1、- 1 -四川省自贡市普通高中 2019 届高三数学第一次诊断性考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知 ， ，则 （ ）A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，求出 A 与 B 的交集即可【详解】 ，由 B 中不等式变形得： ，解得： ，即 ，AB= ，故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若 （其中 为虚数单位） ，则复数 的虚部是（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】计算出 ，即可
2、求出复数 z 的虚部【详解】 复数 的虚部是 2故选 D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则3.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）- 2 -A. 66 B. 99 C. 110 D. 143【答案】D【解析】【分析】由 ，则 由等差数列的前 n 项和公式可求 .【详解】 ，则 则 故选 D.【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前 n 项和公式.属基础题.4.在矩形 中， ， ，若向该矩形内随机投一点 ，那么使 与 的面积都小于 4 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积小于 4
3、，则三角形的高要 ，得到两个三角形的高即为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】 由题意知本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积小于 4，由于 ，则三角形的高要 ，同样，P 点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ，使得ABP 与ADP 的面积都小于 4 的概率为： ；故选：A【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键5.从 1，3，5 三个数中选两个数字，从 0，2 两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三- 3 -位数，其中奇数的个数为（ ）A. 6 B. 1
4、2 C. 18 D. 24【答案】C【解析】【分析】由于组成的数是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得.【详解】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况: 奇偶奇，偶奇奇，因此总共有 种.故选 C.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，排列，属于中档题.6.将函数 向右平移 个单位后得到函数 ，则 具有性质（ ）A. 在 上单调递增，为偶函数B. 最大值为 1，图象关于直线 对称C. 在 上单调递增，为奇函数D. 周期为 ，图象关于点 对称【答案】A【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解
5、析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论【详解】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，故当 x 时，2x ，故函数 g（x）在 上单调递增，为偶函数，故选 A【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题7.已知数列 ，则 是数列 是递增数列的（ ）条件- 4 -A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若“a 1a 2a 3”，则“数列a n是递增数列” ，不一定，充分性不成立，若“数列an是递增数列” ，则“a 1a
6、2a 3”成立，即必要性成立，故“a 1a 2a 3”是“数列a n是递增数列”的必要条件故选 B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 分别为 63，36，则输出的 （ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 18【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论【详解】由 a=63，b=36，满足 ab，则 a 变为 63-36=27，由 ab，则 b 变为 36-27=9，由 ba，则 a =27-9=18，由 ba
7、，则，b=18-9=9，由 a=b=9，退出循环，则输出的 a 的值为 9- 5 -故选：C【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题9.在四边形 中， ， ，则 （ ）A. 5 B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简 .利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.若长方体 的顶点都在体积为 的球 的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（ ）A. 576 B. 288 C. 144 D. 72【答案】B【解析】【分析】求出球的半径，设出长方体的三
8、度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值【详解】由球的体积为 ，可得 设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知 ，长方体的表面积为： - 6 -；当 a=b=c 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故选 B.【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用11.如果函数 满足 （ ） ，则 的一个正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据 ，可知 ,即可确定函数周期.【详解】根据 ，可
9、知 ,令 ，则有，故可得周期 ,选 A.【点睛】本题主要考查了函数的周期 ，属于中档题.12.下列四个命题： ； ； ； ，其中真命题的个数是（ ） （ 为自然对数的底数）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据所要比较大小的式子可以构造函数 ，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数 ， ，当 时， ，当 时， ，所以函数在 时单调递增，在 时单调递减，而 ，所以 ，化简得 故错误，而 ，所以 ，即 ，化简可得- 7 -故正确，因为 ，所以 ，化简可得 ，故正确，因为当 时取最大值 ，若成立，可得 ，即 ，显然不成立，故错误，综上可知选 B.【点睛】本题主要考查了利
10、用函数的增减性比较大小，涉及构造函数，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. _【答案】【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【详解】 即答案为 .【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题14.在 的二项展开式中，所有项的系数之和为 1024，则展开式常数项的值等于_【答案】【解析】【分析】利用展开式所有项系数的和得 n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】因为 的二项展开式中，所有项的系数之和为 4n=1024, n=5,
11、- 8 -故 的展开式的通项公式为 Tr+1=C35-r ,令 ,解得 r=4,可得常数项为T5=C3=15,故填 15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.15.通常，满分为 分的试卷， 分为及格线.若某次满分为 分的测试卷， 人参加测试，将这 人的卷面分数按照 ， ， 分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 取整”的方法进行换算以提高及格率（实数 的取整等于不超过 的最大整数） ，如：某位学生卷面 分，则换算成 分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变
