1、12018-2019 学年陕西省四校联考高三（上）12 月模拟数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知 ， ，则 A. 或 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简集合 A，B，然后求二者并集即可.【详解】 ， ，则 故应选 D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知复数 是虚数单位，则 z 的实部为 =312(A. B. C. D. 35
2、35 15 15【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数 z，从而得到其实部.【详解】 ，z 的实部为 =312= 3(1+2)(12)(1+2)=35+65 35故应选 B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设 ，1=+,2=+(,)则 ，12=(+)(+)=+(+).12=+=(+)()(+)()=(+)+()2+23.函数 的图象可能是 =|42A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，当 时， ，排除 A；=1 =4=|=32 0 夹角为 6故选：A【点睛】本题主要考查了向量
3、的夹角公式，属于基础题.5.直线 与圆 的位置关系是 =0 2+2+=03A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较，判断二者位置关系.【详解】将圆的方程化为标准方程得 ，(2)2+(+2)2=2+24圆心坐标为 ，半径 ，(2,2) =2+22圆心到直线 的距离 ，=0 =2+222+2=2+22 =则圆与直线的位置关系是相切故应选 B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键6.在 中，a，b，c 分别是角 A
4、，B，C 的对边， ，则角 (+)(+)=3=(A. B. C. D. 23 3 56 6【答案】B【解析】【分析】由 ，可得 ，结合余弦定理即可得到 B 的大小.(+)(+)=3 2+22=【详解】由 ，可得 ，(+)(+)=3 2+22=根据余弦定理得 ，=2+222 =12 ， 故应选 B(0,) =3【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2）2=2+22.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ， ， =2+222 30 45等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.607.执行如图所示的程序框图，输出的 =(4A. 25 B. 9 C. 17 D. 20【
5、答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当 ，不满足判断框的条=4+16=20件，退出循环输出结果即可【详解】按照程序框图依次执行为 ， ， ；=1 =0 =0， ， ；=9 =2 =0+4=4， ， ，=17=4 =4+16=20退出循环，输出 故应选 C=17【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规
6、定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.将一颗质地均匀的骰子一种各个面分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率为 A. B. C. D. 112 19 16 145【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为大于 8 的偶数有 4 种，由此能求出出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率【详解】将先后两次的点数记为有序数实数对 ，则共有 个基本事件，其中点(,) 66=36数之和为大于 8 的偶数有 ， ， ， 共 4 种，则满足条件的概率为 (4,6) (6,4) (5,5) (6,6
7、)436=19【点睛】本题考查了列举法求概率，求此类题目的基本思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式求概率.9.长方体 ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的1111 =1 =2 1=3 11 1余弦值为 A. B. C. D. 1414 19214 1313 13【答案】A【解析】【分析】由题，找出 ，故 (或其补角)为异面直线 与 所成角，然后解出答案/11 1 11 1即可.【详解】如图，连接 ，由 ， (或其补角)为异面直线 与 所成1 /11 1 11 1角，由已知可得 ，1=22+32=13则 即异面直线 与 所成角的余1=12
8、+(13)2=141=114=1414 11 1弦值为 1414故选：A6【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.10.设函数 ，则 ()=(2+4)+(2+4)A. 在 单调递增，其图象关于直线 对称=() (0,2) =4B. 在 单调递增，其图象关于直线 对称=() (0,2) =2C. 在 单调递减，其图象关于直线 对称=() (0,2) =4D. 在 单调递减，其图象关于直线 对称=() (0,2) =2【答案】D【解析】,()=(2+4)+(2+4)=2(2+2)=22由 得 ，再由 ,所以 .00+2,0 (0)+(3)=3A. 1
9、B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据表达式及 ，解得实数 a 的值(0)+(3)=3【详解】由题意知， ，(0)=2又 ，则 ，(0)+(3)=3 (3)=17又 ，解得 故选：B(3)=(3+4)=1 =2【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P 是它们的一个交
10、点，且 ，记椭1 2 12=23圆和双曲线的离心率分别为 ， 则 1 2.321+122=(A. 4 B. C. 2 D. 323【答案】A【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长 a2，焦距 2c结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在F 1PF2中,根据余弦定理可得到 与 c 的关系式,变|1|=1+2 |2|=12 1,2形可得 的值.321+122【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：1 2， ，|1|+|2|=21 |1|2|=22 ， ，|1|=1+2 |2|=12设 ， ，则|12|=2 12=23在 中由余弦定理得，
