1、12019 年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A1，2，3，6，9，B3x|xA，CxN|3xA，则 BC（ ）A. 1，2，3 B. 1，6，9 C. 1，6 D. 3【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合 A，B，C，由此能求出 【详解】 集合 2，3，6， ，6，9，18， ，2， ，故选：D【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.如图是甲
2、乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分 900 分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为 ， ，标准差分别为 ，则（ ）甲 乙 甲 ,乙2A. B. 甲 乙 ,甲 乙 ,甲 乙C. D. 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 0则 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限23故选：B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.设 为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ） =3A. B. =13+43 =1343C. D. =43+13 =4313【答案】A【解析】 =3 =3( )； = .43 13故选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.张丘建筑经卷上
3、第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织 5 尺布，现有一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布” ，则该女最后一天织布的尺数为（ ）A. 18 B. 20 C. 21 D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 305+30292 =390，所以 ，故选 C.=1629 30=5+(301)1629=216.如果对定义在 R 上的奇函数 yf（x） ，对任意两个不相邻的实数 x1，x 2，所有x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1） ，则称函数 yf（x）为“H
4、 函数” ，下列函数为H 函数的是（ ）A. f（x）sinx B. f（x）e x C. f（x）x 33x D. f（x）x|x|【答案】D4【解析】【分析】根据题意，不等式 等价为 ，1(1)+2(2)1(2)+2(1) (12)(1)(2)0即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案【详解】根据题意，对于所有的不相等实数 ， ，则1 2恒成立，1(1)+2(2)1(2)+2(1)则有 恒成立，即函数 是定义在 R 上的增函数，(12)(1)(2)0 ()则“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数，据此依次分析选项：对于
5、 A， ，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；()=对于 B， ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；()=对于 C， ，为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意；()=33对于 D， ，为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意；()=|=2,02,0,0)bxay0 是线段 MF2的垂直平分线，则 C 的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 52 5【答案】C【解析】8【分析】设 P 为直线 与 的交点，则 OP 为 的中位线，求得 到渐近线的距离=0 2 12 2为 b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值【详解】 设 为 直 线 =0与 2的 交
6、 点 ， 则 为 12的 中 位 线 ，直线 是线段 的垂直平分线，2(,0) =0 2可得 到渐近线的距离为 ，2 |2|=2+2=且 ， ， ，可得 ，|=22= |1|=2|=2 |2|=2 |2|1|=2即为 ，即 ，22=2 =2可得 =1+22=1+4=5故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题12.已知函数 ，则函数 g（x）xf （x）1 的零点的个数为（ ()=13(2),21|1|,2）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】由 g（ x） xf（ x）10 得 f（ x） ，根据条
7、件作出函数 f（ x）与 h（ x） 的图象，=1 =1研究两个函数的交点个数即可得到结论【详解】由 g（x）xf（x）10 得 xf（x）1，当 x0 时，方程 xf（x）1 不成立，即 x0，则等价为 f（x） ，1当 2x4 时，0x22，此时 f（x） f（x2） （1|x21|）13 13 |x3|，13 13当 4x6 时，2x24，此时 f（x） f（x2） |x23|13 13 13 139 |x5|，19 19作出 f（x）的图象如图，则 f（1）1，f（3） f（1） ，f（5） f（3） ，13 13 13 19设 h（x） ，1则 h（1）1，h（3） ，h（5） f（
8、5） ，13 15作出 h（x）的图象，由图象知两个函数图象有 3 个交点，即函数 g（x）的零点个数为 3 个，故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13.已知 F 是抛物线 C：y2x 2的焦点，点 P（x，y）在抛物线 C 上，且 x1，则|PF|_【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出 p，利用抛物线的性质列出方程求解即可10【详解】由 ，得 ，则 ；由 得 ，由抛物线的性质可得=22 2=12 =14 =1 =2，
9、|=2+2=2+18=178故答案为： 178【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题14.已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z |5x+y|的取值范围为_+4+204+70+20【答案】0，11【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可【详解】作出实数 x，y 满足约束条件 的可行域，如图所示：作直线+4+204+70+20 l0：5x+y0，再作一组平行于 l0的直线 l：5x+yz，当直线 l 经过点 A 时，z5x+y 取得最大值，由 ，+4+2=0+2=0 得点 A 的坐标为（2，0） ，所以 zmax5（2）+010直线经过
