1、1第六节 二项分布与正态分布突破点一 事件的相互独立性及条件概率基 本 知 识 1条件概率定义设 A， B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A) 为在事件 A 发生的条件下，事件 BP ABP A发生的条件概率性质0 P(B|A)1；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)2.事件的相互独立性定义设 A， B 为两个事件，如果 P(AB) P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立性质 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A) P(B)， P(AB) P(A)P(B)；如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B，
2、与 也都相互独立B A A B 基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率( )(2)对于任意两个事件，公式 P(AB) P(A)P(B)都成立( )(3)相互独立事件就是互斥事件( )(4)在条件概率中，一定有 P(AB) P(B|A)P(A)( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1将一个大正方形平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的1 个小正方形区域的事件记为 B，则 P(A|B)_.2答案：142抛掷两枚质地均匀
3、的硬币， A第一枚为正面向上， B第二枚为正面向上，则事件 C两枚向上的面为一正一反的概率为_答案：123有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_答案：0.72全 析 考 法 考法一 条件概率 例 1 (1)(2019武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“4 个人去的景点不相同” ，事件 B 为“小赵独自去一个景点” ，则P(A|B)( )A. B.29 13C. D.49 59(2)(2019信丰联考)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形都
4、相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B.310 29C. D.78 79解析 (1)小赵独自去一个景点共有 4333108 种情况，即 n(B)108,4 个人去的景点不同的情况有 A 432124 种，即 n(AB)24，4 P(A|B) .n ABn B 24108 29(2)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则 P(A) ， P(AB) .310 310 79 730则所求概率为 P(B|A) .P AB
5、P A730310 793答案 (1)A (2)D方法技巧 条件概率的 3 种求法定义法先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A) 求 P(B|A)P ABP A基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)n ABn A缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简考法二 事件的相互独立性 例 2 (2019洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试， “立定投篮”与“三步上篮”各有 2 次投篮机会，先进行“立
6、定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格小明同学“立定投篮”的命中率为 ， “三步上篮”的命中率为 ，假设小明不12 34放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为 ，求 的分布列解 (1)设小明第 i 次“立定投篮”命中为事件 Ai，第 i 次“三步上篮”命中为事件 Bi(i1,2)，依题意有 P(Ai) ， P(Bi) (i1,2)， “小明同学一次测试合格”为事件12 34C.(1)P( ) P( 1 2) P( 1 A2 1 2) P(A1 1 2)C A
7、A A B B B B P( 1)P( 2) P( 1)P(A2)P( 1)P( 2) P(A1)P( 1)P( 2)A A A B B B B 2 2 2 .(12) (1 12) 12 (1 34) 12 (1 34) 1964 P(C)1 .1964 4564(2)依题意知 2,3,4，4P( 2) P(A1B1) P( 1 2)A A P(A1)P(B1) P( 1)P( 2) ，A A 58P( 3) P(A1 1B2) P( 1A2B1) P(A1 1 2)B A B B P(A1)P( 1)P(B2) P( 1)P(A2)P(B1) P(A1)P( 1)P( 2) ，B A B
8、B 516P( 4) P( 1A2 1) P( 1)P(A2)P( 1) .A B A B 116故投篮的次数 的分布列为：234P58516116方 法 技 巧 相互独立事件同时发生的概率的 2 种求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式(2)间接法：从对立事件入手计算 集 训 冲 关 1. 已知 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，考 法 一 现随机从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A. B.1127 1124C. D.827 924解析：选 C 设“从 1 号箱取到红球”
9、为事件 A， “从 2 号箱取到红球”为事件 B.由题5意， P(A) ， P(B|A) ，所以 P(AB) P(B|A)P(A) ，所以两42 4 23 3 18 1 49 49 23 827次都取到红球的概率为 .8272. 为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是考 法 二 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程现有 3 名民工相互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设，则这 3 名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A. B.12 13C. D.14 16解析：选 D 记第 i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产
10、业建设类分别为事件 Ai， Bi， Ci， i1,2,3.由题意，事件 Ai， Bi，C i(i1,2,3)相互独立，则 P(Ai) ， P(Bi) ， P(Ci) ， i1,2,3，故这 3 名民工选择的项目所属类别互3060 12 2060 13 1060 16异的概率是 PA P(AiBiCi)6 .312 13 16 163. 为备战 2018 年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、考 法 二 丙三名选手入围最终单打比赛名单现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，丙胜甲的
