1、1课时跟踪检测（四十九） 椭圆A级 基础题基稳才能楼高1椭圆 mx2 ny2 mn0( m n0)的焦点坐标是( )A(0， ) B( ，0)m n m nC(0， ) D( ，0)n m n m解析：选 C 化为标准方程是 1，x2 n y2 m m n0，0 n m.焦点在 y轴上，且 c . m n n m2与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2的椭圆的标准方程为( )A. 1 B x2 1x22 y24 y26C. y21 D. 1x26 x28 y25解析：选 B 椭圆 9x24 y236 可化为 1，可知焦点在 y轴上，焦点坐标为x24 y29(0， )，5故可设所
2、求椭圆方程为 1( a b0)，则 c .y2a2 x2b2 5又 2b2，即 b1，所以 a2 b2 c26，则所求椭圆的标准方程为 x2 1.y263已知 P为椭圆 1 上的一点， M， N分别为圆( x3) 2 y21 和圆( x3)x225 y2162 y24 上的点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 B7C13 D15解析：选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且|PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2|127.4已知椭圆 1( a b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且x2a2 y2b2BF x轴
3、，直线 AB交 y轴于点 P.若 2 ，则椭圆的离心率是( )AP PB A. B.32 22C. D.13 122解析：选 D 2 ，| |2| |.又 PO BF， ，AP PB AP PB |PA|AB| |AO|AF| 23即 ， e .aa c 23 ca 125(2019长沙一模)椭圆的焦点在 x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是 2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A. 1 B. y21x22 y22 x22C. 1 D. 1x24 y22 y24 x22解析：选 C 由条件可知 b c ， a2，所以椭圆的标准方程为 1.故选 C.2x24 y226已知
4、F1， F2分别是椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点，若椭圆 C上存在点x2a2 y2b2P，使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C离心率的取值范围是( )A. B.23， 1) 13， 22C. D.13， 1) (0， 13解析：选 C 如图所示，线段 PF1的中垂线经过F2，| PF2| F1F2|2 c，即椭圆上存在一点 P，使得|PF2|2 c. a c2 c a c. e .ca 13， 1)B级 保分题准做快做达标1(2019武汉模拟)曲线 1 与曲线 1( k9)的( )x225 y29 x225 k y29 kA长轴长相等 B短轴长相等C离心率相等 D焦
5、距相等解析：选 D 曲线 1 表示焦点在 x轴上的椭圆，其长轴长为 10，短轴长为 6，x225 y29焦距为 8，离心率为 .曲线 1( k9)表示焦点在 x轴上的椭圆，其长轴长为 245 x225 k y29 k，短轴长为 2 ，焦距为 8，离心率为 .对照选项，知 D正确故选 D.25 k 9 k425 k2(2019德阳模拟)设 P为椭圆 C： 1 上一点， F1， F2分别是椭圆 C的左、x249 y224右焦点，且 PF1F2的重心为点 G，若| PF1| PF2|34，那么 GPF1的面积为( )3A24 B12C8 D6解析：选 C P为椭圆 C： 1 上一点，x249 y22
6、4|PF1| PF2|34，| PF1| PF2|2 a14，| PF1|6，| PF2|8，又| F1F2|2 c210，易知 PF1F2是直角三角形， S PF1F2 |PF1|PF2|24， PF1F2的49 2412重心为点 G， S PF1F23 S GPF1， GPF1的面积为 8，故选 C.3斜率为 1的直线 l与椭圆 y21 相交于 A， B两点，则| AB|的最大值为( )x24A2 B.455C. D.4105 8105解析：选 C 设 A， B两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l的方程为y x t，由Error! 消去 y，得 5x28 tx4
7、( t21)0，则 x1 x2 t， x1x2 .85 4 t2 15| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 ( 85t)2 44 t2 15 ，425 5 t2当 t0 时，| AB|max .41054(2019贵阳摸底) P是椭圆 1( a b0)上的一点， A为左顶点， F为右焦x2a2 y2b2点， PF x轴，若 tan PAF ，则椭圆的离心率 e为( )12A. B.23 22C. D.33 12解析：选 D 不妨设点 P在第一象限，因为 PF x轴，所以 xP c，将 xP c代入椭圆4方程得 yP ，即| PF| ，则 tan PAF
