1、12019 届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题
2、卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、填空题1设集合 A ，B1，0，1，2，4，则 A B_|20 ()=3_13已知正数 a， b， c 满足 ，则 的最大值为_2+2(+)=0+14若存在正数 x， y，使得 ，其中 e 为自然对数的底数，则实数(2)()+=0的取值范围是_ 二、解答题15如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PCD平面 ABCD，M 为 PC 中点求证：（1
3、）PA平面 MDB；（2）PDBC16已知 ， ， ， ， ， (02) (2 )=13 (+)=4 26（1）求 的值；2此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2（2）求 的值17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成 RtFHE，H 是直角项点)来处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口 H是 AB 的中点，E，F 分别落在线段 BC，AD 上已知 AB20 米，AD 米，记BHE 103 （1）试将污水净化管道的长度 L 表示为 的函数，并写出定义域；（2）当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度
4、L18在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O： 与坐标轴分别交于 A1，A 2，B 1，B 2(如图)2+2=4（1）点 Q 是圆 O 上除 A1，A 2外的任意点(如图 1)，直线 A1Q，A 2Q 与直线 交于不同的+3=0两点 M，N，求线段 MN 长的最小值；（2）点 P 是圆 O 上除 A1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图 2)，直线 B2P 交 x 轴于点 F，直线 A1B2交 A2P 于点 E设 A2P 的斜率为 k，EF 的斜率为 m，求证：2 m k 为定值（图 1） （图 2）19设函数 ，其中 x0， k 为常数， e 为自然对数的底数()=33（1）当 k0 时，
5、求 的单调区间；()（2）若函数 在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数 k 的取值范围；()（3）证明：对任意给定的实数 k，存在 ( )，使得 在区间( ， )上单调递增000 () 0 +20若数列 同时满足：对于任意的正整数 n， 恒成立；若对于给定的正整数 +1k， 对于任意的正整数 n(n k)恒成立，则称数列 是“R( k)数列”+=2 （1）已知 ，判断数列 是否为“R(2)数列”，并说明理由；=21， 为 奇数2， 为 偶数 （2）已知数列 是“R(3)数列”，且存在整数 p(p1)，使得 ， ， ， 33 31 3+1成等差数列，证明： 是等差数列3+3 21二阶矩阵 M
6、 对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵 M 的逆矩阵 ；M1（2）设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m： ，求 l 的方程2=422在极坐标系中，设圆 上的点到直线 的距离为 d，求 d 的最大=3 (+3)=2值23如图，已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OBOC2，E 是 OC的中点（1）求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值；（2）求二面角 ABEC 的余弦值24已知 ， ()=(1+) （1）若 ，求 中含 x2项的系数；()=4()+25()+36() ()（2）若 是 展开式中所有无理项的
7、系数和，数列 是由各项都大于 1 的数组成的数列， () 试用数学归纳法证明： (12+1)(1+1)(1+2)(1+)2019 届 江 苏 省 南 京 金 陵 中 学高 三 第 一 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题数 学 答 案参考答案11，2【解析】【分析】先化简集合 A，然后求交集即可.【详解】集合 A ，又 B1，0，1，2，4|20 +( 2， ) = cos(+)= 1sin2(+)= 1(4 26 )24+ 26由 得： =+ cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin= =(4+ 26 )(13)+(223)(4 26 ) 22 .(0 ， )=417（
8、1） ， ； （2） 或 时，L 取得最大值为=10+16,3. =6 =3米.20(3+1)【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得 EH、FH、EF 的解析式，再由 L=EH+FH+EF 得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明 的范围（2）设 sin+cos=t，根据函数 L= 在 ， 上是单调减函数，可求得 L 的最大201 3+12 2值所以当 时，即 或 时，L 取得最大值为 米=3+12 =6 =3 20(3+1)【详解】由题意可得 ， ， ，由于 ，(1)=10=10= 10=10103，=10103所以 ， ，333 6,3，=10+10+ 106,3.即 ，=10+1
9、6,3.设 ，则 ，由于 ，(2)+=212 6,3+=2(+4)3+12 , 2.由于 在 上是单调减函数，=201 3+12 , 2当 时，即 或 时，L 取得最大值为 米=3+12 =6 =3 20(3+1)18（1）2；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）设 A2Q 的斜率为 k，求出直线 A1Q 和 A2Q 的方程，得出 M，N 的坐标，从而得出 MN 关于 k的表达式，进而得出 MN 的最小值；（2）求出直线方程，得出 E、F 的坐标，进而得出 m 与 k 的关系，从而得出结论【详解】(1)由题设可以得到直线 的斜率存在设方程为 ,2 =(2)(0)直线 的方程为 ,1=1(+