11、概率为 ，乙胜丙的概率为 p，且各场比赛结果互不影响若甲获第一名且35 34乙获第三名的概率为 .110(1)求 p 的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为 X，求 X 的分布列和数学期望解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为 .即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的110概率为 ， (1 p) ， p .110 35 14 110 13(2)依题意，丙得分 X 的所有取值为 0,3,6.丙胜甲的概率为 ，丙胜乙的概率为 ，34 23 P(X0) ，14 13 112P(X3) ，34 13 14 23 5126P(X6) ，34 23 12 X 的分布列为P036X11251212 E(X)
12、0 3 6 .112 512 12 174突破点二 独立重复试验与二项分布基 本 知 识 1独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 Ai(i1,2， n)表示第 i次试验结果，则 P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)2二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X B(n， p)，并称 p 为成功概率在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X k)C pk(1 p)knn k(k0,1,2， n)基 本 能 力 一、判
13、断题(对的打“” ，错的打“”)(1)小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰好第 3 次测试获13得通过的概率是 PC 1 31 .( )13 (13) (1 13) 49(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于( a b)n二项展开式的通项公式，其中7a p， b1 p.( )(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X k)C pk(1 p)knn k， k0,1,2， n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1设随机变量 X B ，则 P(X3)等于_(6，12)答案：
14、5162位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是12_答案：5163若 B(n， p)且 E( )6， D( )3，则 P( 1)的值为_答案：32 10全 析 考 法 考法一 独立重复试验的概率 例 1 (1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有 3 个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A. B. C. D.23 12 34 14(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为 p，连续掷一枚图钉 3 次，若出现 2 次钉尖向上的概率小于 3 次钉尖向上的概率，则 p 的取值
15、范围为_解析 (1)设女孩个数为 X，女孩多于男孩的概率为 P(X2) P(X2) P(X3) C 2 C 33 .故选 B.23(12) 12 3(12) 18 18 12(2)设 P(Bk)(k0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现 k 次钉尖向上”的概率，由题意得 P(B2) P(B3)，即 C p2(1 p)C p3.3 p2(1 p) p3.由于 0 p1， p1.23 334答案 (1)B (2) (34， 1)方法技巧8n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次可看作是 C 个互斥事件的和，其中每一个事kn件都可看作是
16、 k 个 A 事件与 n k 个 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率A 都是 pk(1 p)n k.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 C pk(1 p)n k. kn考法二 二项分布的应用 例 2 (2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 100 位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列(1)求 a， b， c 的值及居民月用水量在 22.5 内的频数；(2)根据此次调查，为使
17、 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应将 w 定为多少？(精确到小数点后 2 位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月用水量不超过 2.5立方米的人数记为 X，求其分布列及均值解 (1)前四组频数成等差数列，所对应的 也成等差数列，频 率组 距设 a0.2 d， b0.22 d， c0.23 d，0.5(0.20.2 d0.22 d0.23 d0.2 d0.10.10.1)1，解得 d0.1， a0.3， b0.4， c0.5.居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25.居民月用水量在 22.5 内的频数为 0.2510025.(2)由
18、题图及(1)可知，居民月用水量小于 2.5 的频率为 0.70.8，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米应规定 w2.5 0.52.83.0.10.15(3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知 P(A2.5)0.7，9由题意， X B(3,0.7)，P(X0)C 0.330.027，03P(X1)C 0.320.70.189，13P(X2)C 0.30.720.441，23P(X3)C 0.730.343.3 X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343 E(X) np2.1.方法技巧某随机变量是否服从二项分布的特点(1)在每一次试验
19、中，事件发生的概率相同(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生 集 训 冲 关 1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 n 次，事件“至少有一次正面向上”的概考 法 一 率为 P ，则 n 的最小值为( )(P1516)A4 B5C6 D7解析：选 A 由 P1 n ，解得 n4，即 n 的最小值为 4.(12) 15162. 若同时抛掷两枚骰子，当至少有 5 点或 6 点出现时，就说这次试验成功，考 法 二 则在 3 次试验中至少有 1 次成功的概率是( )10A. B.125729 80243C. D.665729 100243解析：选 C 一
20、次试验中，至少有 5 点或 6 点出现的概率为1 1 ，设 X 为 3 次试验中成功的次数，所以 X B ，故所求概(113) (1 13) 49 59 (3， 59)率 P(X1)1 P(X0)1C 0 3 ，故选 C.03 (59) (49) 6657293. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直考 法 二 方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数
