1、1第二节 二项式定理突破点一 二项式的通项公式及应用基 本 知 识 1二项式定理二项展开式公式( a b)nC anC an1 bC an kbkC bn(nN *)叫做二项式0n 1n kn n定理二项式的通项 Tk1 C an kbk为展开式的第 k1 项kn2.二项式系数与项的系数二项式系数二项展开式中各项的系数 C (r0，1， n)叫做第 r1 项的二项式系数rn项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念如( a bx)n的展开式中，第 r1 项的系数是 C an rbrrn基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)C an r
2、br是( a b)n的展开式中的第 r 项( )rn(2)在( a b)n的展开式中，每一项的二项式系数与 a， b 无关( )(3)(a b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1. 10的展开式中 x2的系数等于 _(1x x)答案：452在 6的展开式中，常数项为_(x22x)答案：2403. 8的展开式中的有理项共有_项(x 124x)答案：3全 析 考 法 考法一 形如( a b)n的展开式问题 2例 1 (1)(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )(x22x)A10 B20C40 D80(2)(2019陕西黄陵中学月考
3、) 6的展开式中常数项为( )(x12x)A. B16052C D16052解析 (1) 5的展开式的通项公式为 Tr1 C (x2)(x22x) r55 r rC 2rx103 r，令 103 r4，得 r2.故展开式中 x4的系数为 C 2240.(2x) r5 25(2) 6的展开式的通项 Tr1 C x6 r r rC x6 2r，令 62 r0，得 r3，(x12x) r6 (12x) (12) r6所以展开式中的常数项是 T4 3C ，选 A.(12) 36 52答案 (1)C (2)A方法技巧二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第 k1 项
4、，再由特定项的特点求出 k 值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k1 项，由特定项得出 k 值，最后求出其参数 考法二 形如( a b)n(c d)m的展开式问题 例 2 (1)(2018广东一模) (12 x)5的展开式中， x3的系数为( )(x1x)A120 B160C100 D80(2)(2019陕西两校联考)(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是( )A56 B84C112 D168解析 (1) (12 x)5 x(12 x)5 (12 x)5， x(12 x)5的展开式中含 x3的(x1x) 1x项为 xC (2x)240
5、x3， (12 x)5的展开式中含 x3的项为 C (2x)480 x3， x3的系数251x 1x 45为 4080120.故选 A.3(2)根据(1 x)8和(1 y)4的展开式的通项公式可得， x2y2的系数为 C C 168.故选 D.2824答案 (1)A (2)D方法技巧求解形如( a b)n(c d)m的展开式问题的思路(1)若 n， m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如( a b)2(c d)m( a22 ab b2)(c d)m，然后展开分别求解(2)观察( a b)(c d)是否可以合并，如(1 x)5(1 x)7(1 x)(1 x)5(1 x)2(1 x2)5(1
6、 x)2.(3)分别得到( a b)n，( c d)m的通项公式，综合考虑 考法三 形如( a b c)n的展开式问题 例 3 (1)(2019枣阳模拟)( x2 x y)5的展开式中 x5y2的系数为( )A10 B20C30 D60(2)(2019太原模拟) 5的展开式中常数项是_(2x1x 1)解析 (1)( x2 x y)5的展开式的通项为 Tr1 C (x2 x)5 ryr，r5令 r2，则 T3C (x2 x)3y2，25又( x2 x)3的展开式的通项为 C (x2)3 kxkC x6 k，k3 k3令 6 k5，则 k1，所以( x2 x y)5的展开式中， x5y2的系数为
7、C C 30，故选 C.2513(2)由 5 5，则其通项公式为(1) 5 rC r(0 r5)，其(2x1x 1) ( 1 2x 1x) r5(2x 1x)中 r的通项公式为 2r tC xr2 t(0 t r)(2x1x) tr令 r2 t0，得Error!或Error!或Error!所以 5的展开式中的常数项为(1) 5C (1) 3C 2C (1) 1C 22C (2x1x 1) 05 25 12 45 24161.答案 (1)C (2)161方 法 技 巧 三项展开式问题的破解技巧破解( a b c)n的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公4式，那当然比较简单；
8、若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数 集 训 冲 关 1. ( )100的展开式中，无理数项的个数是( )考 法 一 2 33A84 B85C86 D87解析：选 A ( )100展开式的通项为 Tr1 C ( )100 r( )rC 250 32 33 r100 2 33 r100r2， r0,1,2，100，r3所以当 r 是 6 的倍数时， Tr1 为有理项，所以 r0,6,12，96，共 17 项，因为展开式共有 101 项，所以展开式中无理项的个数是 1011784.故选 A.2. (x22) 5的展开式中
9、x1 的系数为( )考 法 二 (12x)A60 B50C40 D20解析：选 A 由通项公式得展开式中 x1 的系数为 23C 2 2C 60.35 153. (x y)(2x y)6的展开式中 x4y3的系数为( )考 法 二 A80 B40C40 D80解析：选 D (2 x y)6的展开式的通项公式为 Tr1 C (2x)6 r( y)r，当 r2 时，r6T3240 x4y2，当 r3 时， T4160 x3y3，故 x4y3的系数为 24016080，故选 D.4. 在 6的展开式中，含 x5项的系数为( )考 法 三 (x1x 1)A6 B6C24 D24解析：选 B 由 6C
