1、1广东省汕头市金山中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ）1、复数 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是（ ）=(3+2)(3)A.-3 B.3 C. D. 3 -32、若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 1=2122=2113=21 1 2 3 ( )A. B. C. D. 10,0) 1(,0)2(,0)线 C 右支上一点，且 若直线 与圆 相切，则双曲线的离心率为 |2|=|12|. 1 2+2=2 ()A. B. C. 2 D. 343 531
2、2、已知 a 为常数，函数 有两个极值点 则（）()=(ln) 1,2(112 (1)0,(2)0,(2)12二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)13、已知复数 为虚数单位 ，那么 z 的共轭复数为_ =2+1( )14、甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门 则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有._ 种15、记等差数列 得前 n 项和为 ，利用倒序相加法的求和办法，可将 表示成首项 ，末 1项 与项数的一个关系式，即 ；类似地，记等比数列 的前 n 项积为 ，=(1+)2 ，类比等差数列的求和方法，可将 表示为首项 ，末项 与项数的一个关系式，0()
3、1 即公式 _ =316、已知 的三个内角 A， B， C 的对边依次为 a， b， c，外接圆半径为 1，且满足，则 面积的最大值为_=2 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17、(本小题满分共 12 分)设 是数列 的前 n 项和，已知 ， 1=1 =22+1求数列 的通项公式；(1) 设 ，求数列 的前 n 项和 (2)=(1)12 18、(本小题满分共 14 分)已知函数 ()=133+2()当 时，求曲线 在 处的切线方程；(1)=1 ()(2,(2)过点 作 的切线，若所有切线的斜率之和为 1，求实数 a 的值(2) (2,0)=(
4、)19、(本小题满分共 14 分)如图，在四棱锥 中，底面ABCD 为菱形， 平面 ABCD， ， ， E， F 分 =2 =60别是 BC， PC 的中点 证明： ；( ) 设 H 为线段 PD 上的动点，若线段 EH 长的最小值为 ，求二( ) 5面角 的余弦值420、(本小题满分共 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的离心22+22=1 (0)率为 ，直线 l： 上的点和椭圆 O 上的点的距离的最小值为 122 =2 求椭圆的方程；( ) 已知椭圆 O 的上顶点为 A，点 B， C 是 O 上的不同于 A 的两点，且点 B， C 关于原点对称，( )直线 AB， AC
5、分别交直线 l 于点 E， 记直线 AC 与 AB 的斜率分别为 ， . 1 2求证： 为定值； 求 的面积的最小值 12 21、(本小题满分共 16 分)已知函数 (k()=(1) )若 ;1时讨论 ()的 单调 性，并确定其极 值5若对 都有 f(x) 求 k 范围;,2 =|= 23512=155即二面角 的余弦值为 1558 解：由题知 ，由 ，20、( ) =122 =22所以 故椭圆的方程为 ；2=2,2=122+2=1 证明：设 ，则 ，( ) (0,0)(00)022+02=1因为点 B， C 关于原点对称，则 ，(0,0)所以 ；12=0+10 010 =02102 =022
6、02=12解：直线 AC 的方程为 ，直线 AB 的方程为 ，不妨设 ，则 ， =1+1 =2+1 10 20令 ，得 ，=2(12,2),(11,2)而 ，=1+1= 412212+1+1=212+1212+1所以， 的面积=12|(2)=12(1112)(2+2121212+1)=122112612+1212+1由 得 ，12=12 2=121则 ，当且仅当 取得等号，=212+121 612+1212+1=31+1216 1=669所以 的面积的最小值为 621、解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kR） ，x0， =lnxk，当 k0 时，x1，f（x）=lnxk0，函数 f（x）的
7、单调增区间是（1，+） ，无单调减区间，无极值；当 k0 时，令 lnxk=0，解得 x=ek，当 1xe k时，f（x）0；当 xe k，f（x）0，函数 f（x）的单调减区间是（1，e k） ，单调减区间是（e k，+） ，在区间（1，+）上的极小值为 f（e k）=（kk1）e k=e k，无极大值（2）对于任意 xe，e 2，都有 f（x）4lnx 成立，f（x）4lnx0，即问题转化为（x4）lnx（k+1）x0 对于 xe，e 2恒成立，即 k+1 对于 xe，e 2恒成立，令 g（x）= ，则 ，令 t（x）=4lnx+x4，xe，e 2，则 ，t（x）在区间e，e 2上单调递增
8、，故 t（x） min=t（e）=e4+4=e0，故 g（x）0，g（x）在区间e，e 2上单调递增，函数 g（x） max=g（e 2）=2 ，要使 k+1 对于 xe，e 2恒成立，只要 k+1g（x） max，k+12 ，即实数 k 的取值范围是（1 ，+） 证明：（3）f（x 1）=f（x 2） ，由（1）知，函数 f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+）上单调递增，且 f（e k+1）=0，不妨设 x1x 2，则 0x 1e kx 2e k+1，要证 x1x2e 2k，只要证 x2 ，即证 ，f（x）在区间（e k，+）上单调递增，f（x 2）f（ ） ，又 f（x 1）=f（x 2） ，即证 f（x 1） ，构造函数 h（x）=f（x）f（ ）=（lnxk1）x（ln k1） ，即 h（x）=xlnx（k+1）x+e 2k（ ） ，x（0，e k）h（x）=lnx+1（k+1）+e 2k（ + ）=（lnxk） ，x（0，e k） ，lnxk0，x 2e 2k，即 h（x）0，函数 h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故 h（x）h（e k） ，10 ，故 h（x）0，f（x 1）f（ ） ，即 f（x 2）=f（x 1）f（ ） ，x 1x2e 2k成立