11、 ，12 42=(1+2)2+(12)22(1+2)(12)238化简得 ，该式可变成 321+22=42 321+122=4故选 A【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线 a,b,c 的关系式和其他已知条件,转化只含有 a,c 的关系式求解.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为_()=+224 () =1【答案】 3=0【解析】【分析】求出导函数求出 ，从而利用点斜式得到切线的方程.(1)=1【详解】 ， ， ，()=+224 ()=1+44 (1)=1又
12、，所求切线方程为 ，即 (1)=2 (2)=1 3=0故答案为： 3=0【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方(0,0) (0,0) =() 程为： 若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不0=(0)(0) =() (0,(0) 存在）时，由切线定义知，切线方程为 =014.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 _220+100 =2+【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，9可知目标函数过点 时取得最小值，
13、(4,3) =2(4)+(3)=11故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知 ，则 的值是_=2 2【答案】 35【解析】【分析】由已知得到 ，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.=2【详解】由已知得 ， =2 2=22=222+2=122+1=144+1=35故答案为： 35【点睛】1利用 sin2 cos 2 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 ta
14、n 可以 实现角 的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ， sin cos ，sin cos 这三个式 子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二 3注意公式逆用及变形应用：1sin 2 cos 2 ，sin 2 1cos 2 ，cos 2 1sin 2 . 16.直三棱柱 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外111接球的体积为 ，则该三棱柱体积的最大值为_323【答案】 4210【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【
15、详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为 a，b，则棱柱的高 ，=2+2设外接球的半径为 r，则 ，解得 ，433=323 =2上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心， ， ，2=2=4 =22 2+2=2=82 当且仅当 时“”成立4 =2三棱柱的体积 =12=242故答案为： 42【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA
16、 a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知正项等比数列 满足 ， 1+2=6 32=4求数列 的通项公式；(1) 记 ，求数列 的前 n 项和 (2) =122+1 【答案】 （1） （2） =2 =+1【解析】【分析】(1) 由题意得 ，解出基本量即可得到数列 的通项公式；1+1=6121=4 (2) 由（1）知， ，利用裂项相消法求和.=1 1+1【详解】 （1）设数列 的公比为 q，由已知 ， 011由题意得 ，1+1=6121=4 所以 3252=0解得 ， =2
17、 1=2因此数列 的通项公式为 =2（2）由（1）知， ， =122+1= 1(+1)=1 1+1 =112+1213+1 1+1=1 1+1=+1【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）1(+)=1(1 1+) 1+=1( + )；（4） ；此外，需注意裂项1(21)(2+1)=12( 121 12+1) 1(+1)(+2)=12 1(+1) 1(+1)(+2)之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.经调查，3 个成年人中就有一个高血压，那么什么是
18、高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄 x 28 32 38 42 48 52 58 62收缩压单位()114 118 122 127 129 135 140 147其中： ， ，=1=122,=8=12=172328=1=4738412请画出上表数据的散点图；(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ；(2)=+的值精确到(, 0.01)若规定，一个人的收缩压为标准值的 倍，则为血压正常人群；收缩压为标准(3) 0.9 1.06值的 倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的
19、 倍，则为中度高血1.06 1.12 1.12 1.20压人群；收缩压为标准值的 倍及以上，则为高度高血压人群一位收缩压为 180mmHg 的1.2070 岁的老人，属于哪类人群？【答案】 （1）见解析；（2） （3）见解析=0.91+88.05【解析】【分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出 ， ， ， ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； 8=128=1（3）将 x=70 带入计算，根据题干已知规定即可判断 70 岁的老人，属于哪类人群13【详解】 （1）（2） ，=28+32+38+42+48+52+58+628 =45=114+118+122+127+129+135+
20、140+1478 =129 =8=18=1282=47384845129172328452 =1181290.91=1290.9145=88.05回归直线方程为 =0.91+88.05（3）根据回归直线方程的预测，年龄为 70 岁的老人标准收缩压约为，0.9170+88.05=151.75() 收缩压为 的 70 岁老人为中度高血压人群180151.751.19 180【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归,=12,=1系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，,
