1、1第五节 抛物线突破点一 抛物线的定义及其应用基 本 知 识 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)AB 为抛物线 y24 x 的过焦点 F 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则x1x21， y1y24，弦长| AB| x1 x22.( )答案：(1) (2)二、填空题1已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到直线 l：
2、 x2 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为_答案： y28 x2已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，| AF| x0，则54x0_.答案：13已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点，| AF| BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_答案：54全 析 考 法 考法一 抛物线的定义及应用 例 1 (1)(2019赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)， F 是抛物线 y22 x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使| MF| MA|取得最小值的 M 的坐标为( )A(0,0) B.(12， 1)C(1， ) D(2,
3、2)22(2)(2019襄阳测试)已知抛物线 y x2的焦点为 F，准线为 l， M 在 l 上，线段 MF 与12抛物线交于点 N，若| MN| |NF|，则| MF|( )2A2 B3C. D.2 3解析 (1)过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则| MF| MA| MN| MA|，当A， M， N 三点共线时，| MF| MA|取得最小值，此时 M(2,2)(2)如图，过 N 作准线的垂线 NH，垂足为 H.根据抛物线的定义可知| NH| NF|，在 Rt NHM 中，| NM| |NH|，则 NMH45.在2 MFK 中， FMK45，所以| MF| |FK|.而| FK|1.所以|
4、 MF|2.故选 C.2答案 (1)D (2)C方法技巧利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化 “看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线” ，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径 考法二 焦点弦问题 焦点弦的常用结论以抛物线 y22 px(p0)为例，设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)， F 是抛物线的焦点， A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 在准线上的射影为 A1， B1，则有以下结论：(1)x1x2 ， y1y2 p2；p24(2)|AB| x1 x2 p (其中 为直线 AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为
5、 2p，2psin2通径是最短的焦点弦；(3) 为定值；1|AF| 1|BF| 2p(4)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(5)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切；(6)以 A1B1为直径的圆与直线 AB 相切，切点为 F， A1FB190；(7)A， O， B1三点共线， B， O， A1三点也共线例 2 (2019长沙四校联考)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，与抛物线的准线交于点 M，且 3 ，则| |( )FM FP FP A. B.32 233C. D.43 34解析 如图，不妨设 Q 点在第一象限，过 P 作 P
6、N 垂直于抛物线的准线，垂足为 N，由抛物线定义可知| PF| PN|，又因为 3 ，FM FP 所以 2 ，PM FP 所以| PM|2| PF|2| PN|，在 Rt PNM 中，cos MPN ，|PN|PM| 12由抛物线焦点弦的性质可知| | .故选 C.PF p1 cos MPN21 12 43答案 C方法技巧焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解 集 训 冲 关 1. 若抛物线 y24 x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2， O 为坐标原点，则 OFP考
7、法 一 的面积为( )A. B112C. D232解析：选 B 设 P(xP， yP)，由题意可得抛物线的焦点为 F(1，0)，准线方程为x1，又点 P 到焦点 F 的距离为 2，由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为2， xP12，得 xP1，代入抛物线方程得| yP|2， OFP 的面积为S |OF|yP| 121.故选 B.12 122. 已知 AB 是抛物线 y22 x 的一条焦点弦，| AB|4，则 AB 中点 C 的横坐标考 法 二 是( )A.2 B.12C. D.32 524解析：选 C 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| x1 x2 p4，又 p1，
8、x1 x23，点 C 的横坐标是 .故选 C.x1 x22 323. 已知 M 是抛物线 x24 y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆 C：( x1)考 法 一 2( y5) 21 上，则| MA| MF|的最小值是_解析：依题意，由点 M 向抛物线 x24 y 的准线 l： y1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有| MA| MF| MA| MM1|，结合图形可知| MA| MM1|的最小值等于圆心 C(1，5)到 y1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 615，因此| MA| MF|的最小值是 5.答案：5突破点二 抛物线的标准方程及性质基 本 知 识 图形y22 px(p0)y22
