1、1第五节 离散型随机变量的分布列、均值与方差突破点一 离散型随机变量的分布列基 本 知 识 1随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X， Y， ， ，表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1， x2， xi， xn， X取每一个值 xi(i1,2， n)的概率 P(X xi) pi，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn此表称为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列有时也用等式P(X xi) pi， i1,2
2、， n表示 X的分布列(2)分布列的性质： pi0， i1,2,3， n； i1.ni 1p3常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布X 0 1P 1 p p若随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称 X服从两点分布，并称 p P(X1)为成功概率(2)超几何分布在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则 P(X k) ， k0,1,2， m，其中 mmin M， n，且 n N， M N， n， M， NN *.CkMCn kN MCnNX 0 1 mP C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN如果随机变量 X的分布列具有上
3、表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)2(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量( )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象( )(3)某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的次数 X服从两点分布( )(4)从 4名男演员和 3名女演员中选出 4名，其中女演员的人数 X服从超几何分布( )(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( )(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)二、填空题1设随机变
4、量 X的分布列如下：X 1 2 3 4 5P 112 16 13 16 p则 p为_答案：142已知随机变量 X的分布列为 P(X i) (i1,2,3)则 P(X2)_.i2a答案：133有一批产品共 12件，其中次品 3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X的所有可能取值是_答案：0,1,2,3全 析 考 法 考法一 离散型随机变量分布列的性质 例 1 (1)设随机变量 X的概率分布列如下表所示：X 0 1 2P a 13 16若 F(x) P(X x)，则当 x的取值范围是1,2)时， F(x)等于( )A. B.13 16C. D.12 56(2)若随机变量 X的分布列
5、为3X 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当 P(X a)0.8 时，实数 a的取值范围是( )A(，2 B1,2C(1,2 D(1,2)解析 (1)由分布列的性质，得 a 1，所以 a .而 x1,2)，所以 F(x)13 16 12 P(X x) .12 13 56(2)由随机变量 X的分布列知： P(X1)0.1， P(X0)0.3， P(X1)0.5， P(X2)0.8，则当 P(X a)0.8 时，实数 a的取值范围是(1,2答案 (1)D (2)C方 法 技 巧 离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取
6、值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确 考法二 离散型随机变量的分布列求法 例 2 (2019长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量 0,1 000 (1 000,3 000 (3 000，)节数 6 18 12(1)现从 36节云课中采用分层抽样的方式选出 6节，求选出的点击量超过 3 000的节数；(2)为了更好
7、地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0,1 000内，则需要花费 40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000内，则需要花费 20分钟进行剪辑，点击量超过 3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的 6节课中随机取出 2节课进行剪辑，求剪辑时间 X的分布列解 (1)根据分层抽样可知，选出的 6节课中点击量超过 3 000的节数为 62.1236(2)由分层抽样可知，(1)中选出的 6节课中点击量在区间0,1 000内的有 1节，点击量在区间(1 000,3 000内的有 3节，故 X的可能取值为 0,20,40,60.4P(X0) ，1C26 115P(X20) ，C
8、13C12C26 615 25P(X40) ，C12 C23C26 515 13P(X60) ，C13C26 315 15则 X的分布列为X 0 20 40 60P 115 25 13 15方法技巧求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量 X的所有可能取值 xi(i1,2，3， n)；(2)求出各取值的概率 P(X xi) pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确 考法三 超几何分布 例 3 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
9、这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4名女志愿者 B1， B2， B3， B4，从中随机抽取 5人接受甲种心理暗示，另 5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率；(2)用 X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X的分布列解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M，则 P(M .C48C510 518(2)由题意知 X可取的值为 0,1,2,3,4，则P(X0) ， P(X1) ，C56C510 142 C46C14C510 52
10、1P(X2) ， P(X3) ，C36C24C510 1021 C26C34C510 521P(X4) .C16C4C510 142因此 X的分布列为X 0 1 2 3 45P 142 521 1021 521 142方法技巧 求超几何分布的分布列的步骤集 训 冲 关 1. 设 X是一个离散型随机变量，其分布列为：考 法 一 X 1 0 1P 13 23 q q2则 q的值为( )A1 B. 32 336C. D. 32 336 32 336解析：选 C 由分布列的性质知Error! q .32 3362. 某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参考 法 三 与，从 8