8、，结合 b2 a2 c2，整理得b2a b2a |PF|AF| b2aa c 122c2 ac a20，两边同时除以 a2得 2e2 e10，解得 e 或 e1(舍去)故选 D.125(2019长郡中学选拔考试)已知椭圆 C： 1( a b0)与圆x2a2 y2b2D： x2 y22 ax a20 交于 A， B两点，若四边形 OADB(O为原点)是菱形，则椭圆 C的316离心率为( )A. B.13 12C. D.32 62解析：选 B 由已知可得圆 D：( x a)2 y2 a2，圆心 D(a，0)，则菱形 OADB对角1316线的交点的坐标为 ，将 x 代入圆 D的方程得 y ，不妨设点
9、 A在 x轴上方，(a2， 0) a2 3a4即 A ，代入椭圆 C的方程可得 1，所以 a2 b2 a2 c2，解得 a2 c，所(a2， 3a4) 14 9a216b2 34以椭圆 C的离心率 e .ca 126(2019沙市中学测试)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，双曲线x2a2 y2b2 22x2 y21 的渐近线与椭圆 C有 4个交点，以这 4个交点为顶点的四边形的面积为 8，则椭圆 C的方程为( )A. 1 B. 1x28 y22 x212 y26C. 1 D. 1x26 y23 x220 y25解析：选 C 由题意知双曲线 x2 y21 的渐近线方程为 y x，由椭
10、圆的对称性可知以这 4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为 8，知正方形的边长为 2 ，2所以点( ， )在椭圆上，所以 1. 2 22a2 2b2又椭圆的离心率为 ，22所以 ，所以 a22 b2. a2 b2a2 12由得 a26， b23，所以椭圆 C的方程为 1.故选 C.x26 y2357(2019安阳模拟)已知 F1， F2分别是椭圆 1( a b0)的左、右焦点， P为x2a2 y2b2椭圆上一点，且 ( )0( O为坐标原点)，若| | | |，则椭圆的PF1 OF1 OP PF1 2PF2 离心率为( )A. B.6 36 32C. D.6 56 52解析：选 A
11、以 OF1， OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由 ( )0 知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，|PF1 OF1 OP | |， F1PF2是直角三角形，即 PF1 PF2.设| PF2| x，则| PF1| x，结合OP OF1 2椭圆的性质和三角形勾股定理可得Error! e .故选 A.ca 32 1 6 38(2019西宁复习检测)在平面直角坐标系 xOy中， P是椭圆 1 上的一个动y24 x23点，点 A(1,1)， B(0，1)，则| PA| PB|的最大值为( )A5 B4C3 D2解析：选 A 椭圆的方程为 1， a24， b23， c2
12、1， B(0，1)是椭圆的一个焦点，y24 x23设另一个焦点为 C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB| PC|4，| PB|4| PC|，| PA| PB|4| PA| PC|4| AC|5.9已知点 P是椭圆 1( x0， y0)上的动点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦x216 y28点， O是坐标原点，若 M是 F1PF2的平分线上一点，且 0，则| |的取值F1M MP OM 范围是( )A0,3) B(0,2 )2C2 ，3) D(0,42解析：选 B 如图，延长 F1M交 PF2的延长线于点 G. 0， .F1M MP F1M MP 又 MP为 F1PF2的平分线，
13、| PF1| PG|，且 M为 F1G的中点6 O为 F1F2的中点， OM綊 F2G.12| F2G| PF2| PG| PF1| PF2|，| | |2a2| PF2|4| PF2|.OM 1242 | PF2|4 或 4| PF2|42 ，2 2| |(0,2 )OM 210已知 F1( c,0)， F2(c,0)为椭圆 1 的两个焦点， P在椭圆上且满足 x2a2 y2b2 PF1 c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )PF2 A. B.33， 1) 33， 22C. D.13， 12 (0， 22解析：选 B 设 P(x， y)，则 1， y2 b2 x2， a x a， ( c x