10、2)由 ,解得 ;由 ,解得=(2)+3=0 =23=3 =1(+2)+3=0 =32=3 所以,直线 与直线 的交点2 +3=0(23,3)直线 与直线 的交点 ,所以 .1 +3=0 (32,3)=|3+34|当 时, ,等号成立的条件是0=|3+34|64=2 =1当 时, ,等号成立的条件是 .0 0所以，当 时， ；当 时， ，3 ()0 00 ()在区间（2,3）上单调递增.又 ， ，(2)=24 (3)=390 240 ()3()(3)(3)=3270) (3)3当 时， .3()=(3)(2)4 (3)(3)32)4 =(3)(3)2设 为 3 和 中较大的数，则当 时， ，0
11、(3) 0 ()0所以对任意给定的实数 ，存在 ，式得 在区间 上单调递增. 0(00) () (0,+)20（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当 为奇数时， ，所以 . +1=2(+1)(21)=30 +1.2+2=2(2)1+2(+2)1=2(21)=2当 为偶数时， ，所以 . +1=(2+1)2=10 +1.2+2=2(2)+2(+2)=4=2所以，数列 是“ 数列”. (2)（
12、2）由题意可得： ，3+3=2则数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，1 4 7 1数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，2 3 8 2数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 .3 6 9 3因为 ，所以 ，+1 3+13+23+4所以 ，1+12+21+(+1)1所以 ， .(21)12 (21)12+1若 ，则当 时，不成立；211221若 ，则当 时，不成立；21012+121若 ，则和都成立，所以 .21=0 1=2同理得： ，所以 ，记 .1=3 1=2=3 1=2=3=设 ，3133=3+131=3+33+1=则 3132=31+()(3+1+(1).=313+1+=
13、同理可得： ，所以 .331=3+13= +1=所以 是等差数列.【另解】 ， =3133=2+(1)(3+(2)=23+，=3+131=1+(2+(1)=12+，=3+33+1=3+(1+)=31以上三式相加可得： ，所以 ，3=2=23所以 ，32=1+(1)=1+(32+1)3，31=2+(1)=1+(1)=1+(311)3，3=3+(1)=1+(1)=1+(31)3所以 ，所以 ，=1+(1)3 +1=3所以，数列 是等差数列.21（1） ；（2） 。1=2 132 12 +4=0【解析】【分析】（1） ，由已知二阶矩阵 M 对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点= （1，1
14、）与（0，2）可构造关于 a，b，c，d 的四元一次方程组，解方程组可得矩阵 M，进而得到矩阵 M 的逆矩阵 M1 ；（2）由（1）中矩阵 M 及直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：2xy=4，构造关于 x，y 的关系式，整理后可得 l 的方程【详解】（1）设 ，则有 ，= 1 1=1 1 ， 2 1=0 2所以 ，=1=1 ，且 2+=02+=2 解得 =1=2=3=4 所以 ，从而 . =1 23 4 1=2 132 12（2）因为 ，且 ， =1 23 4 :2=4所以 ，即 ，这就是直线 的方程。2(+2)(3+4)=4 +4=0 【点睛】本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直
15、线的一般式方程等基础知识，属于基础题224【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程，得圆：x 2y 29.极坐标方程 (cos sin)2 化为普通方程，得直线：x y2.3 3在 x2y 29 上任取一点 A(3cos，3sin)则点 A 到直线的距离为 d ，|3 33 2|2 |6（ 30） 2|2所求 d 的最大值为 4.23（1） ；（ 2） 。25 23【解析】【分析】（1）先以 O 为原点，OB，OC，OA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设出点的坐标，求出直线直线 BE 与 AC 的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值；（2）
16、先分别求得平面 ABE 的法向量和平面 BEC 的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可【详解】（1）以 为原点， ， ， 分别为 轴建立空间直角坐标系， ,则有 ， ， ， .(0,0,1) (2,0,0) (0,2,0) (0,1,0)，=(2,0,0)(0,1,0)=(2,1,0). =(0,2,1). = 25 5=25由于异面直线 与 所成的角是锐角，故其余弦值是 . 25（2） .=(2,0,1) ， =(0,1,1)设平面 的法向量为 ， 1=(,)则由 ，得1 ， 1 2=0,=0. 取 .1=(1,2,2)同理可得平面 的一个法向量为 ， 2=(0,0,1). =12
17、|1|2|= 21+4+4=23由于二面角 的平面角是 与 的夹角的补角，其余弦值是 . 1 22324（1）56；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）确定函数 g（x），利用二项式定理可得 g（x）中含 x2项的系数；（2）确定 pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证 n=1 时成立，再设 n=k 时成立，利用归纳假设证明 n=k+1 时成立即可【详解】（1） ，()=4()+25()+36()=(1+)4+2(1+)5+3(1+)6 中含 项的系数为 . () 2 44+245+346=1+10+45=56（2）证明：由题意， . =21当 时， ，成立；=1 1(1+1)=1+1假设当 时， 成立，= (12+1)(1+1)(1+2)(1+)当 时，=+1 (1+1)(1+2)(1+)(1+1)21(12+1)(1+1),=21(12+1+12+1+1).() ， ，即 ，1 12(+11)+11 12+1+112+1代入（*）式得 成立.(1+1)(1+2)(1+)(1+1)2(12+1+1)综合可知， 对任意 成立. (12+1)(1+1)(1+2)(1+)
