际育才高级中学 2018-2019 学年高二数学 4 月周考试题 文题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 复数 z 满足 是虚数单位 ，则 z 的共轭复数 A. B. C. D. 【答案】 C【解析】解： ， ，则 z 的共轭复数 故选： C利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育龄妇女，结果如表非一线 一线 总计愿生
2、 45 20 65不愿生 13 22 35总计 58 42 100附表：k 由 算得， 参照附表，得到的正确结论是 - 2 -A. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C. 有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D. 有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【答案】 C【解析】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选： C根据 ，有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案本题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于
3、基础题3. 下列说法正确的个数为 在对分类变量 X 和 Y 进行独立性检验时，随机变量 的观测值 K 越大，则“ X 与 Y 相关”可信程度越大；进行回归分析过程中，可以通过对残差的分析，发现原始数据中的可疑数据，以便及时纠正；线性回归方程由 n 组观察值 2，3， ， 计算而得，且其图象一定经过数据中心点 ；若相关指数 越大，则残差平方和越小，模型拟合效果越差A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】 B【解析】解：对于 ，对分类变量 X 与 Y 的随机变量的 观测值来说， 越大，“ X 与 Y 有关系”可信程度越大；故 正确对于 ，直接利用对残差的分析，发现原始数据中的可疑数据，判断选
4、项正误；故 不正确；对于 ，回归直线方程一定经过样本中心点，则由变量 x 和 y 的数据得到其回归直线方程一定经过中心点 ，故 正确；- 3 -对于 ，对分类变量 X 与 Y 的随机变量的 观测值来说， 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故 不正确，故选： B本题是基础题 考查回归分析及独立性检验的理论基础；考查回归分析，如果对于某组数据可以采用几种不同的回归方程进行分析，可以通过比较相关系数的值选择较大的模型作为这组数据的模型4. 下列命题正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】 B【解析】解： 时不成立；B. ， ，则 ，成立；C. ，则
5、 ，因此不成立；D. 时， 故选： B利用不等式的基本性质即可判断出结论本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5. 已知 ， ， ， ， ， ，则 A. 28 B. 76 C. 123 D. 199【答案】 C【解析】解：由题意可得， ， ， ，则 ， ， ， ，故选：123根据各个值归纳出：从第三项起，每一项都等于前两项之和，根据数据依次求出 的值本题考查归纳推理，难点是根据已知的式子找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳- 4 -的能力，是基础题6. 用反证法证明命题：“已知 ，若 ，则 中至少有一个不小于 2”时，假设正确的是 A. 都不小于 2 B. 都大
6、于 2 C. 都小于 2 D. 都不大于 2【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键，由此得出结果 【解答】解：原命题结论的否定为 都小于 2，故选 C7. 化极坐标方程 为直角坐标方程为( )A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程 根据 ， 进行解答【解答】解：因为 ，所以 ， ，所以化极坐标方程 为直角坐标方程为 故选 C8. 直角坐标系下点 的极坐标为 A. B. C. D. 【答案】 C- 5 -【解析】【分析】本题考查极坐标与直角坐标的互化 ，属基础题，根
7、据极值互化公式求解【解答】解： ，又 ， ，为第二象限角，直角坐标系下点 的极坐标为故选 C 9. 在极坐标系中，点 到直线 的距离为 A. 1 B. C. 2 D. 3【答案】 A【解析】【分析】本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线距离公式的应用【解答】解：点 极坐标化为直角坐标 ，直线的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ，由点到直线距离公式 故选 A10. 参数方程 为参数 所表示的曲线是 - 6 -A. B. C. D. 【答案】 D【解析】解： ， 与 y 同号 除外 ，将 代入 消掉参数 t 得： ；故选： D根据 可知 x 与 y 同号 除外 ，将 代入 消掉参数 t 后即可
8、判断本题考查圆的参数方程，易错点在于对“ x 与 y 同号 除外 ”的判断与应用，也是本题的难点，属于中档题11. 是曲线 为参数 上任意一点，则 的最大值为 A. 6 B. 5 C. 36 D. 25【答案】 C【解析】【分析】本小题主要考查圆的参数方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想 属于基础题由题意得：曲线 为参数 ，表示圆心在 ，半径为 1 的圆，此圆上一点到点 的距离的最大值的平方即为 的最大值，再利用图形得出，圆上一点 到点 的距离的最大值等于此点到圆心的距离加上半径，从而得出的最大值- 7 -【解答】解：由题意得：曲线 为参数 ，
