1、1第二节 圆与方程第 1 课时 系统知识圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1圆的定义及方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心：( a， b)标准方程(x a)2( y b)2 r2(r0) 半径： r圆心： (D2， E2)一般方程x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)半径： rD2 E2 4F22点与圆的位置关系点 M(x0， y0)，圆的标准方程( x a)2( y b)2 r2.理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系(x0 a)2( y0 b)2 r2点在圆上(x0 a)2( y0 b)2 r2点在圆外三种情况(x0 a)2( y0
2、b)2 r2点在圆内提醒 不要把形如 x2 y2 Dx Ey F0 的结构都认为是圆，一定要先判断D2 E24 F 的符号，只有大于 0 时才表示圆谨记常用结论若 x2 y2 Dx Ey F 0表 示 圆 ， 则 有 ： 1 当 F 0时 ， 圆 过 原 点 . 2 当 D 0， E 0时 ， 圆 心 在 y轴 上 ； 当 D 0， E 0时 ， 圆 心 在 x轴 上 . 3 当 D F 0， E 0时 ， 圆 与 x轴 相 切 于 原 点 ； E F 0， D 0时 ， 圆 与 y轴 相 切 于 原 点 . 4 当 D2 E2 4F时 ， 圆 与 两 坐 标 轴 相 切 .小 题 练 通 1
3、. 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1，1)和 B(1,3)，则人 教 A版 教 材 P124A组 T4圆 C 的方程为_答案：( x2) 2 y2102. 经过点(1,0)，且圆心是两直线 x1 与 x y2 的交点的圆的方程为教 材 改 编 题 _答案：( x1) 2( y1) 213. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是_教 材 改 编 题 2答案：( x1) 2( y1) 224. 已知圆的方程为 x2 y2 ax2 y a20，一定点为 A(1,2)，要使过定点 A易 错 题 的圆的切线有两条，则 a 的取值范围是_答案： (233， 233)5若坐标原点在圆( x m)
4、2( y m)24 的内部，则实数 m 的取值范围是_答案：( ， )2 26在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案： x2 y22 x0直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系(半径 r，圆心到直线的距离为 d)相离 相切 相交图形方程观点 0 0 0量化 几何观点 d r d r d r2圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线过圆 x2 y2 r2上一点 M(x0， y0)的切线方程是 x0x y0y r2.过圆( x a)2( y b)2 r2上一点 M(x0， y0)的切线方程是( x0 a)(x a)( y0 b)(y b) r2.(2)过圆外一点
5、的圆的切线过圆外一点 M(x0， y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率 k，从而得切线方程；若求出的 k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为 x x0.(3)切线长从圆 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)外一点 M(x0， y0)引圆的两条切线，切线长为 .x20 y20 Dx0 Ey0 F两切点弦长：利用等面积法，切线长 a 与半径 r 的积的 2 倍等于点 M 与圆心的距离d 与两切点弦长 b 的积，即 b .2ard3提醒 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数3圆的弦问题直线和圆相
6、交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长 、弦心距 d、半径 r 构成直角三角形，所以由勾股定理得 L L22 .r2 d2(2)代数法：若直线 y kx b 与圆有两交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有：|AB| |x1 x2| |y1 y2|.1 k21 1k2谨记常用结论过直线 Ax By C0 和圆 x2 y2 Dx Ey F0 D2 E24 F0 交点的圆系方程为 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0., 小 题 练 通 1. 若直线 x y10 与圆( x a)2 y22 有公共点，则实数 a 的取值范教 材 改 编 题 围是( )A3
7、，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案：C2. 直线 y ax1 与圆 x2 y22 x30 的位置关系是( )教 材 改 编 题 A相切 B相交C相离 D随 a 的变化而变化解析：选 B 直线 y ax1 恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆( x1) 2 y24 的内部，故直线与圆相交3. 已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y21 外，则直线 ax by1 与圆 O 的位教 材 改 编 题 置关系是_解析：由题意知点 M 在圆外，则 a2 b21，圆心到直线的距离 d 1，故直1a2 b2线与圆相交答案：相交4. 过点(2,3)且与圆( x1) 2 y21 相切的直线的方程为_
8、易 错 题 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y k(x2)3，由圆心(1,0)到切线的距离为 1，得 k ，所以切线方程为 4x3 y10；当切线的斜率不存在时，易知直线43x2 是圆的切线，所以所求的直线方程为 4x3 y10 或 x2.4答案： x2 或 4x3 y105以 M(1,0)为圆心，且与直线 x y30 相切的圆的方程是_答案：( x1) 2 y286直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B 两点，则| AB|_.解析：由 x2 y22 y30，得 x2( y1) 24.圆心 C(0，1)，半径 r2.圆心 C(0，1)到直线 x y10 的距离
9、d |1 1|2，2| AB|2 2 2 .r2 d2 4 2 2答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1， r2， d| O1O2|)相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系 d r1 r2 d r1 r2|r1 r2| d r1 r2d| r1 r2| d| r1 r2|提醒 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论谨记常用结论圆 C1： x2 y2 D1x E1y F10 与 C2： x2 y2 D2x E2y F20 相交时：1 将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；2 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；3 x2 y2 D1x E1y
10、F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 表示过两圆交点的圆系方程 不包括 C2. 小 题 练 通 1. 圆 x2 y240 与圆 x2 y24 x4 y120 的公共弦的人 教 A版 教 材 P133A组 T9长为_答案：2 22. 若圆 x2 y21 与圆( x4) 2( y a)225 相切，则实数 a_.教 材 改 编 题 答案：2 或 053. 圆 x2 y2 r2与圆( x3) 2( y1) 2 r2外切，则半径 r_.教 材 改 编 题 5解析：由题意，得 2r ，所以 r .32 1 2102答案：1024. 若两圆 x2 y2 m 和 x2 y26 x8 y110 有公共点
11、，则实数 m 的取值范易 错 题 围是_答案：1,1215若圆 C1： x2 y21 与圆 C2： x2 y26 x8 y m0 外切，则 m( )A21 B19C9 D11解析：选 C 圆 C1的圆心为 C1(0,0)，半径 r11，因为圆 C2的方程可化为( x3)2( y4) 225 m，所以圆 C2的圆心为 C2(3,4)，半径 r2 (m25)从而| C1C2|25 m5.由两圆外切得| C1C2| r1 r2，即 1 5，解得 m9，故选 C.32 42 25 m6与圆 C1： x2 y26 x4 y120， C2： x2 y214 x2 y140 都相切的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 A 两圆分别化为标准形式为 C1：( x3) 2( y2) 21， C2：( x7)2( y1) 236，则两圆圆心距| C1C2| 5，等于两圆半径差， 7 3 2 1 2 2故两圆内切所以它们只有一条公切线故选 A.6