14、， y)， ( c x， y)x2a2 y2b2 b2a2 PF1 PF2 所以 x2 c2 y2 x2 b2 c2 x2 b2 c2.PF1 PF2 (1 b2a2) c2a2因为 a x a，所以 b2 c2 b2.PF1 PF2 所以 b2 c2 c2 b2.所以 2c2 a23 c2.所以 .故选 B.33 ca 2211设 e是椭圆 1 的离心率，且 e ，则实数 k的值是_x24 y2k 23解析：当 k4 时，有 e ，解得 k ；当 0 k4 时，有 e 1 4k 23 365 ，解得 k .故实数 k的值为 或 .1 k4 23 209 209 365答案： 或209 365
15、12(2019湖北稳派教育联考)已知椭圆 1( a b0)的半焦距为 c，且满足x2a2 y2b2c2 b2 ac0，则该椭圆的离心率 e的取值范围是_解析： c2 b2 ac0， c2( a2 c2) ac0，即72c2 a2 ac0，2 1 0，即 2e2 e10，解得1 e .又c2a2 ca 120 e1，0 e .椭圆的离心率 e的取值范围是 .12 (0， 12)答案： (0，12)13.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是A1， A2， B1， B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P点，若 B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_解析：设
16、椭圆的方程为 1( a b0)， B1PA2为钝角可x2a2 y2b2转化为 ， 所夹的角为钝角，则( a， b)( c， b)0，即 b2 ac，则B2A2 F2B1 a2 c2 ac，故 2 10，即 e2 e10，解得 e 或 e ，又(ca) ca 5 12 5 120 e1，所以 e1.5 12答案： (5 12 ， 1)14(2019辽宁联考)设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P为椭圆上任x225 y216一点，点 M的坐标为(6,4)，则| PM| PF1|的最大值为_解析：在椭圆 1 中， a5， b4， c3，所以焦点坐x225 y216标分别为 F1(3，0)
17、， F2(3,0)根据椭圆的定义得|PM| PF1| PM|(2 a| PF2|)10(| PM| PF2|)| PM| PF2| MF2|，当且仅当 P在直线 MF2上时取等号， 当点 P与图中的点 P0重合时，有(| PM| PF2|)max 5，此时 6 3 2 4 0 2得| PM| PF1|的最大值，为 10515.答案：1515(2019武汉调研)设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C： y21( a1， aR)上，x2a2过 O的直线交椭圆 C于 A， B两点， F为椭圆 C的左焦点(1)若 FAB的面积的最大值为 1，求 a的值；(2)若直线 MA， MB的斜率乘积等于 ，求椭圆
18、 C的离心率13解：(1) S FAB |OF|yA yB| OF| 1，所以 a .12 a2 1 28(2)由题意可设 A(x0， y0)， B( x0， y0)， M(x， y)，则 y21， y 1，x2a2 x20a2 20kMAkMB ，y y0x x0 y y0x x0 y2 y20x2 x20 1 x2a2 (1 x20a2)x2 x20 1a2 x2 x20x2 x20 1a2 13所以 a23，所以 a ，所以 c ，3 a2 b2 2所以椭圆的离心率 e .ca 23 6316(2019广东七校联考)已知动点 M到定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 .
19、2(1)求动点 M的轨迹 C的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交 C于不同于 N的两点 A， B，直线NA， NB的斜率分别为 k1， k2，求 k1 k2的值解：(1)由椭圆的定义，可知点 M的轨迹是以 F1， F2为焦点，4 为长轴长的椭圆由2c2， a2 ，得 b2.故动点 M的轨迹 C的方程为 1.2x28 y24(2)当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y2 k(x1)，由Error! 得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0. 4 k(k2) 24(12 k2)(2k28 k)0，则 k0 或 k .47设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k k 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1 k2 y1 2x1 y2 2x2 2kx1x2 k 4 x1 x2x1x22 k( k4) 4.4k k 22k2 8k当直线 l的斜率不存在时，得 A ， B .所以 k1 k24.( 1，142) ( 1， 142)综上，恒有 k1 k24.9