9、消去参数 得：表示圆心在 ，半径为 1 的圆，此圆上一点 到点 的距离的最大值的平方即为 的最大值，圆上一点 到点 的距离的最大值等于：，则 的最大值为 36故选 C12. 已知 ，设对任意 n 个不同的实数 ，当 时，满足 ，则 M 的最小值是 A. 17 B. 16 C. 1 D. 0【答案】 A【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，涉及不等式恒成立问题，绝对值的性质，属创新性问题，难度困难u 先求出 的单调性和最小值及端点值，统筹安排调整，可求得的最大值，然后根据不等式恒成立思想，得到 M的最小值【解答】解：对于函数 x ：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ，设有
10、n 个不同的数，满足 ， 在 上的 ， ，2， ， k， 时表示这个区间内没有 - 8 -，在 上的 ， ， ， ， n， 时表示这部分不存在 ，则 ，当 ， ， x3 ， ， 中有一个等于 1 时，上式中的“ ”处取等号，的最大值为 17，恒成立，的最小值是 17故选 A二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 的解集是_ 【答案】【解析】解： ，或 ，解得 或 ，不等式 的解集是： 故答案为： 利用绝对值不等式的解法可知， 或 ，从而可得答案本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想，属于基础题14. 不等式 的解集为_【答案】 且【解析】 ，- 9 -，且 ，且 15.
11、 下列命题：设 a， b 是非零实数，若 ，则 ；若 ，则 ；函数 的最小值是 2；若 x、 y 是正数，且 ，则 xy 有最小值 16；已知两个正实数 x， y 满足 ，则 的最小值是 其中正确命题的序号是_【答案】【解析】解： 设 a， b 是非零实数，若 ，则 ，此结论不成立，反例：令 ， ，则 ，故 不成立；若 ，由同号不等式取倒数法则，知 ，故 成立；函数 的前提条件是 ， ， 函数 y 的最小值不是 2，故 不正确；、 y 是正数，且 ， ， ，故 正确，两个正实数 x， y 满足 ， ，即 ， ，当且仅当 ， 时取等号，故 不正确，故答案为： 的结论不成立，举出反例即可；由同号不
12、等式取倒数法则，知 成立；- 10 -分别利用基本不等式即可判断本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成立的条件等知识点的灵活运用16. 圆 C： 上的动点 P 到直线 l： 的最短距离为_ 【答案】【解析】解：圆 C： ，即 ，化为 ，配方为 ，可得圆心 ，半径 直线 l： 化为 ，化为 圆心 C 到直线 l 的距离 ，圆 C 上的动点 P 到直线 l 的最短距离 故答案为： 圆 C： ，即 ，利用 即可化为直角坐标方程，可得圆心 C，半径直线 l： 展开即可化为直角坐标方程 求出圆心 C 到直线 l 的距离 d，即可得出圆 C 上的动点 P 到直线 l 的最短
13、距离 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知关于 x 的方程 有实数根 b。求实数 a， b 的值；若复数 z 满足 ，求当 z 为何值时， 有最小值 并求出 的最小值。【答案】解： 是方程 的实根，解之得 设 ，由 ，- 11 -得 ，即 ，点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，如图所示，如图，当 z 点在 的连线上时， 有最大值或最小值，半径 ，当 时有最小值且 【解析】本题考查复数相等；考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方
14、法 是有一定难度的中档题目复数方程有实根，方程化简为 、 ，利用复数相等，即 解方程组即可先把 a、 b 代入方程，同时设复数 ，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出 z，得到 18. 据某市地产数据研究显示，2016 年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3 月至 7 月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采用宏观调控措施，10 月份开始房价得到很好的抑制- 12 -地产数据研究院发现，3 月至 7 月的各月均价 万元 平方米 与月份 x 之间具有较强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程；若政府不调控，依此相关关系预测第 12 月份该市新建
15、住宅销售均价参考数据： ， ， ；回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】解： 由题意，得出下表；月份 x 3 4 5 6 7均价 y 计算 ， ， ，从 3 月到 6 月， y 关于 x 的回归方程为 ；利用 中回归方程，计算 时， ；即可预测第 12 月份该市新建住宅销售均价为 万元 平方米- 13 -【解析】本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键由题意，计算 、 ，求出回归系数 、 ，即可写出回归方程；利用 中回归方程，计算 时 的值即可19. 教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选
