1、1第 2课时 系统题型圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系圆的方程求法典例 (2018全国卷)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于 A， B两点，| AB|8.(1)求 l的方程；(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，4k2
2、4k2解得 k1 或 k1(舍去)因此 l的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.方法技巧1确定圆的方程必须有 3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母( a， b， r或 D， E， F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于 a， b， r(或 D， E， F)的三个方程组成的方程组，解之得到待
3、定字母系数的值，从而确定圆的方程2几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用 2针对训练1(2019湖北名校摸底)过点 A(1，1)， B(1,1)且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 24 B( x3) 2( y1) 24C( x1) 2( y1) 24 D( x1) 2( y1) 24解析：选 C 由题知直线 AB的垂直平分线为 y x，直线 y x与 x y20 的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为 2，故圆的
4、方程是( x1) 2( y1) 24.2(2019黑龙江伊春三校联考)已知圆 C1：( x1) 2( y1) 21，圆 C2与圆 C1关于直线 x y10 对称，则圆 C2的方程为( )A( x2) 2( y1) 21 B( x2) 2( y2) 21C( x2) 2( y2) 21 D( x2) 2( y2) 21解析：选 B 圆 C1：( x1) 2( y1) 21，圆心 C1为(1,1)，半径为 1.易知点C1(1,1)关于直线 x y10 对称的点为 C2，设 C2(a， b)，则Error!得Error!所以C2(2，2)，所以圆 C2的圆心为 C2(2，2)，半径为 1，所以圆 C
5、2的方程为( x2)2( y2) 21.故选 B.直线与圆位置关系的判断典 例 感 悟 1(2019西安模拟)直线( a1) x( a1) y2 a0( aR)与圆x2 y22 x2 y70 的位置关系是( )A相切 B相交C相离 D不确定解析：选 B 法一： x2 y22 x2 y70 化为圆的标准方程为( x1) 2( y1)29，故圆心坐标为(1，1)，半径 r3，圆心到直线的距离 d .再根据 r2 d29 .而| a 1 a 1 2a| a 1 2 a 1 2 |2a 2|2a2 2 4a2 8a 42a2 2 7a2 4a 7a2 17a24 a70 的判别式 161961800，
6、故有 r2 d2，即 d r，故直线与圆相交法二：由( a1) x( a1) y2 a0( aR)整理得 x y a(x y2)0，则由Error! 解得 x1， y1，即直线( a1) x( a1) y2 a0( aR)过定点(1，1)，又(1) 2(1)22(1)2(1)750，则点(1，1)在圆 x2 y22 x2 y70 的内部，故直线( a1) x( a1) y2 a0( aR)与圆 x2 y22 x2 y70 相交2(2019湖北六市联考)将直线 x y10 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15得到3直线 l，则直线 l与圆( x3) 2 y24 的位置关系是( )A相交 B相切C
7、相离 D相交或相切解析：选 B 依题意得，直线 l的倾斜角为 150，所以直线 l的方程是 ytan 150(x1) (x1)，即 x y10，圆心(3,0) 到直线 l的距离33 3d 2，故直线 l与圆相切| 3 1|3 13直线 y x m与圆 x2 y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m的取值范33围是( )A( ，2) B( ，3)3 3C. D.(33， 233) (1， 233)解析：选 D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d 1，解得 m (切点在第一象限)，所以|m|1 (33)2 233要使直线与圆在
8、第一象限内有两个不同的交点，则 1 m .233方 法 技 巧 直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.切线问题典例 已知点 P( 1,2 )，点 M(3,1)，圆 C：( x1) 2( y2) 24.2 2(1)求过点 P的圆 C的切线方程；(2)求过点 M的圆 C的切线方程，并求出切线长解 (1)由题意得圆心 C(1
9、,2)，半径长 r2.因为( 11) 2(2 2) 24，2 24所以点 P在圆 C上又 kPC 1，所以切线的斜率 k 1.2 2 22 1 1 1kPC所以过点 P的圆 C的切线方程是 y(2 )1 x( 1)，即2 2x y12 0.2(2)因为(31) 2(12) 254，所以点 M在圆 C外部当过点 M的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312 r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1 k(x3)，即 kx y13 k0，则圆心 C到切线的距离 d r2，|k 2 1 3k|k2 1解得 k .