12、为_ （结果用小数表示）【答案】【解析】分析：结合题意可知低于 36 分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于 36 分的为不及格，若某位学生卷面 36 分，则换算成 60 分作为最终成绩，由频率直方图可得 组的频率为 ，所以这次测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率 ，结合题目要求的转化分数即可算出结果。16.函数 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】讨论 a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行- 9 -求解即可【详解】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去（ii）
13、当 时， ，令 ，解得 x=0 或 当 a0 时， 0，当 x 或 x0，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当0x- 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增故 x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点函数 f（x）=ax 3+3x2-1 存在唯一的零点 x0，且 x00，则 即 a24 得 a2（舍）或 a-2当 a0 时 0，当 x 或 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；当 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点f（0）=-10，函数 f（x）在（0，+）上存在一个零点
14、，此时不满足条件综上可得：实数 a 的取值范围是（-，-2） 故答案为：（-，-2） 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.已知向量- 10 -（1）当 时，求 的值；（2）已知钝角 中，角 为钝角， 分别为角 的对边，且 ，若函数，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据 得出 ，化简 得出结果；（2）根据正弦定理得出 ，代入 f（B） ，求出 f（B）的值【详解】 （1） , ，即 ,（2） ，由
15、角 为钝角知 ，.【点睛】本题考查了平面向量垂直与坐标的关系，三角函数的化简求值，属于中档题18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如下表：同意 不同意 合计男生 a 5女生 40 d合计 100- 11 -（1）求 a， d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生
16、进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：0.15 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1） , 有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占 60%可求出 , ,根据公式计算结果即可确定有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知 X 服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】 （1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%
17、，所以 ，文（2）由列联表可得而所以有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题知持“同意”态度的学生的频率为 ，- 12 -即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为 .由于总体容量很大，故 X 服从二项分布，即 从而 X 的分布列为X 0 1 2 3 4X 的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.若数列 的前 项和为 ，首项 ，且（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，令 ，设数列 的前 项和 ，比较 与 大小.【答案】 （1） 或者 ；（2） .【解析】【分析】（1）根据递推关系，当 可得，化简即可求出;（2）利用裂项相
18、消法求和,即可得出结果.【详解】 （1） 且 - 13 -（2）【点睛】本题主要考查了数列的递推关系、通项公式，裂项相消法，属于中档题.20.如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面 ， .（1）证明： ；（2）点 在棱 上，且 ，若二面角 大小的余弦值为 ，求实数 的值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取 AD 的中点 O，连 OC,OP，可证 ，可得 ，从而 ，再证明 ，即可得证（2）分别以 OC,OD,OP 为 建立空间直角坐标系 ，计算平面 ABM 和平面 ABD 的法向量，利用其夹角的余弦公式即可求出.【详解】 （1）证明：取 AD 的中点 O，连
19、 OC,OP 为等边三角形，且 O 是边 AD 的中点- 14 -平面 底面 ，且它们的交线为 AD(2)分别以 OC,OD,OP 为 建立空间直角坐标系 ，则 ,即：设 ，且 是平面 ABM 的一个法向量，取而平面 ABD 的一个法向量为 【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直的判定与性质，二面角的求法，属于中档题.21.已知函数 （1）求 的单调区间；（2）若 有极值，对任意的 ，当 ，存在 使 ，证明：【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】- 15 -【分析】（1）求导数后根据 a 可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;（2）由（1） 有极值，则 ，由题设
20、化简得 ，作差比较 ，构造函数，利用导数可得 ，进而可得 ，再利用由知 在 上是减函数，即可得出结论.【详解】 （1） 的定义域为 ，.若 ，则 ，所以 在 上是单调递增.若 ，当 时， ， 单调递增.当 时， , 单调递减.(2)由（1）当 时， 存在极值.由题设得又 ， - 16 -设 .则 .令 ，则所以 在 上是增函数，所以又 ，所以 ，因此即又由 知 在 上是减函数，所以 ，即 .【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，涉及构造函数，属于难题.22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数， ） ，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐
21、标系，圆 的极坐标方程为： （1）求圆 的直角坐标方程；（2）设点 ，若直线 与圆 交于 两点，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）消去参数 t，可得直线 l 的普通方程，根据 cos=x，sin=y， 2=x2+y2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得 的值（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案【详解】 （1）- 17 -圆 （2） 将 代入设点 所对应的参数为 则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.设函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）对任意实数 ，都有 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，作图根据图象可知 .【详解】 （1）当 时，当 时 当 时当 时 综上: （2）对任意实数 ，都有 成立，即- 18 -根据图一所示当 时 则根据图二所示当 时 则根据图三所示当 时 则 .综上可知【点睛】本题考查了绝对值的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题- 19 -