9、 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR焦点坐标 (p2， 0) ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2离心率 e1焦半径 |PF| x0p2|PF| x0p2|PF| y0p2|PF| y0p2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)方程 y ax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ，(a4， 0)准线方程是 x .( )a4(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对
10、称图形( )(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切( )5答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4 y110 上，则此抛物线的方程是_答案： y222 x2抛物线 y ax2的准线方程是 y1，则 a 的值为_答案：143已知 F 是抛物线 x28 y 的焦点，若抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5，则|AF|_.答案：7全 析 考 法 考法一 求抛物线的标准方程 例 1 (1)(2019河南中原名校联考)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为抛物线上一点，且| MF|4| OF|，
11、 MFO 的面积为 4 ，则抛物线的方程为( )3A y26 x B y28 xC y216 x D y215x2(2)(2019江西协作体联考)设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )A y24 x 或 y28 x B y22 x 或 y28 xC y24 x 或 y216 x D y22 x 或 y216 x解析 (1)设 M(x， y)，因为| OF| ，| MF|4| OF|，所以| MF|2 p，由抛物线定义p2知 x 2 p，所以 x p，所以 y p，又 MFO 的面积为 4 ，
12、所以p2 32 3 3 p4 ，解得 p4( p4 舍去)所以抛物线的方程为 y28 x.12 p2 3 3(2)由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0， y0)，则 (p2， 0) AF ， .由已知得 0，即 y 8 y0160，因而(p2， 2) AM (y202p， y0 2) AF AM 20y04， M .由| MF|5 得， 5，又 p 0，解得 p2 或 p8，故选 C.(8p， 4) (8p p2)2 16答案 (1)B (2)C6方法技巧求抛物线方程的 3 个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种(2)要注
13、意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系(3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考法二 抛物线的几何性质 例 2 (1)(2019兰州双基过关考试)抛物线 y22 px(p0)上横坐标为 6 的点到此抛物线焦点的距离为 10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A4 B8C16 D32(2)(2018赣州二模)抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上一点，若 A到 F 的距离是 A 到 y 轴距离的两倍，且三角形 OAF 的面积为 1， O 为坐标原点，则 p 的值为( )A1 B2C3 D4解析 (1)设抛物线的准
14、线方程为 x (p0)，如图，则根据p2抛物线的性质有| PF| 610，解得 p8，所以抛物线的焦点到准线p2的距离为 8.(2)不妨设 A(x0， y0)在第一象限，由题意可知Error!即Error! A ，(p2， 4p)又点 A 在抛物线 y22 px 上， 2 p ，即 p416，16p2 p2又 p0， p2，故选 B.答案 (1)B (2)B方法技巧用抛物线几何性质的技巧7涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题 集 训 冲 关 1. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的
15、标准方程考 法 一 是( )A y2 x B x28 yC y28 x 或 x2 y D y2 x 或 x28 y解析：选 D 设抛物线为 y2 mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛物线方程为 y2 x；设抛物线为 x2 ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线方程为x28 y.2. 已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，点 A(0， )若线段 FA 与抛物线 C考 法 二 3相交于点 M，则| MF|( )A. B.43 53C. D.23 33解析：选 A 由题意， F(1,0)，| AF|2，设| MF| d，则 M 到准线的距离为 d， M 的横坐标为 d1，由三角形相似，可得 ，所以 d ，故选 A.d 11 2 d2 433. 已知 A 是抛物线 y22 px(p0)上一点， F 是抛物线的焦点， O 为坐标考 法 一 、 二 原点，当| AF|4 时， OFA120，则抛物线的准线方程是( )A x1 B y1C x2 D y2解析：选 A 过 A 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x 轴的交点为 D.因为 OFA120，所以 ABF 为等边三角形， DBF30，从而 p| DF|2，因此抛物线的准线方程为 x1.选 A.8