10、 B 时，目标函数取得最小值，由 ，+4+2=04+7=0 解得 B（2，1）函数的最小值为：10111z|5x+y|的取值范围为：0，11故答案为：0，1111【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力15.在 的展开式中，常数项为 _(2+12+2)3(2)【答案】-40【解析】【分析】根据 ，按照二项式定理展开，可得在 的展开式(2+12+2)3=(+1)6 (2+12+2)3(2)中的常数项【详解】解： （ x2）（ x6+6x4+15x2+20+15 6(2+12+2)3(2)=(+1)6 12+） （ x2） ，14+16常数项是 20（2
11、）40，故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16.如图，已知圆柱和半径为 的半球 O，圆柱的下底面在半球 O 底面所在平面上，圆柱的3上底面内接于球 O，则该圆柱的体积的最大值为_12【答案】2【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h，求出 r 与 h 的关系，再计算圆柱的体积 V，从而求出体积 V 的最大值【详解】解：设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h；则 h2+r2 R23；所以圆柱的体积为 V r2h（3 h2） h（3 h h3） ；则 V（ h）（33 h2） ，令 V（ h）0，解得 h1；所以 h（0，1
12、）时， V（ h）0， V（ h）单调递增；h（1， ）时， V（ h）0， V（ h）单调递减；3所以 h1 时， V（ h）取得最大值为 V（1）2故答案为：2【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共 60 分.17.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，且,=23(23+)()=()13（1）求角 A 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值【答案】 （1） ； （2） .3 33【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变
13、变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果(1)利用 的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果(2) (1)【详解】 在 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，且(1) ,=23(23+)()=()整理得： ，(+)()=()利用正弦定理得： ，22=2即： ，=2+222=12由于： ，0解得： =3由于 ，(2) =23,=3所以： ，2=2+22整理得： ，12=2+22=所以： =121212 32=33当且仅当 时， 的面积有最小值 .= 33【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属
14、于基础题型18.如图 1，等边ABC 中，AC4，D 是边 AC 上的点（不与 A，C 重合） ，过点 D 作 DEBC交 AB 于点 E，沿 DE 将ADE 向上折起，使得平面 ADE平面 BCDE，如图 2 所示（1）若异面直线 BE 与 AC 垂直，确定图 1 中点 D 的位置；（2）证明：无论点 D 的位置如何，二面角 DAEB 的余弦值都为定值，并求出这个定值14【答案】 （1）见解析；（2）55【解析】【分析】（1）取 DE 中点 O， BC 中点 F，连结 OA， OF，以 O 为原点， OE、 OF、 OA 所在直线分别为x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
15、图 1 中点 D 在靠近点 A 的三等分点处；（2）求出平面 ADE 的法向量和平面 ABE 的法向量，利用向量法能证明无论点 D 的位置如何，二面角 D AE B 的余弦值都为定值 55【详解】解：（1）在图 2 中，取 DE 中点 O， BC 中点 F，连结 OA， OF，以 O 为原点， OE、 OF、 OA 所在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，设 OA x，则 OF2 x， OE ，3 =3 B（2，2 x，0） ， E（ ，0，0） ，33A（0，0， x） ， C（2，2 x，0） ，3（ 2，2 x， x） ，= 3（ 2， x2 ，0） ，= 3 3异面直线
16、 BE 与 AC 垂直， 80， =2143+解得 x （舍）或 x ，=123 =23=233 ，=23323=13图 1 中点 D 在靠近点 A 的三等分点处15证明：（2）平面 ADE 的法向量 （0，1，0） ，=（ ，0， x） ， （ 2， x2 ，0） ，= 3 = 3 3设平面 ABE 的法向量 （ a， b， c） ，=则 ，取 a1，得 （1， ， ） ，=3=0=(32)+(23)=0 = 13 13设二面角 D AE B 的平面角为 ，则 cos ，=|= 1311+13+13=55无论点 D 的位置如何，二面角 D AE B 的余弦值都为定值 55【点睛】本题考查空间
17、中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题19.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示） ；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布 Z（， 2） ，其中 近似为样本平均值 ， 2近似为样本方差 s2（组数据取中间值） ；利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；该企业每年生产这种产品 10 万件，生产一件合格品利
18、润 10 元，生产一件不合格品亏损1620 元，则该企业的年利润是多少？参考数据： 5.1，若 ZN（， 2） ，则 P（，+）260.6826，P（2，+2）0.9544【答案】 （1）见解析；（2）0.9544，863200【解析】【分析】（1）由频率分布图求出95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；由（2）知 Z N（100，104） ，从而求出 P（79.6 Z120.4） ，注意运用所给数据；设这种产品每件利润为随机变量 E（ X） ，即可求得 EX【详解】 （1）
19、由频率分布直方图得：95，105）的频率为：1（0.006+0.026+0.022+0.008）100.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：17质量指标值的样本平均数为：800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08100质量指标值的样本方差为S2（20） 20.06+（10） 20.26+00.38+1020.22+2020.08104（2）由（1）知 ZN（100，104） ，从而 P（79.6Z120.4）P（100210.2Z100+210.2）0.9544；由知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为 0.9544，该企业的
20、年利润是 EX1000000.954410（10.9544）20863200【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题20.已知椭圆 C 过点 ，两个焦点 (26,2) (26,0),(26,0)（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|6，求AOB 面积的最大值【答案】 （1） ；（2）9236+212=1【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为 （ a b0） ，且 c ，再由椭圆定义求得 a，结22+22=1 =26合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；（2）当直线 A
