1、- 1 -2018-2019 学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，请把答案直接写在答题纸的指定位置上）1.命题“ x3 ，x 29”的否定是_【答案】【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 的否定是： ，故答案为 2.“x1”是“x 21”的_条件（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ）【答案】充分不必要【解析】【分析】化简不等式 ，直接利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由 得 或 ，“ ”能推出“ ”“ ”不能推出“ ”，即“ ”是“ ”的充分不必
2、要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.函数 f（x）x 2在区间1，1.1上的平均变化率是_【答案】2.1【解析】【分析】- 2 -利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值,再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.【详解】 ，该函数在区间 上的平均变化率为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.4.已知函数 f（x）2e xx 的导数为 ，则 的值是_【答案】1【解析】【分析】先求出导函数,再将 代入计算即可.【详解】因为函数所以导
3、函数为 ,则 ，故答案为 1.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式和导数值的求解方法，属于基础题.5.已知直线 l1：ax+4y+40，l 2：x+ay+20，若 l1l 2，则 a 的值是_【答案】【解析】【分析】由利用两条直线平行斜率相等,列方程可求得 的值.【详解】 直线 ，时，不满足条件 ，由 ，可得 ，求得 ，故答案为-2 .【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下， （1） （ ） ；（2） （- 3 -） ，这类问题尽管简单却容易出错，特别
4、是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6.已知点 A（1，2） ，B（3，4） ，若直线 x+ky+50 与线段 AB 有公共点，则实数 k 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由直线 经过定点 ， 利用 ，结合斜率公式，解不等式即可得结果.【详解】因为直线 经过定点 ，直线 与线段 有公共点，解得 ，故答案为 .【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了直线过定点问题，属于基础题.7.若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值是.【答案】0【解析】约束条件 的可行域如图所示，即ABC 部分，- 4 -目标函数 过 A（0,O3）时值最大，最大值为 1-1=0.【考点
5、】线性规划.8.已知双曲线 x2y 2k 的一个焦点是抛物线 y216x 的焦点，则 k 的值是_【答案】8【解析】【分析】由抛物线方程 可得焦点坐标为 ，从而可得 ，利用 得到结果.【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故双曲线 的焦点在 轴，即 ，且 ，双曲线 的标准方程为 ，故 ，解得 ，故答案为 8 .【点睛】本题主要考查的知识点是双曲线的方程与性质以及拋物线的方程与性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.9.若圆 x2+y24 与圆 x2+y216x+m0 相外切，则实数 m 的值是_【答案】28【解析】【分析】利用圆心距等于两圆半径之和列方程求解即可.【详解】 化为 ，
6、所以 的圆心为 ，半径 ，- 5 -圆心距 ，解得 ，故答案为 28 .【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题. 两圆半径为 ，两圆心间的距离 ，比较 与 及 与 的大小，即可得到两圆的位置关系.10.若经过椭圆 的焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 ，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由 ，结合过焦点垂直于 轴的弦长为 ，建立方程，然后求出椭圆的离心率.【详解】因为过椭圆 的焦点垂直于 轴的弦长为 ，由 ，又 ，所以椭圆的离心率为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质，椭圆离心率的求法，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也
7、是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出 ;构造 的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，若在椭圆上存在点 P 使得 ，且PF 1F2的面积是 2，则 a2的值是_【答案】6【解析】- 6 -【分析】由椭圆定义知 ，由 ，可知 ，利用 的面积为 2 可得 ，结合 可得 .【详解】根据椭圆定义知 ，由 ，得 为直角三角形，又 的面积为 2，则 ，可得 ，由 可得即 ，故答案为 6.【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆的几何性质，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图