10、所以切线方程为 y1 (x3)，34 34即 3x4 y50.综上可得，过点 M的圆 C的切线方程为 x3 或 3x4 y50.因为| MC| ， 3 1 2 1 2 2 5所以过点 M的圆 C的切线长为 1.|MC|2 r2 5 4方法技巧求过圆外一点( x0， y0)的圆的切线方程 2方法几何法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0)，即kx y y0 kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0)，即 y kx kx0 y0，代入圆的方程，得到一个关于 x的一元二次方程，由
11、 0，求得 k，切线方程即可求出提醒 当点( x0， y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况针对训练1(2019陕西高三质检)已知圆 C： x2 y24 x6 y30，点 M(2,0)是圆 C外一点，则过点 M的圆的切线方程是( )A x20,7 x24 y140 5B y20,7 x24 y140C x20,7 x24 y140 D y20,7 x24 y140解析：选 C 将圆 C的方程转化为( x2) 2( y3) 216，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然 x20 是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线 7x24 y140 的距离 d4，所以选项 C满足，故选 C.14 7
12、2 1449 2422(2019沈阳市高三质量监测)已知直线 l： y k(x )和圆 C： x2( y1) 21，3若直线 l与圆 C相切，则 k( )A0 B. 3C. 或 0 D. 或 033 3解析：选 D 因为直线 l与圆 C相切，所以圆心 C到直线 l的距离d 1， | 1 k| ，解得 k0 或 k ，故选 D.| 1 3k|1 k2 3 1 k2 3弦长问题典例 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C： x2 y24 x0 及点 A(1,0)， B(1，2)(1)若直线 l平行于 AB，与圆 C相交于 M， N两点，|MN| AB|，求直线 l的方程；(2)在圆 C上是否存
13、在点 P，使得| PA2| PB2|12？若存在，求出点 P的个数；若不存在，说明理由解 (1)圆 C的标准方程为( x2) 2 y24，所以圆心 C(2,0)，半径为 2.因为 l AB， A(1,0)， B(1,2)，所以直线 l的斜率为 1，2 01 1设直线 l的方程为 x y m0，则圆心 C到直线 l的距离 d .|2 0 m|2 |2 m|2因为| MN| AB| 2 ，22 22 2|CM2| d2 2，所以 4 2，(|MN|2 ) 2 m 22解得 m0 或 m4，故直线 l的方程为 x y0 或 x y40.6(2)假设圆 C上存在点 P，设 P(x， y)，则( x2)
14、 2 y24，| PA|2| PB|2( x1) 2( y0) 2( x1) 2( y2) 212，即 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，因为|22| 22， 2 0 2 0 1 2所以圆( x2) 2 y24 与圆 x2( y1) 24 相交，所以存在点 P，使得| PA|2| PB|212，点 P的个数为 2.方法技巧 解决圆弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线 l被圆 C截得的弦为 AB，圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有关系式：| AB|2 r2 d2代数法若斜率为 k的直线与圆相交于 A(xA， yA)， B(xB， yB)两点，则| AB| 1 k
15、2 |yA yB|(其中 k0)特别地，当 k0 时， xA xB 2 4xAxB1 1k2|AB| xA xB|；当斜率不存在时，| AB| yA yB|针对训练1(2019丽水模拟)若圆心在 x轴上，半径为 的圆 C位于 y轴左侧，且被直线5x2 y0 截得的弦长为 4，则圆 C的方程是( )A( x )2 y25 B( x )2 y255 5C( x5) 2 y25 D( x5) 2 y25解析：选 B 设圆心为( a,0)(a0)，因为截得的弦长为 4，所以弦心距为 1，即1，得 a ，所以所求圆的方程为( x )2 y25.|a 20|12 22 5 52(2016全国卷)设直线 y
16、 x2 a与圆 C： x2 y22 ay20 相交于 A， B两点，若| AB|2 ，则圆 C的面积为 _3解析：圆 C： x2 y22 ay20 化为标准方程为 x2( y a)2 a22，所以圆心 C(0， a)，半径 r ，因为| AB|2 ，点 C到直线 y x2 a，即a2 2 3x y2 a0 的距离 d ，由勾股定理得 2 2 a22，解得|0 a 2a|2 |a|2 (232) (|a|2)a22，所以 r2，所以圆 C的面积为 2 24.答案：47圆与圆的位置关系典 例 感 悟 1(2019内蒙古赤峰模拟)圆 O1： x2 y22 x0 和圆 O2： x2 y24 y0 的位
17、置关系是( )A相交 B外切C相离 D内切解析：选 A 圆 O1圆心坐标为 O1(1,0)，半径 r11，圆 O2圆心坐标为 O2(0,2)，半径r22，两圆心距| O1O2| ，因为 21 21，即 1 0 2 0 2 2 5 5r2 r1| O1O2| r1 r2，所以圆 O1与圆 O2相交，故选 A.2若圆 x2 y24 与圆 x2 y22 ay60( a0)的公共弦长为 2 ，则 a_.3解析：方程 x2 y22 ay60 与 x2 y24.两式相减得 2ay2，则 y .1a由题意知， ，解得 a1.22 3 21a答案：13已知 M， N是圆 A： x2 y22 x0 与圆 B：
18、x2 y22 x4 y0 的公共点，则 BMN的面积为_解析：由题意可知，联立Error!可得直线 MN的方程为 x y0，所以 B(1,2)到直线MN的距离为 ，线段 MN的长度为 2 ，所以 BMN的面积| 1 2|2 322 5 2 (322)2 2为 .12 322 2 32答案：32方 法 技 巧 圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2， y2项得到提醒 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含8
