1、1广东省汕头市金山中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 )1、复数 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部是( )=(3+2)(3)A.-3 B.3 C. D. 3 -32、若 , , ,则 , , 的大小关系为 1=2122=2113=21 1 2 3 ( )A. B. C. D. 10,0) 1(,0)2(,0)线 C 右支上一点,且 若直线 与圆 相切,则双曲线的离心率为 |2|=|12|. 1 2+2=2 ()A. B. C. 2 D. 343 531
2、2、已知 a 为常数,函数 有两个极值点 则()()=(ln) 1,2(112 (1)0,(2)0,(2)12二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)13、已知复数 为虚数单位 ,那么 z 的共轭复数为_ =2+1( )14、甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门 则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有._ 种15、记等差数列 得前 n 项和为 ,利用倒序相加法的求和办法,可将 表示成首项 ,末 1项 与项数的一个关系式,即 ;类似地,记等比数列 的前 n 项积为 ,=(1+)2 ,类比等差数列的求和方法,可将 表示为首项 ,末项 与项数的一个关系式,0()
3、1 即公式 _ =316、已知 的三个内角 A, B, C 的对边依次为 a, b, c,外接圆半径为 1,且满足,则 面积的最大值为_=2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17、(本小题满分共 12 分)设 是数列 的前 n 项和,已知 , 1=1 =22+1求数列 的通项公式;(1) 设 ,求数列 的前 n 项和 (2)=(1)12 18、(本小题满分共 14 分)已知函数 ()=133+2()当 时,求曲线 在 处的切线方程;(1)=1 ()(2,(2)过点 作 的切线,若所有切线的斜率之和为 1,求实数 a 的值(2) (2,0)=(
4、)19、(本小题满分共 14 分)如图,在四棱锥 中,底面ABCD 为菱形, 平面 ABCD, , , E, F 分 =2 =60别是 BC, PC 的中点 证明: ;( ) 设 H 为线段 PD 上的动点,若线段 EH 长的最小值为 ,求二( ) 5面角 的余弦值420、(本小题满分共 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的离心22+22=1 (0)率为 ,直线 l: 上的点和椭圆 O 上的点的距离的最小值为 122 =2 求椭圆的方程;( ) 已知椭圆 O 的上顶点为 A,点 B, C 是 O 上的不同于 A 的两点,且点 B, C 关于原点对称,( )直线 AB, AC
5、分别交直线 l 于点 E, 记直线 AC 与 AB 的斜率分别为 , . 1 2求证: 为定值; 求 的面积的最小值 12 21、(本小题满分共 16 分)已知函数 (k()=(1) )若 ;1时讨论 ()的 单调 性,并确定其极 值5若对 都有 f(x) 求 k 范围;,2 =|= 23512=155即二面角 的余弦值为 1558 解:由题知 ,由 ,20、( ) =122 =22所以 故椭圆的方程为 ;2=2,2=122+2=1 证明:设 ,则 ,( ) (0,0)(00)022+02=1因为点 B, C 关于原点对称,则 ,(0,0)所以 ;12=0+10 010 =02102 =022
6、02=12解:直线 AC 的方程为 ,直线 AB 的方程为 ,不妨设 ,则 , =1+1 =2+1 10 20令 ,得 ,=2(12,2),(11,2)而 ,=1+1= 412212+1+1=212+1212+1所以, 的面积=12|(2)=12(1112)(2+2121212+1)=122112612+1212+1由 得 ,12=12 2=121则 ,当且仅当 取得等号,=212+121 612+1212+1=31+1216 1=669所以 的面积的最小值为 621、解:(1)f(x)=(lnxk1)x(kR) ,x0, =lnxk,当 k0 时,x1,f(x)=lnxk0,函数 f(x)的
7、单调增区间是(1,+) ,无单调减区间,无极值;当 k0 时,令 lnxk=0,解得 x=ek,当 1xe k时,f(x)0;当 xe k,f(x)0,函数 f(x)的单调减区间是(1,e k) ,单调减区间是(e k,+) ,在区间(1,+)上的极小值为 f(e k)=(kk1)e k=e k,无极大值(2)对于任意 xe,e 2,都有 f(x)4lnx 成立,f(x)4lnx0,即问题转化为(x4)lnx(k+1)x0 对于 xe,e 2恒成立,即 k+1 对于 xe,e 2恒成立,令 g(x)= ,则 ,令 t(x)=4lnx+x4,xe,e 2,则 ,t(x)在区间e,e 2上单调递增
8、,故 t(x) min=t(e)=e4+4=e0,故 g(x)0,g(x)在区间e,e 2上单调递增,函数 g(x) max=g(e 2)=2 ,要使 k+1 对于 xe,e 2恒成立,只要 k+1g(x) max,k+12 ,即实数 k 的取值范围是(1 ,+) 证明:(3)f(x 1)=f(x 2) ,由(1)知,函数 f(x)在区间(0,e k)上单调递减,在区间(e k,+)上单调递增,且 f(e k+1)=0,不妨设 x1x 2,则 0x 1e kx 2e k+1,要证 x1x2e 2k,只要证 x2 ,即证 ,f(x)在区间(e k,+)上单调递增,f(x 2)f( ) ,又 f(x 1)=f(x 2) ,即证 f(x 1) ,构造函数 h(x)=f(x)f( )=(lnxk1)x(ln k1) ,即 h(x)=xlnx(k+1)x+e 2k( ) ,x(0,e k)h(x)=lnx+1(k+1)+e 2k( + )=(lnxk) ,x(0,e k) ,lnxk0,x 2e 2k,即 h(x)0,函数 h(x)在区间(0,e k)上单调递增,故 h(x)h(e k) ,10 ,故 h(x)0,f(x 1)f( ) ,即 f(x 2)=f(x 1)f( ) ,x 1x2e 2k成立