16、择甲、乙两个同轨班级进行实验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面 列联表： 单位：人优秀人数 非优秀人数 总计甲班 22 8 30乙班 8 12 20总计 30 20 50能否据此判断有 的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关？经过多次测试后，小明正确解答一道数学题所用的时间在 分钟，小刚正确解答一道数学题所用的时间在 分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明先正确解答完的概率；现从乙班成绩优秀的 8 名同学中任意抽取两人，并对他们的大题情况进行全程研究，记 A、 B 两人中被抽到的人数为 X
17、，求 X 的分布列及数学期望 附表及公式k【答案】解： 由表中数据计算 的观测值： 所以根据统计有 的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关；设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为 x、 y 分钟，则基本事件所满足的条件是 所表示的平面区域；- 14 -设事件 A 为“小刚比小明先解答完试题”，则满足的区域为 ；由几何概型的概率，计算 ，小刚比小明先正确解答完的概率是 ；根据题意， X 的所有可能取值为 0，1，2，则 ， ，；的分布列为：X 0 1 2PX 的数学期望为 所以 【解析】 由表中数据计算 ，对照临界值得出结论；设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为 x、 y 分
18、钟，写出基本事件所满足的平面区域，由几何概型计算概率值；由题意写出 X 的所有可能取值，计算对应的概率，求出 X 的分布列和数学期望本题考查了独立检验以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法问题，是综合题20. 已知函数 讨论 的单调性； 若 有两个零点，求 a 的取值范围【答案】解： 由 ，可得 ，当 时，由 ，可得 ；由 ，可得 ，即有 在 递减；在 递增；当 时，若 ，则 恒成立，即有 在 R 上递增；若 时，由 ，可得 或 ；- 15 -由 ，可得 即有 在 ， 递增；在 递减；若 ，由 ，可得 或 ；由 ，可得 即有 在 ， 递增；在 递减； 由 可得当 时， 在 递减；在 递增，
19、且 ， ， ； ， 有两个零点；当 时， ，所以 只有一个零点 ；当 时，若 时， 在 递减，在 ， 递增，又当 时， ，所以 不存在两个零点；当 ， 在 R 上递增，所以 不存在两个零点；当 时， 在 ， 递增，在 递减；由 ， ，所以 不存在两个零点综上可得， 有两个零点时， a 的取值范围为 【解析】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力 求出 的导数，讨论当 时， 时， 时， ，由导数大于 0，可得增区间；由导数小于 0，可得减区间； 由 的单调区间，对 a 讨论，结
20、合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围21. 已知 ，命题 P：对任意 ，不等式 恒成立；命题 q：存在，使得 成立- 16 - 当 ， p 且 q 为假， p 或 q 为真时，求 m 的取值范围； 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【答案】解 对任意 ，不等式 恒成立即 解得即 p 为真命题时， m 的取值范围是 ，且存在 ，使得 成立即命题 q 为真时，且 q 为假， p 或 q 为真，、 q 一真一假当 p 真 q 假时，则 ，即 ，当 p 假 q 真时，则 ，即 ，综上所述， 或 当 时显然不合题意，当 时，存在 ，使得 成立命题 q 为真时是 q 的充分不
21、必要条件，当 时，存在 ，使得 成立命题 q 为真时是 q 的充分不必要条件综上所述， 或 【解析】 当 ，根据 p 且 q 为假， p 或 q 为真时，求出命题的等价条件即可求 m 的取值范围； 若 p 是 q 的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数 a 的取值范围本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键- 17 -22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，若直线 l 的极坐标方程为 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；已知 P 为椭圆 C： 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值【答案】解： 直线
22、 l 的极坐标方程为 ，整理得： ，即 ，则直角坐标系中的方程为 ，即 ；设 ，点 P 到直线 l 的距离 ，则 P 到直线 l 的距离的最小值为 【解析】 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；设 ，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可此题考查了简单曲线的极坐标方程，熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是解本题的关键23. 设函数 ， 当 时，求不等式 的解集；若 对 恒成立，求 a 的取值范围【答案】解： 当 时，不等式 ，即 ，等价于 ，或 ，或 ，解得： 或 故不等式 的解集为 ，或 分因为 当 时等号成立所以： 分- 18 -由题意得： ，解得 ，或 分【解析】 不等式即 ，等价于 ，或 ，或 ，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求因为 ，由题意可得 ，与偶此解得 a 的值本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题