8、形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知圆（x3） 2+（y4） 24 的圆心为 C，点 P，Q 在圆上，若CPQ 的面积是 ，则 C到直线 PQ 的距离为_【答案】1 或【解析】【分析】设 到直线 的距离为 ，根据圆的弦长公式，利用三角形面积公式可得，结合 可得 的值.- 7 -【详解】根据题意，设 到直线 的距离为 ，圆 的半径 ，若 的面积是 ，则 ，即 ，解可得 或 ，故答案为 或 .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式的应用，属于基础题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式 ，结合韦达定理求解；二是利用半
9、弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13.在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 ， ,若直线 x-y+m=0 上存在点 P，使得2PA=PB,则实数 m 的取值范围为_【答案】【解析】设 P(x,y), 由 2PA=PB，得 ，化简得 ，所以即直线与圆有交点。 ，解得 m 的范围为 填 。【点睛】对于满足条件轨迹不能很好转化几何意义时，我们就用直接法求出所求点的轨迹方程。再进行问题处理。14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 t 2y21（t2，3）的右焦点为 F，过 F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为 H，则OFH 面积的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据双曲
10、线的简单性质和渐近线方程，以及点到直线的距离公式求出 ，表示出三角形的面积，构造函数，利用导数求出函数的最值.【详解】在双曲线 中 ，- 8 -，右焦点为 ，渐近线方程为 ， ，面积 ，令 ，解得当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，故 面积的取值范围为 ，故答案为 .【点睛】本题考查了双曲线的方程与简单性质，以及利用导数判断函数的单调性、求函数最值，属于难题.求函数 最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 判断 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增
11、） ，那么 在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处既是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分。需写出必要的解答过程）15.已知 p：方程 表示双曲线，q： 表示焦点在 x 轴上的椭圆（1）若“p 且 q”是真命题，求实数 m 的取值范围；- 9 -（2）若“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或【解析】【分析】(1)求出命题 为真命题时 的取值范围，再根据“ 且 ”是真命题列不等式组，求出 的取值范围；(2)当“ 且 ”是假命题, “ 或
12、 ”是真命題时， 真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围【详解】 （1）命题 p：方程 表示双曲线，则 ，解得 ；命题 q： 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 20， ， ，其中 ，当 时， ，在区间 上， ，在区间 上， ，- 14 -故 在（0，1）递减，在 递增；当 时， ，在区间 和 上， ，在区间 上， ，故 在 ， 递增，在 递减，当 时， ，在区间 上， ， （仅在 时， ） ，故 在 递增，无递减区间，当 时， ，在区间（0，1）和 上， ，在区间 上，故 在（0，1）和 递增，在 递减.综上:当 时
13、, 在（0，1）递减，在 递增；当 时， 在 ，递增，在 递减，当 时， 在 递增，无递减区间，当 时， 在（0，1）和 递增，在 递减.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及由单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围.20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 离心率是 ，焦点到相应准线的距离是 3- 15 -（1）求椭圆的方程；（2）如图，设 A
14、 是椭圆的左顶点，动圆过定点 E（1，0）和 F（7，0） ，且与直线 x4 交于点 P，Q求证：AP，AQ 斜率的积是定值；设 AP，AQ 分别与椭圆交于点 M，N，求证：直线 MN 过定点【答案】 （1） ；（2）见解析；见解析.【解析】【分析】(1)由椭圆的离心率得到 ，结合焦点到相应准线的距离可求出 的值，进而求出 的值，即可得出椭圆的方程；(2) 设动圆圆心坐标为 ,进而写出动圆的方程，将直线 的方程代入圆的方程，得出点 两点的纵坐标之积，再利用斜率公式可得出 的斜率之积为定值；设直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭圆的方程联立，可得，由 两点的纵坐标之积为 ,结合韦达定理计算出 ，
15、从而得出直线 过定点 .【详解】 （1）设椭圆的焦距为 ，由题意可得 ，所以， ，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为 ，得 c=1，所以，因此，椭圆的方程为 ；（2）设动圆的圆心坐标为 ，则圆的方程为 ，- 16 -设点 ，令 ，可得 ，则 AP、AQ 的斜率之积为 （定值） ；设直线 MN 的方程为 ，设点将直线 MN 的方程代入椭圆方程并化简得 ，由韦达定理可得因为 A、M、P 三点共线，则 ，由于 ， ，所以 ，则 ，同理可得由，解得 t=1，因此，直线 MN 过定点（1，0）.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及直线过定点问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.- 17 -
