1、- 1 -2018-2019学年第二学期三水实验中学高一第一学月考试数学试题时间：120 分钟，满分 150分一、 选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1已知向量 ， ，则 A. B. C. D. 2. 在 中，己知 ，则角 A的值为 A. 或 B. C. D. 或3. 已知等差数列 中， ，则 A. 30 B. 20 C. 40 D. 504. 已知 ， ， ，则 A. A， B， C三点共线 B. A， B， D三点共线C. B， C， D三点共线 D. A， C， D三点共线5. 等差数列 的前 3项和为 20，最后 3项和为 130，所有项的和为 200，则项数 n为
2、 A. 8 B. 6 C. 5 D. 46. 在 中，若 ，则 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输 如图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 的速度沿 AD方向行驶，到达对岸 C点，且 AC与江岸 AB垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）A. B.hkm/2hkm/34C. D. 488. 等差数列 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为 - 2 -A. 130 B. 210 C. 170 D. 2609. 在 中，内角 A， B， C的对边分别是
3、a， b， c，若 ， ，则A. B. C. D. 10. 在 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 ， 的面积为 ，则 A. 4 B. 6 C. 8 D. 1011.若 O为 所在平面内任一点，且满足 ，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形12.已知数列 的前 n项和 满足： ，已知 ， ，则下面结论错误的是 A. ， B. C. 与 均为 的最大值 D. 二、填空题（本大题共 4小题，共 20分）13.在 中，已知 ， ， ，则角 C为_14. 已知平面向量 ， ，且 ，则实数 x的值为_15.朱世杰是历史上最伟大的
4、数学家之一，他所著的 四元玉鉴 卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤 只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日” 其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3升，共发出大米 40392升，问修筑堤坝多少天” 这个问题中，前 5天一共应发大米_升16. 如图， A， B， C， D为平面四边形 ABCD的四个内角，若 ， ， ， ，则四边形 ABCD面积是 _ - 3 -三、 解答题：（共 70分）17. （10 分）记 为
5、等差数列 的前 n项和，已知 ，求 的通项公式；求 ，并求 的最小值18.（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 ， 求角 B的大小；若 ， ，求 c边的长和 的面积19.（12 分）已知向量 不共线，且满足 ， - 4 -若 ，求实数 k的值；若 求向量 与 夹角的余弦值； 当 时，求实数 k的值20.（12 分）如图， A， B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 ， B点北偏西 的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 且与B点相距 20 海里的 C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里 时，该救援船到达 D点需要多长时间？ 21. （12
6、分）若数列 的前 n项和为 ，且满足 ， 求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；求数列 的通项公式（3）设 + + + ，求- 5 -22.已知 ， ， 是直线 上的 n个不同的点 ，均为非零常数 ，其中数列 为等差数列求证：数列 是等差数列；若点 P是直线 l上一点，且 ，求证： ；设 ，且当 时，恒有 和 j都是不大于 n的正整数，且 试探索：若 O为直角坐标原点，在直线 l上是否存在这样的点 P，使得成立？请说明你的理由- 6 -2018-2019学年第二学期三水实验中学高一第一学月考试数学试题答案AABD ADCB CBAC11. 解：因为 ，即 ；又因为 ，所以 ，即 ，所以
7、 是等腰三角形故选 A12. 解： 等差数列 的前 n项和是 ，且 ， ，即 ，即 ， 等差数列 的前 7项为正数，从第 8项开始为负数，则 ， 为 的最大值故 A， B， D正确，错误的是 C15. 解： 第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7人，第 5天派出： 人，前 5天共派出 S5 人 ，前 5天应发大米： 升 16. 解： 连接 BD，在 中， ，- 7 -在 中， ，四边形 ABCD的面积故答案为 17. 【答案】解： 等差数列 中， ， ， ，解得 ， ，；， ， ，当 时，前 n项的和 取得最小值为 18. 【答案】解： ，由正弦定理得所以 ，又 ，则角
8、 B为锐角，所以 ； 因为 ， ，由余弦定理得 解得 或 舍 ， 的面积 19. 【答案】解： ，且 令 ， - 8 -即又 不共线，所以 ，所以 设 与 夹角为又， ，又 ，20. 【答案】解：由题意知 海里， ， 在 中，由正弦定理，得 ，海里 又 ， 海里 ，在 中，由余弦定理，得- 9 -，海里 ， 需要的时间 小时 故救援船到达 D点需要 1小时21. 【答案】 证明： ， 2， ，又 ， 是以 2为首项，2 为公差的等差数列；解：由 ， ， ，当 时， 或 时，当 时， ，(3) 由（2）知，当 时，+ + +- 10 -22. 【答案】 证明：设等差数列 的公差为 d，因为 ，所以 为定值，即数列 也是等差数列证明：因为点 P、 和 都是直线 l上一点，故有 ，于是 ，即 ，所以 ，令 ，则有解：假设存在点 满足要求 ，则有 ，又当 时，恒有 ，则又有 ，所以 ，又因为数列 成等差数列，于是 ，所以 ，故 ，同理 ，- 11 -且点 在直线上 是 、 的中点 ，即存在点 满足要求