21、=+ (,)利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.已知抛物线 C； 过点 2=2 (1,1)求抛物线 C 的方程；(1)过点 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点均与点 A 不重合，设直线(2) (3,1)AM，AN 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值1 2 12【答案】 （1） （2）见解析2=14【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点 P（3，1）的直线 MN 的方程为 ，代入 y2=x 利用韦达定理，=(+1)+3结合斜率公式，化简，即可求 k1k2的值【详解】 （1）由题意得 ，所以抛物线方程为 2=1 2=（2
22、）设 ， ，直线 MN 的方程为 ，(1,1) (2,2) =(+1)+3代入抛物线方程得 23=0所以 ， ， =(+2)2+80 1+2= 12=3所以 ,12=11112121=1121121221= 1(1+1)(2+1)= 112+1+2+1= 13+1=12所以 ， 是定值1 2【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20.如图，三棱柱 的所有棱长都是 2， 平面 ABC，D，E 分别是 AC，111 1的中点1求证： 平面 ；(1) 1求二面角 的余弦值(2) 1【答案】 （1）见解析； （
23、2） .64【解析】【分析】15(1)根据线面垂直和面面垂直判定和性质,证得 ,通过三角形全等 ,证得 ,再 1根据线面垂直的判定定理,证得 平面 ; 1(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.【详解】 （1） ，D 是 AC 的中点， ， = 平面 ABC，平面 平面 ABC，1 11 平面 ， 11 又在正方形 中，D，E 分别是 AC， 的中点，易证得 A 1ADACE11 1A 1DA=AEC, AEC+CAE=90，A 1DA+CAE=90 ,即 1又 ， 平面 1= 1（3）取 中点 F，以 DF，DA，DB 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， ，11 (0,0,0
24、)， ， ， ， ， ，(1,1,0) (0,0, 3) 1(2,0, 3) =(0,0, 3) =(1,1,0) 1=(2,0,0)， 1=(1,1, 3)设平面 DBE 的一个法向量为 ，则 ，=(,) =0=0 3=0=0 令 ，则 ， =1 =(1,1,0)设平面 的一个法向量为 ，则 ，1 =(,) 1=01=0 2=0+3=0 令 ，则 ， =3 =(0,3, 3)设二面角 的平面角为 ，观察可知 为钝角，1 ，,=|=6416 ，故二面角 的余弦值为 =64 1 64【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质，考查了二面角的余弦值的求法；利用向量解几何
25、题的一般方法是：建立空间直角坐标系，用坐标表示各点，把线段转化为用向量表示，然后通过向量的运算或证明去解决问题.21.已知函数 ， ()=() ()=(+)+1 当 时，求函数 的最小值；=1 () 若对任意 ，恒有 成立，求实数 m 的取值范围(,+) ()()【答案】 （1）1 ； （2） .(,1【解析】【分析】（1）求出函数 的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；()（2）要证 ，只需证明 exln（x+m）+1 成立即可，分情况讨论，采用分离参数()()法，构造新函数，利用导数求得符合条件的 m 的取值范围，进而问题得解.【详解】 （1）当 时， ，则 =1 ()
26、=+ ()=1+1令 ，得 ()=0 =0当 时， ；当 时， 0 ()0函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 () (,0) (0,+)当 时，函数 取得最小值，其值为 =0 () (0)=1（2）由（1）得： 恒成立 +1()()+(+)+1(+)+1当 恒成立时，即 恒成立时，条件必然满足 +1(+)+1 设 ，则 ，在区间 上， ， 是减函数，在区间()= ()=1 (,0) ()0 () () (0)=1于是当 时，条件满足 1当 时， ， ，即 ，条件不满足 1 (0)=1 (0)=+11 (0)(0)综上所述，m 的取值范围为 (,1【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问
27、题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.1722.已知直线 l 的参数方程为 为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极=4+12=32 (轴建建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =2求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程；()若直线 与曲线 C 交于点 不同于原点，与直线 l 交于点 B，求 的值=6 ( |【答案】 （1） : ;: ;（2） .2+2= (+6)=3 332【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系
28、得出极坐标方程 C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将 分别代入直线 l 和曲线 C 的极坐标方程求出 A，B 到原点的距离，作差得=6出|AB|【详解】 （1） ， ，=2 2=2曲线 C 的直角坐标方程为 2+22=0直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ， =4+12=32 3=43直线 l 的极坐标方程为 3=43（2）将 代入曲线 C 的极坐标方程 得 ，=6 =2 =3A 点的极坐标为 ( 3,6)将 代入直线 l 的极坐标方程得 ，解得 =6 3212=43 =43B 点的极坐标为 ，(43,6) |=33【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属
29、于基础题23.已知函数 ()=|+|+2|当 时，求不等式 的解集；(1) =1 ()3， ，求 a 的取值范围(2)0 (0)3【答案】 （1） ； （2 ）.|21 5,1【解析】18【分析】(1) 当 a=1 时，可得出 f（x）=|x1|+|x+2|，得到不等式|x1|+|x+2|3，讨论 x 值，去绝对值号，即可解出该不等式；(2) 可得到 f（x）=|xa|+|x+2|a+2|，从而由题意即可得出|a+2|3，解出 a 的取值范围即可【详解】 （1）当 时， ，=1 ()=|1|+|+2|当 时， ，2 ()=21令 ，即 ，解得 ，()3 213 =2当 时， ，显然 成立，所以 ，21 ()=3 ()3 21当 时， ，1 ()=2+1令 ，即 ，解得 ，()3 2+13 =1综上所述，不等式的解集为 |21 （2）因为 ，()=|+|+2|()(+2)|=|+2|因为 ，有 成立，0 ()3所以只需 ，|+2|3解得 ，51所以 a 的取值范围为 5,1【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想19
