1、1新疆第二师华山中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 角的终边落在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据角的定义判断即可【详解】 ，故为第一象限角，故选 A。【点睛】判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可。2. 下列四个函数之中，在（0，）上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
2、解析】【分析】为减函数， 的对称轴为 ，所以不单调， 在 为减函数。【详解】 为减函数， 的对称轴为 ，所以不单调， 在为减函数。故选 C【点睛】基本初等函数的单调性学生要熟练掌握。3.已知函数 ，若 ，则 a 的值是 A. 3 或 B. 或 5 C. D. 3 或 或 5【答案】B【解析】2【分析】根据函数的表达式，直接将 a 代入两段的解析式，解方程即可.【详解】若 a0，则 f（ a）= a2+1=10，解得 a=3（ a=3 舍去） ；若 a0，则 f（ a）=2a=10，解得 a=5综上可得， a=5 或 a=3，故选 B【点睛】已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即
3、可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制4.设 ， ， ，则， ，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】， ， 得解。【详解】 ， ， ，所以 ，故选 D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法。5.若 ，且 为第四象限角，则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】sin a= ,且 a 为第四象限角, ，则 ，故选：D.【此处有
4、视频，请去附件查看】36.函数 的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 0 得： x(,2)(4,+)，令 t= ，则 y=lnt， x(,2)时, t= 为减函数；x(4,+)时, t= 为增函数；y=lnt 为增函数，故函数 f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+)，故选：D.点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函数.当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增；当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减；当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减；当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.简称为“同增异减”.7.
5、在 上满足 的 x 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求 时， ，再判断不等式的解集【详解】 时，解得 ，则 ，那么 ，故选 B4【点睛】解三角不等式，先解三角方程，利用三角的图像判断不等式的解集。8.函数 且 图象一定过点 A. B. C. D. 【答案】C【解析】f(x)=a x-3+1（a0，且 a1） ，当 x-3=0，即 x=3 时，f(3)=a 0+1=2，函数 f(x)=ax-3+1（a0，且 a1）的图象一定过定点（3，2）.故选 C.9.已知 ，则 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因 ，故应选答案 C 。10.若角 ，则
6、 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ，因为，所以 ，所以原式 ，故选A.考点：三角函数恒等变形与化简11.已知 ，则函数 的零点个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 2,3 或 4【答案】A【解析】5函数 的零点个数，等于函数 和函数 的图象的交点个数。如图所示，数行结合可得，函数 和函数 的图象的交点个数为 ，故 时，函数 的零点个数为故选点睛：本题主要考查的是函数的零点与方程根的关系。函数 的零点个数，等于函数 和函数 的图象的交点个数，然后画出图象，结合图象得出结论。12.已知函数 是定义域上的单调增函数，则 a 的取值范围是 A. B. C. D.
