1、1课时跟踪检测（三十一） 系统题型平面向量的数量积及应用A 级 保分题准做快做达标1(2019牡丹江第一高级中学月考)已知圆 O 是 ABC 的外接圆，其半径为 1，且 2 ， AB1，则 ( )AB AC AO CA CB A. B.332C. D23 3解析：选 B 因为 2 ，所以点 O 是 BC 的中点，即 BC 是圆 O 的直径，AB AC AO 又 AB1，圆的半径为 1，所以 ACB30，且 AC ，3则 | | |cos ACB3.故选 B.CA CB CA CB 2.(2019广州综合测试)如图，半径为 1 的扇形 AOB 中， AOB ， P 是弧 AB 上的一点，且满足
2、OP OB， M， N 分别是线段23OA， OB 上的动点，则 的最大值为( )PM PN A. B.22 32C1 D 2解析：选 C 扇形 OAB 的半径为 1，| OP |1， OP OB， 0. AOB ， AOP ， (OP OB 23 6 PM PN PO )( ) 2 1| |cos OM PO ON PO ON PO OM PO OM ON OM | | |cos 10 0 1，故选 C.56 OM ON 23 ( 32) ( 12)3(2019南昌模拟)已知 a(cos ，sin )，b(cos( )，sin( )，那么 ab0 是 k (kZ)的( ) 4A充分不必要条件
3、 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B a bcos cos( )sin sin( )cos 2 sin 2 cos 2 ，若 ab0，则 cos 2 0 ，2 2 k (kZ)，解得 2 k (kZ)a b0 是 k (kZ)的必要不充分条件故选 B. 4 424.(2019浙江部分市学校联考)如图，点 C 在以 AB 为直径的圆上，其中 AB2，过 A 向点 C 处的切线作垂线，垂足为 P，则 的最AC PB 大值是( )A2 B.1C0 D1解析：选 B 连接 BC，则 ACB90. AP PC， ( )AC PB AC PC CB ( ) 2.依题意可证 R
4、t APCRt ACB， AC PC AP PC PC PC ，即| | .| |2| |2| |2，| |2| |242|PC |AC |CB |2 AC CB AB AC CB | |，即| | |2，当且仅当| | |时取等号，| |1，AC CB AC CB AC CB PC 21， 的最大值为 1，故选 B.AC PB PC AC PB 5(2019四川双流中学月考)已知平面向量 ， 满足| | |1，PA PB PA PB .若| |1，则| |的最大值为( )PA PB 12 BC AC A. 1 B. 12 3C. 1 D 12 3解析：选 D 因为| | |1， ，所以PA
5、PB PA PB 12cos APB ，即 APB ，由余弦定理可得 AB .如图，建立平面直12 23 1 1 1 3角坐标系，则 A ， B ，由题设点 C(x， y)在以 B 为圆心，半径为 1 的(32， 0) (32， 0) (32， 0)圆上运动，结合图形可知，点 C(x， y)运动到点 D 时，有| AC|max| AD| AB|1 1.3故选 D.6(2019重庆梁平调研)过点 P(1,1)作圆 C：( x t)2( y t2) 21( tR)的切线，切点分别为 A， B，则 的最小值为( )PA PB A. B.103 4033C. D2 3214 2解析：选 C 观察圆 C
6、 的方程可知，圆心 C 在直线 y x2 上运动，则| PC|2 .设 CPA ，则 | | |cos | 1 1 2|12 1 2 2 PA PB PA PB 2 | |2(2cos2 1)(| |21)PA PC (| |21) | |2 3，令| |2 x，设 y x 3，则PC PC PC 2xy x 3 在8，)上为增函数，故 8 3 ，故选 C.2x PA PB 28 2147.(2019北京四中期中考试)如图，在 ABC 中， ABC120， BA4， BC2， D是 AC 边上一点，且 ，则 _.DC 34DA BD AC 解析：根据题意得 ( ) 16 4BD AC BC B
7、A 37BA BC 37 47 47 42cos 120 4.BA BC 17BA BC 327 17 327答案：48若 a，b，c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最大值为_解析：依题意可设 a(1,0)，b(0,1)，c(cos ，sin )，则(ac)(bc)1(sin cos )1 sin ，所以(ac)(bc)的最大值为 1 .2 ( 4) 2答案：1 29(2018泰安二模)已知平面向量 a，b 满足|b|1，且 a 与 ba 的夹角为 120，则|a|的取值范围为_解析：在 ABC 中，设 a， b，AB AC 则 ba ，AC AB BC a 与 ba 的夹角为
8、120， B60，由正弦定理得 ，1sin 60 |a|sin C|a| sin C，sin Csin 602330sin A， BA，故 A513 1213 1213为锐角，cos A ，cos Ccos( A B)cos Acos Bsin Asin B .35 3365(2)由余弦定理 b2a 2c 22accos B 得，16a 2c 2 ac2ac ac ac，当且仅当 ac 时等号成立，ac13，1013 1013 1613 accos( B)accos B ac5.AB BC 513故 的最小值为5.AB BC 11(2019太原模拟)已知向量 m ， n ， f(x)(3sin