11、名学生会干部(其中男生 5名，女生 3名)中选 3名参加志愿者服务活动若所选3名学生中的女生人数为 X，求 X的分布列解：因为 8名学生会干部中有 5名男生，3 名女生，所以 X的分布列服从参数N8， M3， n3 的超几何分布X的所有可能取值为 0,1,2,3，其中 P(X i) (i0,1,2,3)，Ci3C3 i5C38则 P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ， P(X3) C03C35C38 528 C13C25C38 1528 C23C15C38 1556 C3C05C38.156所以 X的分布列为X 0 1 2 36P 528 1528 1556 1563. 有编号为 1,
12、2,3， n的 n个学生，入坐编号为 1,2,3， n的 n个座考 法 二 位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X2 时，共有 6种坐法(1)求 n的值(2)求随机变量 X的分布列解：(1)因为当 X2 时，有 C 种坐法，2n所以 C 6，即 6，2nn n 12n2 n120，解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，由题意知 X的可能取值是 0,2,3,4，所以 P(X0) ，1A4 124P(X2) ，C241A4 624 14P(X3) ，C342A4 824 13P(X4)
13、1 ，124 14 13 38所以随机变量 X的分布列为X 0 2 3 4P 124 14 13 38突破点二 离散型随机变量的均值与方差基 本 知 识 1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn(1)称 E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平7(2)称 D(X) (xi E(X)2pi为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值ni 1E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X的标准差D X2均值与方差的性质(1)E(aX b) a
14、E(X) b；(2)D(aX b) a2D(X)(a， b为常数)基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小( )(3)在篮球比赛中，罚球命中 1次得 1分，不中得 0分如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1次的得分 X的均值是 0.7.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知随机变量 X的分布列为 P(X k) ， k1,2,3，则 E(3X5)_.13答案：112一个正四面体 ABCD的四个顶点上
15、分别标有 1分，2 分，3 分和 4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为 X，则 X的均值为_解析： X的分布列为：X 1 2 3 4P 14 14 14 14 E(X)1 2 3 4 .14 14 14 14 52答案：523随机变量 X的可能取值为 0,1,2，若 P(X0) ， E(X)1，则 D(X)_.15解析：设 P(X1) p， P(X2) q，由题意得Error!解得 p ， q ，35 15 D(X) (01) 2 (11) 2 (21) 2 .15 35 15 258答案：25全 析 考 法 考法一 离散型随机变量的均值与方差 例 1 (2018天津高考)已知某单位
16、甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的 7人中有 4人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的身体检查用 X表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望；设 A为事件“抽取的 3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件A发生的概率解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3人，2 人，2人(2)随
17、机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3.所以 P(X0) ， P(X1) ，C3C37 135 C14C23C37 1235P(X2) ， P(X3) ，C24C13C37 1835 C34C37 435所以随机变量 X的分布列为X 0 1 2 3P 135 1235 1835 435随机变量 X的数学期望 E(X)0 1 2 3 .135 1235 1835 435 127设事件 B为“抽取的 3人中，睡眠充足的员工有 1人，睡眠不足的员工有 2人” ；事件 C为“抽取的 3人中，睡眠充足的员工有 2人，睡眠不足的员工有 1人” ，则A B C，且 B与 C互斥由知 P(B) P(X2)
18、， P(C) P(X1)，故 P(A) P(B C) P(X2) P(X1) .67所以事件 A发生的概率为 .679方 法 技 巧 求离散型随机变量均值与方差的关键及注意(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意 E(aX b) aE(X) b， D(aX b) a2D(X)的应用 考法二 均值与方差在决策中的应用 例 2 (2019开封模拟)某产品按行业生产标准分成 8个等级，等级系数 X依次为1,2，8，其中 X5 为标准 A， X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为 6元/件
19、；乙厂执行标准 B生产该产品，产品的零售价为 4元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下表所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1的数学期望 EX16，求 a， b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为
20、判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性解 (1) EX16，50.46 a7 b80.16，即 6a7 b3.2，又 0.4 a b0.11，即 a b0.5，由Error! 得Error!(2)由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2 3 4 5 6 7 8P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 EX230.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数 X2的数学期望等于 4.8.(3)乙厂的产品更具
21、可购买性，理由如下：10甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6元/件，其性价比为 1，66乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4元/件其性价比为 1.2，4.84又 1.21，乙厂的产品更具可购买性方 法 技 巧 利用均值、方差进行决策的 2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策 集 训 冲 关 1. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化某调查机考 法 一 构随机抽取 10名购物者进行采访，5 名男性购物者