7、【答案】A【解析】【分析】单增， ； 单增 ，且 ，解不等式即可。【详解】 单增， ； 单增 ，且，解得 ，所以 。故选 A。【点睛】研究分段函数的单调性，每一段都保持单调性且在分隔处也有单调性。二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.若 且 ，则 _.【答案】【解析】若 且 ，则 ，且 .6故答案为： .14.函数 的定义域为_【答案】【解析】【分析】且 解不等式即可。【详解】 且 ，由此解得 ,故填【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于 0。15.若函数 ，方程 有两解，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】【解析】【分析】利用图像求解函数的零点个数问题。【详解
8、】二次函数的最高点为 ，有图可知 与函数有两个交点，则取值范围为【点睛】分段函数的实质是将几个基本函数分段的陈列出来，定义域取不同的范围，所以综合性很强，可以将高中体系的任何一个函数及其知识点吸纳进来，要求学生储备的知识很多，不易入手。研究分段函数的性质，实质是研究分段函数的图像，故分段函数题型的方法用数形结合法。分段函数的研究方法很好的体现了研究函数性质的方法故是高考的热门考点。16.函数 ， 的所有零点之和为_ 【答案】【解析】7【分析】将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题，利用图像求解。【详解】由图可知函数 ， 的交点关于 对称，所以两对称点交点的横坐标之和为-2，故所以的交点横坐
9、标之和为-4.【点睛】函数的零点，方程的根往往转化为两个函数图像的交点利用数形结合法进行研究，灵活的将原有的函数分拆成两个基本初等函数，再研究两函数的问题。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 不使用计算器，计算下列各题：（1） ；（2） 【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出试题解析：（1）原式（2）原式考点：指数幂的运算，对数的运算818.已知函数 ，若 ；求 a 的值； 求 的值； 解不等式 【答案】 （1） ； （2）2 ； （3） .【解析】【分析】（1）根据 解参数 a。（2）将 代入函数
10、求解即可（3）利用对数函数的单调性求解。【详解】 ， ，即 解锝：由 得函数 ，则不等式 ，即为 化简不等式得 函数 在 上为增函数，且 的定义域为 R即 ，解得 ，所以不等式的解集为：【点睛】解对数方程和对数不等式是常见考法，根据单调性有效的化简不等式，再转化为与真数有关的不等式。19. 已知扇形的周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【答案】 （1） ； （2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100【解析】9【分析】（1）根据扇形的面积与弧长的关系求解（2）根据扇形的面积与弧长的关系，列出
11、面积与半径的函数表达式，求解最值。【详解】 设扇形的弧长为： l，半径为 r，所以 ，解得： ，扇形的圆心角的弧度数是： ；设扇形的半径和弧长分别为 r 和 l，由题意可得 ，扇形的面积 当 时 S 取最大值，此时 ，此时圆心角为 ，当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100【点睛】扇形的弧长公式为 ，面积公式 ，扇形的周长公式20.已知 ， 的值 求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将条件平方得 ，从而得 ，进而由可得解；（2）由 ，可得 从而得解.试题解析： , ,又 ， ， .10 ，21.某创业团队拟生产 两种产品，根据市场预测， 产品
12、的利润与投资额成正比（如图 1） ， 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)（注：利润与投资额的单位均为万元）(1)分別将 两种产品的利润 、 表示为投资额 的函数；(2)该团队已筹集到 10 万元资金，并打算全部投入 两种产品的生产，问:当产品的投资额为多少万元时，生产 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少?【答案】 （1） ， ；（2）6.25, 4.0625.【解析】试题分析：（1）由 产品的利润与投资额成正比， 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的
13、结论，我们设 产品的投资额为 万元，则 产品的投资额为 万元，这时可以构造出一个关于收益 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.试题解析：(1) ,.(2) 设 产品的投资额为 万元，则 产品的投资额为 万元，创业团队获得的利润为 万元，则 ,令 ， ，即 ，当 ，即 时， 取得最大值 4.0625.答:当 产品的投资额为 6.25 万元时，创业团队获得的最大利润为 4.0625 万元.1122.已知函数 ，其中 若 时，求函数 的零点；当 时，求证：函数 在 内有且仅有一个零点【答案】 （1）当 时，函数 的零点为 ，或 ，或 ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）若 时， ，通分求
14、解方程的根即为函数的零点。（2）当 时， ，由函数 转化为证明方程 有唯一的零点，根据二次函数的单调性和在 y 轴上的截距说明有唯一零点。【详解】 当 时，函数 ，令 ，可得可得 ，或 ，解得 ，或 ，或 综上可得，当 时，函数 的零点为 ，或 ，或 证明： 当 时， ，由函数 得： ，记 ，则 的图象是开口朝上的抛物线，由 得：函数 在 内有且仅有一个零点函数 在 上有唯一零点。【点睛】学生需要熟练掌握二次函数的性质以及三个“二次”之间的关系，其中二次函数为轴对称图形，对称轴为 ，开口与 值有关， 开口向上， 开口向下，函数与 的交点为函数的零点，对称轴的左右两侧的单调性相反，最低点的坐标为.12