9、 x3， cos x3) (cos x3， cos x3) mn.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若 a，b，c 分别是 ABC 的内角 A， B， C 所对的边，且 a2，(2ab)cos Cccos B， f(A) ，求 c.32解：(1) f(x) mn sin cos cos 23x3 x3 x3 sin sin ，32 2x3 12(cos 2x3 1) (2x3 6) 12函数 f(x)的最小正周期为 3，令 2 k 2 k， kZ，则3 k x 3 k， kZ， 2 2x3 6 2 2函数 f(x)的单调递增区间为 ， kZ. 3k ， 2 3k (2)(
10、2ab)cos Cccos B, 2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin Csin( B C)sin A，500，cos C ， C .12 3 f(A)sin ，(2A3 6) 12 32sin 1，(2A3 6) 2 k， kZ， A ，2A3 6 2 2casin C2sin . 3 3B 级 难度题适情自主选做1在等腰三角形 AOB 中，若| | |5，且| | | |，OA OB OA OB 12 AB 则 的取值范围为( )OA OB A15,25) B.15,15C0,25) D0,15解析：选 A | | | | | |，所以OA OB 12 AB 12 O
11、B OA | |2 | |2，即( )2 ( )2，所以OA OB 14 OB OA OA OB 14 OB OA 22 2 ( 22 2)，即 522 5 2OA OA OB OB 14 OB OA OB OA OA OB (522 5 2)，则 15.14 OA OB OA OB 又 | | |5525，当且仅当 与 同向时取等号，因此上式OA OB OA OB OA OB 等号不成立，所以 的取值范围为15,25)，故选 A.OA OB 2已知 a，b，e 是同一平面内的三个向量，且|e|1，a b，a e2，b e1，当|ab|取得最小值时，a 与 e 夹角的正切值为( )A. B.3
12、3 12C1 D22解析：选 D 根据题意，分别以 a，b 为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，设 e 与 a 的夹角为 ， 为锐角，则 e 与 b 的夹角为 .|e|1，a b，a e2，b e1，|a|cos 26 2，|b|cos |b|sin ( 2 ) 1，|a| ，|b| ，|ab| 2|a| 22a b|b| 2 2cos 1sin 4cos2 1sin2 (sin2 cos 2 )(4cos2 1sin2 )5 52 9，当且仅当 2sin2 cos 2 ，即 tan 4sin2cos2 cos2sin2 4sin2cos2 cos2sin2 时等号成立，此时|ab|取得最
13、小值 3，且 a 与 e 夹角的正切值为 ，故选 D.22 223(2019武汉调研)设 A， B， C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且 ，则(OA OB )( )的最大值是( )OC OA OC OB A1 B.12 2C. 1 D12解析：选 A 如图，作出 ，使得 ，则( OD OA OB OD OC )( )OA OC OB 2 1( ) 1 OC OA OC OB OC OA OB OA OB OC OD ，由图可知，当点 C 在 OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时， 取得最小值，OC OD OC 最小值为 ，此时( )( )取得最大值，最大值为 1 ，故选 A.2 OC
14、OA OC OB 24(2019江西吉安月考)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(1)若| | ，求|ab|的值； 3(2)若 ，记 f( )a b |ab|， ，当 1 2 时，求 3 0， 2f( )的最小值解：(1)向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，ab(cos cos ，sin sin )，|ab| 2(cos cos )2(sin sin )222cos( )| | ， ， 3 37|ab| 222cos 211，或 22cos 211， 3 ( 3)|ab|1.(2) ， ， 3 0， 2a bcos cos sin sin cos( )cos ，(2 3)|ab| 2 2cos 2 2cos ，|cos( 6)| ( 6) f( )a b |ab|cos 2 cos(2 3) ( 6)2cos 2 2 cos 1.( 6) ( 6)令 tcos ，则 t ，( 6) 12， 1 g(t)2 t22 t 12 2 1.(t 2) 22又 1 2， 1，12 2当 t 时， g(t)有最小值 1， 2 22 f( )的最小值为 1. 228