21、B 的斜率不存在时，设直线方程为 x m，由弦长求得 m，可得三角形 AOB 的18面积；当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程为 y kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得 m 与 k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点 O 到 AB 的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为 （ a b0） ，22+22=1且 c ，2 a 12，=26 =(26+26)2+22+(2626)2+22=则 a6， b2 a2 c212椭圆 C 的标准方程为 ；236+212=1（2）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线
22、方程为 x m，得| AB| ，=233 362由| AB| 6，解得 m3，=233 362=此时 ；=1263=9当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程为 y kx+m，联立 ，得（3 k2+1） x2+6kmx+3m2360=+236+212=1 36 k2m24（3 k2+1） （3 m236）432 k212 m2+144设 A（ ， ） ， B（ ， ） ，1 1 2 2则 ， 1+2=632+1 12=323632+1由| AB| 6，=1+2 (632+1)212214432+1=整理得： ，原点 O 到 AB 的距离 d 2=3(32+1)(2+3)2+1 =|2+1 =12
23、6 |2+1=3 22+1=33 3(2+1)2+4(2+1)4(2+1)2=33 41(2+1)2+4 12+1+3当 时， AOB 面积有最大值为 912+1=12 63综上， AOB 面积的最大值为 9【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解19决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
24、；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数 f（x）e x 有两个极值点122()（1）求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f（x）的两个极值点分别为 x1，x 2，求证：x 1+x22【答案】 （1） （e，+） ；（2）见解析【解析】【分析】（1） f（ x） ex ax函数 f（ x） ex 有两个极值点 f（ x）122() ex ax0 有两个实数根 x0 时不满足上述方程，方程化为： a ，令 g（ x） ，= =（ x0） 利用导数已经其单调性即可得出（2）由（1）可知： a e 时，函数 f（ x）有两个极值点分别为 ， x2，
25、不妨设1 ， + 2 2 1 ，由 ，因此即证明： 构造函1 2 12 2 122 2121 11=22 11 2121数 h（ x） ，0 x 1，2 x1利用导数已经其单调性即可得出=22【详解】 （1）解： f（ x） ex ax函数 f（ x） ex 有两个极值点122() f（ x） ex ax0 有两个实数根x0 时不满足上述方程，方程化为： a ，=令 g（ x） ， （ x0） =g（ x） ，=(1)2可得： x0 时， g（ x）0，函数 g（ x）单调递减；0 x1 时， g（ x）0，函数g（ x）单调递减； x1 时， g（ x）0，函数 g（ x）单调递增a e 时
26、，方程 f（ x） ex ax0 有两个实数根实数 a 的取值范围是（ e，+） （2）证明：由（1）可知： a e 时，函数 f（ x）有两个极值点分别为 x1， x2，不妨设20x1 x2证明： + 2 2 1 ，12 2 122 2121由 ，因此即证明： 11=22 11 2121构造函数 h（ x） ， 0 x1，2 x1=22h（ x） （ x1） ，=(1)2 2(2)+2(2)2 = (22(2)2)令函数 u（ x） ， （0 x） =2u（ x） =(2)3可得函数 u（ x）在（0，1）内单调递减，于是函数 v（ x） 在（0，1）内单调=22(2)2递减v（ x） v（
27、1）0 x1 时，函数 h（ x）取得极小值即最小值， h（1）0 h（ x） h（1）0 11 2121因此 + 2 成立12【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，42 =1+ 0） 21（1）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的形状；（2）若直线 l 经过点（1，0） ，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 A
28、B 的长【答案】 （1）曲线 C：y 24x，顶点为 O（0，0） ，焦点为 F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程；= （2）直线 l 的参数方程 （ t 为参数，0 ） 可得 l 经过点（0，1） ；=1+ 若直线 l 经过点（1，0） ，得到 ，得到直线 l 新的参数方程为=34（ t 为参数） 代入抛物线方程可得 t+20，设 A、 B 对应=34=22=1+34=1+22 2+62的参数分别为 t1， t2，利用| AB| 即可得出=(1+2)2412【详解】 （1）曲线 C 的极坐标方程 化为 2sin24cos，得到曲线 C 的直角坐标方程
29、为 y24x，故曲线 C 是顶点为 O（0，0） ，焦点为 F（1，0）的抛物线；（2）直线 l 的参数方程为 （ t 为参数，0） 故 l 经过点（0，1） ；若直线 l 经过点（1，0） ，则 ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 代入 y24x，得 t+20设 A、B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t26 ，t 1t22|AB|t 1t 2| 8【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题 2223.已知函数 f（x） 的定义域为 R|+1|+|3|（）求实数 m 的取值范围（）若 m 的最大值为 n，当正数 a、b
30、 满足 时，求 7a+4b 的最小值23+ 1+2=【答案】() m4() 94【解析】试题分析：（1）由函数定义域为 R，可得|x+1|+|x3|m0 恒成立，设函数 g（x）=|x+1|+|x3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知 n=4，变形 7a+4b= ，利用基本不等式的性14(6+2+2)( 23+ 1+2)质即可得出试题解析：()由题意可知： m0 对任意实数恒成立设函数 g(x) ，则 m 不大于函数 g(x)的最小值又 4.即 g(x)的最小值为 4，所以 m4()由()知 n4，7 a4 b .当且仅当 a2 b3 a b，即 b2 a 时，等号成立所以 7a4 b 的最小值为 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【此处有视频，请去附件查看】23
