1、1第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数锐角三角函数(第 1 课时)学习目标1.理解认识正弦概念;2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值 .学习过程一、自主探究 得到概念1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌 .现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30,为使出水口的高度为 35 m,那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为:如图,在 Rt ABC 中, C=90, A=30,BC=35 m,求 AB 的长 .思考:(1)如果使出水口的高度为 50 m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为 a m,那么需要准备
2、多长的水管?答:(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于 . (3)直角三角形中,45角的对边与斜边的比值是 . (4)在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何, A 的对边与斜边的比都是一个固定值?答:(5)推理与证明:观察图中的 Rt AB1C1、Rt AB2C2和 Rt AB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?解:2.结论:在 Rt ABC 中,锐角 A 的对边与斜边的比是一个 ,也即是对于锐角 A 的每一个确定的值,其对边与斜边的 是唯一确定的 . 3.认识正弦2如图,在 Rt AB
3、C 中, A, B, C 所对的边分别记为 a,b,c, C=90,我们把锐角 A 的 的比叫做 A 的正弦,记作 sin A. sin A= . A的对边斜边 =ac4.追问:(1) B 的正弦怎么表示?答:(2)在 Rt ABC 中,若 a=1,c=3,则 sin A= sin B= . 二、合作探究 完成例题1.如图,在 Rt ABC 中, C=90,求 sin A 和 sin B 的值 .【思路点拨】根据勾股定理,先求出 AC 的长,再运用正弦的定义计算即可 .解:2.在 ABC 中, C=90,AC=5,sin A= ,求 AB 的长 .23【思路点拨】根据正弦的定义可以得到 BC
4、与 AB 的比值,因而可以设 BC=2x,则 AB=3x,根据勾股定理即可求得 x 的值,进而得到 AB 的长度 .解:三、课堂小结 系统知识1.什么是正弦?答:2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:(1)正弦是一个 ,没有单位 . (2)正弦值只与 的大小有关,与三角形的大小无关 . (3)sin A 是一个 符号,不能写成 sin A. (4)当用 字母表示角时,角的符号“”不能省略,如 sin ABC. (5)sin2A 表示 ,不能写成 sin A2. 四、当堂训练 提升能力1.把 ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍,则锐角 A 的正弦函数值( )A.不变 B.缩小为原来的三
5、分之一C.扩大为原来的 3 倍D.不能确定2.如图,在 Rt ABC 中, C=90,AB=5,BC=3,则 sin A 的值是 ( )A.433B.34C.35D.453.如图所示,已知 P 点的坐标是( a,b),则 sin 等于( )A.abB.baC.aa2+b2D.ba2+b24.如图,在 Rt ABC 中, C=90,AB=2BC,则 sin B 的值为 . 第 4 题图 第 5 题图5.在 Rt ABC 中,已知 C=90,sin A= 且 AB=15,则 BC= . 356.如图,在 O 中,过直径 AB 延长线上的点 C 作 O 的一条切线,切点为 D.若 AC=7,AB=4
6、,求sin C 的值 .解:评价作业(满分 100 分)1.(8 分)在 Rt ABC 中, C=90,AB=2,AC=1,则 sin B 的值为( )A. B.12 224C. D.2322.(8 分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为 1)中的位置如图所示,则 sin 的值是( )A.34B.43C.35D.453.(8 分)在 ABC 中, C=90,AB=15,sin A= ,则 BC 等于( )13A.45 B.5C. D.15 1454.(8 分)如图所示,在 Rt ABC 中, ACB=90,CD AB,垂足为 D,若 AC= ,BC=2,则5sin ACD 的值为( )
7、A.53B.255C.52D.235.(8 分)在 Rt ABC 中, C=90,AC=5,AB=8,则 sin A= . 6.(8 分)在 Rt ABC 中, C=90,BC=4,sin A= ,则 AB= . 237.(12 分)如图所示, AB 是 O 的直径,点 C,D 在 O 上,且 AB=5,BC=3,则 sin BAC= ,sin ADC= ,sin ABC= . 58.(10 分)在 Rt ABC 中, C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求 sin A 和 sin B 的值 .9.(10 分)如图所示,菱形 ABCD 的周长为 40 cm,DE AB,垂足为 E,sin
8、 A= .35(1)求 BE 的长;(2)求菱形 ABCD 的面积 .10.(20 分)如图所示,在 ABC 中, C=90,AC=BC,BD 为 AC 边上的中线,求 sin ABD的值 .参考答案学习过程一、1 .自主探究 得到概念思考:(1)答:100 m 2a m.(2) .12(3) .22(4)答:是一个固定值 .(5)解: Rt AB1C1,Rt AB2C2和 Rt AB3C3中, A 是它们的公共角, Rt AB1C1Rt AB2C2Rt AB3C3, .B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB362.固定值 比值 .3.对边与斜边4.追问:(1)答:sin B= . B的
9、对边斜边 =bc(2) .13 223二、合作探究 完成例题1.解:如图(2)所示,在 Rt ABC 中,由勾股定理得 AC= =12.AB2-BC2= 132-52因此 sin A= ,sin B= .BCAB=513 ACAB=12132.解: 在直角 ABC 中,sin A= ,BCAB=23 设 BC=2x,则 AB=3x,根据勾股定理可以得到:(3 x)2-(2x)2=25,即 5x2=25,解得: x= ,5则 AB=3x=3 .5三、课堂小结 系统知识1.答:在 Rt ABC 中, C=90,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦,记作sin A,即 sin A= .
10、A的对边斜边 =ac2.(1)比值 (2)角 (3)整体 (4)三个 (5)(sin A)2四、当堂训练 提升能力1.A 2.C 3.D 4. 5.9 326.解:连接 OD,CD 是 O 的切线, ODC=90,AC= 7,AB=4, 半径 OA=2,则 OC=AC-AO=7-2=5, sin C= .ODOC=25评价作业1.A 2.C 3.B 4.A 5. 6.6 7.398 35 45 458.解:由勾股定理可得 AB= (cm),所以 sin A= ,sin B=12+22= 5BCAB= 25=255.ACAB= 15= 5579.解:(1) 菱形 ABCD 的周长为 40 cm,
11、AD=AB= 10 cm.又 DE AB,sinA= ,35 ,即 ,DEAD=35 DE10=35解得 DE=6,在直角 ADE 中,由勾股定理得到: AE= =8,AD2-DE2= 102-62则 BE=AB-AE=10-8=2,即 BE=2 cm.(2)由(1)知 DE=6,则菱形 ABCD 的面积 =ABDE=106=60(cm2).10.解:如图所示,作 DE AB 于 E.设 BC=AC=2x,BD 为 AC 边上的中线, CD=AD= AC=x.12在 Rt BCD 中,根据勾股定理,得 BD= x. C=90,AC=BC, A= CBA=45,又5DE AB, A= EDA=45,AE=DE= x,在 Rt BDE 中 ,sin ABD= .22 DEBD= 22x5x= 1010