21、，求随机变量 X 的分布列及数学期望解：(1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个” ， A2表示事件“日销售量低于 50 个” ，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个” ，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X B(3,0.6)， X 可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C (10.6) 30.064，03P(X1)C 0.6(10.6) 20.288，13P(X2)C 0.62(10
22、.6)0.432，23P(X3)C 0.630.216.3故 X 的分布列为X011123P0.0640.2880.4320.216E(X)30.61.8.突破点三 正态分布基 本 知 识 1正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数 ， (x) e ， x(，)(其中实数 和 ( 0)1 2 x 22 2为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值 ；1 2曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时， 曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时，曲线的形状由
23、 确定：Error!2正态分布定义如果对于任何实数 a， b(a b)，随机变量 X 满足 P(a X b) ， (x)dx，则称随机变ba量 X 服从正态分布，记作 XN(， 2)三个常用数据 P( X )0.682 6；12 P( 2 X 2 )0.954 4； P( 3 X 3 )0.997 4基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)当 x 无穷大时，正态曲线可以与 x 轴相交( )(2)正态曲线与 x 轴之间的面积大小不确定( )(3)X 服从正态分布，通常用 XN(， 2)表示，其中参数 和 2分别表示 X 的均值和方差( )答案：(1) (2) (3)二、填空题
24、1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，且 f(x) e18，则这个正态总体的平均数与标准差分别是_ x 10 28答案：10 22已知随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，其中 P( )0.682 6， P( 2 2 )0.954 4.设 N(1， 2)，且 P( 3)0.158 7，则 _.答案：23(2019广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布 N(10， 2)，根据检测结果可知 P(9.9 10.1)0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 2 000 名职工，则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职
25、工人数大约为_解析：每袋大米质量服从正态分布 N(10， 2)， P( 9.9) 1 P(9.9 10.1)0.02，分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工人数大约为122 0000.0240.答案：40典例 (2019石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019 年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：13(1)求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该x 组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布
26、N( ， 2)，利用该正态分布，求 Z 落在(14.55,38.45)内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标值的标准差为 11.95；142.75若 N( ， 2)，则 P( )0.682 6， P( 2 2 )0.954 4.解 (1)所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的平均数50.1150.2250.3350.25450.1526.5.x (2) Z 服从正态分布 N( ， 2)，且 26.5， 11.
27、95， P(14.55 Z38.45) P(26.511.95 Z26.511.95)0.682 6， Z 落在(14.55,38.45)内的概率是 0.682 6.根据题意得 X B ， P(X0)C 4 ；(4，12) 04(12) 116P(X1)C 4 ； P(X2)C 4 ；14(12) 14 24(12) 38P(X3)C 4 ； P(X4)C 4 .34(12) 14 4(12) 116 X 的分布列为X01234P14116143814116 E(X)4 2.12方法技巧求正态总体在某个区间内取值概率的关键点(1)熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3
28、)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等 P(X a)1 P(X a)， P(X a) P(X a) 针对训练1(2019正阳模拟)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 P(X4)0.158 7，则 P(2 X4)( )A0.682 6 B0.341 3C0.460 3 D0.920 7解析：选 A 随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，正态曲线的对称轴是直线x3， P(X4)0.158 7， P(2 X4)12 P(X4)10.317 40.682 6.故选 A.2(2018湘潭二模
29、)某校高三年级有 1 000 人，某次数学考试不同成绩段的人数 N(127,72)(1)求该校此次数学考试平均成绩；(2)计算得分超过 141 的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， X 表示14进入前 100 名的次数，写出 X 的分布列，并求期望与方差(注：若 X N( ， 2)，则 P( X )68.26%， P( 2 X 2 )95.44%)解：(1)由不同成绩段的人数 服从正态分布 N(127,72)，可知平均成绩为 127.15(2)P( 141) P( 12727) 1 P( 2 2 )0.022 8，12故得分超过 141 分的人数为 1 0000.022 823.(3)由题意知 X B ，(4，14)故 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，P(X0) 4 ，(34) 81256P(X1)C 1 3 ，14(14)(34) 2764P(X2)C 2 2 ，24(14)(34) 27128P(X3)C 3 1 ，34(14)(34) 364P(X4) 4 ，(14) 1256故 X 的分布列为X01234P812562764271283641256期望 E(X) np4 1，1416方差 D(X) np(1 p)4 .14 34 34