10、6C 5C 4C C ，可(x1x 1) 06(x 1x) 16(x 1x) 26(x 1x) 56(x 1x) 6知只有C 5的展开式中含有 x5，所以 6的展开式中含 x5项的系数为16(x1x) (x 1x 1)C C 6，故选 B.0516突破点二 二项式系数性质及应用5基 本 知 识 二项式系数的性质基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( )(2)在(1 x)9的展开式中，系数最大的项是第 5 项和第 6 项( )(3)若(3 x1) 7 a7x7 a6x6 a1x a0，则 a7 a6 a1的值为 128.(
11、)答案：(1) (2) (3)二、填空题1若 n的展开式中的所有二项式系数之和为 512，则该展开式中常数项为(x21x)_答案：842已知 m 是常数，若( mx1) 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0且a1 a2 a3 a4 a533，则 m_.答案：33若(2 x1) 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0，则 a1 a2 a3 a4 a5_.答案：2全 析 考 法 考法一 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， b， cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
12、 x1 即可6(2)对形如( ax by)n(a， bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可(3)若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，f 1 f 12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f 1 f 12例 1 (1)(2019郑州一中月考)若二项式 n的展开式的二项式系数之和为(x22x)8，则该展开式每一项的系数之和为( )A1 B1C27 D27(2)(2019襄阳四中月考)设( x21)(2 x1) 8 a0 a1(x2) a2(x2)2 a10(x2) 10，则 a0 a1
13、 a2 a10的值为_解析 (1)依题意得 2n8，解得 n3，取 x1，得该二项展开式每一项的系数之和为(12) 31.故选 A.(2)在所给的多项式中，令 x1 可得(11)(21) 8 a0 a1 a2 a10，即a0 a1 a2 a102.答案 (1)A (2)2易错提醒(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值 考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大” 、 “二项式系数最
14、大”两者中的哪一个第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据( a b)n中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解例 2 (1)(2019内蒙古鄂尔多斯模拟)在 5的展开式中， x3的系数等于5，(xax)则该展开式的各项的系数中最大值为( )A5 B10C15 D207(2)(2019福州高三期末)设 n 为正整数， n的展开式中仅有第 5 项的二项式系(x2x3)数最大，则展开式中的常数项为_解析 (1) 5的展开式的通项 Tr1 C x5 r r( a)rC x52 r，令(xax) r5 ( ax) r552 r3，则 r1，所以 a55，即 a1，展开式中第 2,4,6 项的系数为负数，第
15、1,3,5 项的系数为正数，故各项的系数中最大值为 C 10，选 B.25(2)依题意得， n8，所以展开式的通项 Tr1 C x8 r rC x84 r(2) r，令r8 (2x3) r884 r0，解得 r2，所以展开式中的常数项为 T3C (2) 2112.28答案 (1)B (2)112方法技巧 求展开式系数最值的 2 个思路思路一由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值思路二由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组Error!即可求得答
16、案集 训 冲 关 1. 设(1 x)n a0 a1x anxn，若 a1 a2 an63，则展开式中考 法 一 、 二 系数最大的项是( )A15 x3 B20 x3C21 x3 D35 x3解析：选 B 在(1 x)n a0 a1x anxn中，令 x1 得 2n a0 a1 a2 an；令 x0，得 1 a0， a1 a2 an2 n163， n6.而(1 x)6的展开式中系数最大的项为 T4C x320 x3.362. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则考 法 一 a_.解析：设( a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a
17、5x5.令 x1，得( a1)2 4 a0 a1 a2 a3 a4 a5.令 x1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5.得 16(a1)2( a1 a3 a5)232， a3.答案：383. 设(5 x )n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若考 法 二 xM N240，则展开式中二项式系数最大的项为_解析：依题意得， M4 n(2 n)2， N2 n，于是有(2 n)22 n240，(2 n15)(2 n16)0，2 n162 4，解得 n4.要使二项式系数 C 最大，只有 k2，k4故展开式中二项式系数最大的项为T3C (5x)2( )2150 x3.24 x答案：150 x39