22、中有 3名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店(1)若从 10名购物者中随机抽取 2名，其中男、女各一名，求至少 1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这 10名购物者中随机抽取 3名，设 X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X的分布列和数学期望解：(1)设“随机抽取 2名，其中男、女各一名，至少 1名倾向于选择实体店”为事件A，则 表示事件“随机抽取 2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购” ，A则 P(A)1 P( )1 .AC13C12C15C15 1925(2)X所有可能的取值为 0,1,2,3，且 P(
23、X k) ，Ck3C3 k7C310则 P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ，724 2140 740P(X3) .1120所以 X的分布列为：X 0 1 2 3P 724 2140 740 1120E(X)0 1 2 3 .724 2140 740 1120 910112. 张老师开车上班，有路线与路线两条路线可供选择考 法 二 路线：沿途有 A， B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 ，12，若 A处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 2分钟；若 B处遇红灯或黄灯，则导致延误时间233分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为 20分钟路线：沿途有 a， b两处独立运行的交
24、通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 ，34，若 a处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 8分钟；若 b处遇红灯或黄灯，则导致延误时间255分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为 15分钟(1)若张老师选择路线，求他 20分钟能到校的概率；(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由解：(1)走路线，20 分钟能到校意味着张老师在 A， B两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为 P，则 P .12 23 13(2)设选择路线的延误时间为随机变量 ，则 的所有可能取值为 0,2,3,5.则 P( 0) ， P( 2) ，12 23 13 12 23 13P( 3) ，
25、P( 5) .12 13 16 12 13 16 的数学期望 E( )0 2 3 5 2.13 13 16 16设选择路线的延误时间为随机变量 ，则 的所有可能取值为 0,8,5,13.则 P( 0) ， P( 8) ，34 25 310 14 25 110P( 5) ， P( 13) .34 35 920 14 35 320 的数学期望 E( )0 8 5 13 5.310 110 920 320因此选择路线平均所花时间为 20222 分钟，选择路线平均所花时间为15520 分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线.突破点三 均值、方差与统计案例的综合问题典例 (20
26、19湖南湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量 x， y之间的几组数12据如下表所示：x 2 4 6 8 10y 3 6 7 10 12(1)请根据上表数据绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出 y关于 x的线性回归方程 x ，并估计当 x20y b a 时 y的值；(3)将表格中的数据看作 5个点的坐标，则从这 5个点中随机抽取 3个点，记落在直线2x y40 右下方的点的个数为 ，求 的分布列及数学期望参考公式： ， .b ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 ay b x 解 (1)散点图如图所示(2)依题意得， (246810)6， (3671012)7.6，x
27、 15 y 154163664100220， iyi6244280120272，5i 1x2i5i 1x 1.1，b 5i 1xiyi 5x y 5i 1x2i 5x 2 272 567.6220 562所以 7.61.161，a 所以线性回归方程为 1.1 x1，y 故当 x20 时， 23.y (3)可以判断，落在直线 2x y40 右下方的点的坐标满足 2x y40，13所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故 的所有可能取值为 1,2,3.P( 1) ，C2C13C35 310P( 2) ，C12C23C35 610 35P( 3) ，C3C35 110故
28、的分布列为 1 2 3P 310 35 110E( )1 2 3 .310 35 110 1810 95方法技巧解决此类问题的关键是读懂题意，从已知条件给出的图表中准确获取数据信息， 再根据相关公式正确计算并分析得出结论 针对训练社会公众人物的言行在一定程序上影响着年轻人的人生观、价值观某媒体机构为了了解大学生对影星、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称“星闻”)的关注情况，随机调查了某大学的 200位大学生，得到信息如下表：男大学生 女大学生不关注“星闻” 80 40关注“星闻” 40 40(1)从所抽取的 200人内关注“星闻”的大学生中，再抽取 3人做进一步调查，求这 3人性别不全相同的概
29、率；(2)是否有 95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关？并说明理由；(3)把以上的频率视为概率，若从该大学被调查的男大学生中随机抽取 4人，设这 4人中关注“星闻”的人数为 ，求 的分布列及数学期望附： K2 ， n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b dP(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解：(1)由已知得，所求概率 P1 .2C340C380 607914(2)由于 K2的观测值 k 5.5563.841，200 8040 4040 21208012080 509故有 95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关(3)由题意可得，从被调查的男大学生中抽取一位关注“星闻”的男大学生的概率为 ，不关注“星闻”的概率为 . 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.40120 13 23P( 0) 4 ； P( 1)C 3 ； P( 2)(23) 1681 14 13 (23) 3281C 2 2 ； P( 3)C 3 ； P( 4) 4 .24 (13) (23) 2481 827 34 (13) 23 881 (13) 181所以 的分布列为 0 1 2 3 4P 1681 3281 827 881 181因为 B ，所以 E( ) .(4，13) 4315
